Номер 1053, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1053, страница 232.

1053. Решите систему неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0,3}x-1<x+\mathrm{0,4}\\ 2-3x<5x+1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0,3}x-x<\mathrm{0,4}+1\\ -3x-5x<1-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{0,7}x<\mathrm{1,4}\\ -8x<-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-\frac{\mathrm{1,4}}{\mathrm{0,7}}\\ x>\frac{1}{8}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-2\\ x>\frac{1}{8}\end{array}\right.$

Ответ: $\left(\frac{1}{8}; +\mathrm{\infty }\right)$

 

б) $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{2,5}x-\mathrm{0,12}>\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,07}\\ 1-2x>-x-4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{2,5}x-\mathrm{0,6}x>\mathrm{0,07}+\mathrm{0,12}\\ -2x+x>-4-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,9}x>\mathrm{0,19}\\ -x>-5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x>\frac{\mathrm{0,19}}{\mathrm{1,9}}\\ x<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\frac{1,9}{19}\\ x<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\mathrm{0,1}\\ x<5\end{array}\right.$

Ответ: $\left(\mathrm{0,1}; 5\right)(0,1;\; 5)$

 

в) $\left\{\begin{array}{c}2x+\mathrm{1,4}<\frac{3x-7}{5} /·5\\ 2x>3-\frac{2x}{5} /·5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}10x+7<3x-7\\ 10x>15-2x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}10x-3x<-7-7\\ 10x+2x>15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}7x<-14\\ 12x>15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<-2\\ x>\frac{15}{12}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}x<-2\\ x>\frac{5}{4}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}x<-2\\ x>1\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Ответ: решений нет

г) $\left\{\begin{array}{l}3\left(x-2\right)\left(x+2\right)-3x^2<x\\ 5x-4>4-5x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3\left(x^2-4\right)-3x^2<x\\ 5x+5x>4+4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3x^2-12-3x^2<x\\ 10x>8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-12\\ x>0,8\end{array}\right.$

Ответ: $\left(\mathrm{0,8}; +\mathrm{\infty }\right)(0,8;+\backslash infty)$

 

д) $\left\{\begin{array}{l}\left(x-4\right)\left(5x-1\right)>5x^2>x+1\\ 3x-\mathrm{0,4}<2x-\mathrm{0,6}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}5x^2-x-20x+4-5x^2>x+1\\ 3x-2x<-\mathrm{0,6}+\mathrm{0,4}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-21x-x>1-4\\ x<-\mathrm{0,2}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-22x>-3\\ x<-0,2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<\frac{2}{22}\\ x<-0,2\end{array}\right.$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty },-\mathrm{0,2}\right)(-\backslash infty,\; -0,2)$

 

е) $\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1+x}{3}>\frac{2x-1}{6}-2 \mathrm{/}·6\\ 3x-\frac{x}{4}>4 /·4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}6+2(1+x)>2x-1-12\\ 12x-x>16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6+2+2x>2x-13\\ 11x>16\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x-2x>-13-8\\ x>\frac{16}{11}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}0x>-21\\ x>1\frac{5}{11}\end{array}\right.$

0x>-21; 0>-21 - верно при любых х

Ответ: $\left(1\frac{5}{11}; +\mathrm{\infty }\right)$

а)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 0,3x - 1 < x + 0,4, \\ 2 - 3x < 5x + 1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$0,3x - 1 < x + 0,4$

$0,3x - x < 0,4 + 1$

$-0,7x < 1,4$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{1,4}{-0,7}$

$x > -2$

2. Решим второе неравенство:

$2 - 3x < 5x + 1$

$2 - 1 < 5x + 3x$

$1 < 8x$

$x > \frac{1}{8}$

3. Найдем пересечение решений: $x > -2$ и $x > \frac{1}{8}$.

На числовой прямой это будет промежуток, где оба условия выполняются, то есть $x > \frac{1}{8}$.

Ответ: $(\frac{1}{8}; +\infty)$

б)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2,5x - 0,12 > 0,6x + 0,07, \\ 1 - 2x > -x - 4; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$2,5x - 0,12 > 0,6x + 0,07$

$2,5x - 0,6x > 0,07 + 0,12$

$1,9x > 0,19$

$x > \frac{0,19}{1,9}$

$x > 0,1$

2. Решим второе неравенство:

$1 - 2x > -x - 4$

$1 + 4 > 2x - x$

$5 > x$

$x < 5$

3. Найдем пересечение решений: $x > 0,1$ и $x < 5$.

Это соответствует интервалу $0,1 < x < 5$.

Ответ: $(0,1; 5)$

в)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x + 1,4 < \frac{3x - 7}{5}, \\ 2x > 3 - \frac{2x}{5}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство. Умножим обе части на 5:

$5(2x + 1,4) < 3x - 7$

$10x + 7 < 3x - 7$

$10x - 3x < -7 - 7$

$7x < -14$

$x < -2$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 5:

$5(2x) > 5(3) - 5(\frac{2x}{5})$

$10x > 15 - 2x$

$10x + 2x > 15$

$12x > 15$

$x > \frac{15}{12}$

$x > \frac{5}{4}$ или $x > 1,25$

3. Найдем пересечение решений: $x < -2$ и $x > 1,25$.

Нет чисел, которые одновременно меньше -2 и больше 1,25. Следовательно, множества решений не пересекаются.

Ответ: нет решений

г)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3(x - 2)(x + 2) - 3x^2 < x, \\ 5x - 4 > 4 - 5x; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$3(x^2 - 4) - 3x^2 < x$

$3x^2 - 12 - 3x^2 < x$

$-12 < x$

$x > -12$

2. Решим второе неравенство:

$5x - 4 > 4 - 5x$

$5x + 5x > 4 + 4$

$10x > 8$

$x > \frac{8}{10}$

$x > 0,8$

3. Найдем пересечение решений: $x > -12$ и $x > 0,8$.

Общим решением является $x > 0,8$.

Ответ: $(0,8; +\infty)$

д)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} (x - 4)(5x - 1) - 5x^2 > x + 1, \\ 3x - 0,4 < 2x - 0,6; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство. Раскроем скобки:

$5x^2 - x - 20x + 4 - 5x^2 > x + 1$

$-21x + 4 > x + 1$

$4 - 1 > x + 21x$

$3 > 22x$

$x < \frac{3}{22}$

2. Решим второе неравенство:

$3x - 0,4 < 2x - 0,6$

$3x - 2x < -0,6 + 0,4$

$x < -0,2$

3. Найдем пересечение решений: $x < \frac{3}{22}$ и $x < -0,2$.

Сравним числа $\frac{3}{22}$ и $-0,2$. Так как $\frac{3}{22} \approx 0,136$, то $-0,2 < \frac{3}{22}$. Следовательно, пересечением будет $x < -0,2$.

Ответ: $(-\infty; -0,2)$

е)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 1 + \frac{1 + x}{3} > \frac{2x - 1}{6} - 2, \\ 3x - \frac{x}{4} > 4; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство. Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

$6 \cdot 1 + 6 \cdot \frac{1 + x}{3} > 6 \cdot \frac{2x - 1}{6} - 6 \cdot 2$

$6 + 2(1 + x) > 2x - 1 - 12$

$6 + 2 + 2x > 2x - 13$

$8 + 2x > 2x - 13$

$8 > -13$

Это неравенство верно при любом значении $x$. Таким образом, решение первого неравенства — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 4:

$4(3x) - 4(\frac{x}{4}) > 4(4)$

$12x - x > 16$

$11x > 16$

$x > \frac{16}{11}$

3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x > \frac{16}{11}$.

Общим решением является $x > \frac{16}{11}$.

Ответ: $(\frac{16}{11}; +\infty)$