Номер 1056, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1056, страница 232.

1056. а) При каких х значение выражения 2x – 4 принадлежит интервалу (–1; 5)?

б) При каких х значение дроби x - 52 принадлежит числовому отрезку [0; 5]?

в) При каких х значения функции y = - 13x + 8 принадлежат интервалу (–1; 1)?

г) При каких х значения функции y = –2,5x + 6 принадлежат числовому отрезку [–6; –2]?

a) -1<2x-4<5

3<2x<9

1,5<x<4,5

Ответ: при 1,5<x<4,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}0\le \frac{x-5}{2}\le 5\mathrm{/}·2 \\ 0\le x-5\le 10 \\ 5\le x\le 15 \end{gathered}$$

Ответ: при $5\le x\le 155\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 15$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=-\frac{1}{3}x+8; y\in \left(-1; 1\right) \\ -1<-\frac{1}{3}x+8<1 \\ -9<-\frac{1}{3}x<-7 \\ -27<-x<-21 \\ 21<x<27 \end{gathered}$$

Ответ: при

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=-\mathrm{2,5}x+6, y\in [-6; -2] \\ -6\le -\mathrm{2,5}x+6\le -2 \\ -12\le -\mathrm{2,5}x\le -8 \\ \frac{-8}{-\mathrm{2,5}}\le x\le \frac{-12}{-\mathrm{2,5}} \\ \mathrm{3,2}\le x\le \mathrm{4,8} \end{gathered}$$

Ответ: при $3,2\le x\le 4,83,2\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 4,8$

а) Чтобы найти значения $x$, при которых выражение $2x - 4$ принадлежит интервалу $(-1; 5)$, необходимо решить двойное неравенство:

$-1 < 2x - 4 < 5$

Сначала прибавим 4 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от константы в центральной части:

$-1 + 4 < 2x - 4 + 4 < 5 + 4$

$3 < 2x < 9$

Теперь разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:

$\frac{3}{2} < x < \frac{9}{2}$

Что в десятичном виде выглядит как:

$1,5 < x < 4,5$

Таким образом, значение выражения принадлежит заданному интервалу, когда $x$ находится в интервале от 1,5 до 4,5.

Ответ: $x \in (1,5; 4,5)$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых значение дроби $\frac{x-5}{2}$ принадлежит числовому отрезку $[0; 5]$, решаем соответствующее двойное неравенство. Обратите внимание, что отрезок включает концы, поэтому неравенство будет нестрогим:

$0 \le \frac{x-5}{2} \le 5$

Умножим все части неравенства на 2:

$0 \cdot 2 \le x-5 \le 5 \cdot 2$

$0 \le x-5 \le 10$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$0+5 \le x \le 10+5$

$5 \le x \le 15$

Следовательно, $x$ должен принадлежать отрезку от 5 до 15 включительно.

Ответ: $x \in [5; 15]$.

в) Требуется найти значения $x$, при которых значения функции $y = -\frac{1}{3}x + 8$ принадлежат интервалу $(-1; 1)$. Это означает, что $y$ должен удовлетворять неравенству $-1 < y < 1$. Подставим выражение для $y$:

$-1 < -\frac{1}{3}x + 8 < 1$

Вычтем 8 из всех частей неравенства:

$-1 - 8 < -\frac{1}{3}x < 1 - 8$

$-9 < -\frac{1}{3}x < -7$

Теперь умножим все части неравенства на -3. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-9 \cdot (-3) > x > -7 \cdot (-3)$

$27 > x > 21$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$21 < x < 27$

Это означает, что $x$ должен находиться в интервале от 21 до 27.

Ответ: $x \in (21; 27)$.

г) Нужно найти значения $x$, при которых значения функции $y = -2,5x + 6$ принадлежат числовому отрезку $[-6; -2]$. Составим двойное нестрогое неравенство:

$-6 \le y \le -2$

Подставим выражение для $y$:

$-6 \le -2,5x + 6 \le -2$

Вычтем 6 из всех частей неравенства:

$-6 - 6 \le -2,5x \le -2 - 6$

$-12 \le -2,5x \le -8$

Разделим все части неравенства на -2,5. Так как мы делим на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-12}{-2,5} \ge x \ge \frac{-8}{-2,5}$

Выполним деление:

$4,8 \ge x \ge 3,2$

Запишем в стандартном виде:

$3,2 \le x \le 4,8$

Таким образом, $x$ должен принадлежать отрезку от 3,2 до 4,8 включительно.

Ответ: $x \in [3,2; 4,8]$.