Номер 1042, страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1042, страница 230.

1042. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}3\left(5-4x\right)+2\left(14+x\right)>0 \\ 15-12x+28+2x>0 \\ 43-10x>0 \\ 10x<43 \\ x<4,3 \end{gathered}$$

Ответ: 1; 2; 3; 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-3x\right)\le 14 \\ {x}^2-1-x^2+3x\le 14 \\ 3x-1\le 14 \\ 3x\le 15 \\ x\le 5 \end{gathered}$$

Ответ: 1; 2; 3; 4; 5

а) Решим неравенство $3(5 - 4x) + 2(14 + x) > 0$.

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$3 \cdot 5 - 3 \cdot 4x + 2 \cdot 14 + 2 \cdot x > 0$

$15 - 12x + 28 + 2x > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(15 + 28) + (-12x + 2x) > 0$

$43 - 10x > 0$

Перенесем слагаемое, не содержащее переменную, в правую часть, изменив его знак:

$-10x > -43$

Разделим обе части неравенства на $-10$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-43}{-10}$

$x < 4.3$

По условию задачи, необходимо найти все натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Натуральными числами, которые меньше 4.3, являются 1, 2, 3 и 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

б) Решим неравенство $(x + 1)(x - 1) - (x^2 - 3x) \le 14$.

Преобразуем левую часть неравенства. Выражение $(x + 1)(x - 1)$ является формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(x^2 - 1^2) - (x^2 - 3x) \le 14$

$(x^2 - 1) - (x^2 - 3x) \le 14$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$x^2 - 1 - x^2 + 3x \le 14$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + 3x - 1 \le 14$

$3x - 1 \le 14$

Перенесем свободный член в правую часть неравенства:

$3x \le 14 + 1$

$3x \le 15$

Разделим обе части неравенства на 3 (знак неравенства не меняется, так как делим на положительное число):

$x \le \frac{15}{3}$

$x \le 5$

Нам нужно найти все натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству. Натуральными числами, которые меньше или равны 5, являются 1, 2, 3, 4 и 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.