Номер 1048, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1048, страница 231.

1048. Найдите промежутки, в которых функция y = –6x + 12 принимает положительные значения; отрицательные значения.

Ответ проиллюстрируйте на графике.

y=-6x+12

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\mathit{y}\mathbf{>}\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{\text{при}}& -6x+12>0\\ & -6x>-12 \\ x<2\end{array} \\ \begin{array}{cl}\mathit{y}\mathbf{<}\mathbf{0}\mathbf{\text{ при}} & -6x+12<0\\ & -6x<-12 \\ x>2\end{array} \end{gathered}$$

Для определения промежутков знакопостоянства функции $y = -6x + 12$ необходимо решить неравенства $y > 0$ и $y < 0$.

положительные значения

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения, решим неравенство $y > 0$:
$-6x + 12 > 0$
Перенесем 12 в правую часть, изменив знак:
$-6x > -12$
Разделим обе части неравенства на -6. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-12}{-6}$
$x < 2$
Следовательно, функция принимает положительные значения на промежутке $(-\infty; 2)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2)$.

отрицательные значения

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения, решим неравенство $y < 0$:
$-6x + 12 < 0$
Перенесем 12 в правую часть, изменив знак:
$-6x < -12$
Разделим обе части неравенства на -6, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{-12}{-6}$
$x > 2$
Следовательно, функция принимает отрицательные значения на промежутке $(2; +\infty)$.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (2; +\infty)$.

Ответ проиллюстрируйте на графике

Для построения графика функции $y = -6x + 12$ найдем две точки, через которые проходит эта прямая. Удобнее всего взять точки пересечения с осями координат.
1. Пересечение с осью ординат (Oy): при $x=0$, $y = -6(0) + 12 = 12$. Получаем точку $(0; 12)$.
2. Пересечение с осью абсцисс (Ox): при $y=0$, $0 = -6x + 12$, откуда $6x=12$ и $x=2$. Получаем точку $(2; 0)$.
На графике ниже показана прямая $y = -6x + 12$.
Часть прямой, на которой функция принимает положительные значения ($y > 0$), выделена зеленым цветом. Это соответствует промежутку $x \in (-\infty; 2)$.
Часть прямой, на которой функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), выделена красным цветом. Это соответствует промежутку $x \in (2; +\infty)$.
Точка $(2; 0)$ — это нуль функции, в которой происходит смена знака.