Страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1036. Найдите пересечение и объединение:

а) множества целых чисел и множества положительных чисел;

б) множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел.

а) Z - множество целых чисел

A={x, x>0}

Z∩A=N, где N - множество натуральних чисел

Z∪A=Z + нецелые положительные

б) Пересечением множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел является множество простых чисел без 2, начиная с 3

Объединением множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел является множество нечётных натуральных чисел и число 2.

а)

Обозначим множество целых чисел через $Z$, а множество положительных чисел — через $A$. Множество целых чисел включает в себя все натуральные числа, им противоположные и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. В контексте школьной математики, когда одно из множеств — целые числа, под "положительными числами" обычно понимают положительные целые числа, то есть натуральные числа. Таким образом, $A$ — это множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Пересечение множеств $Z \cap N$ — это множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и $Z$, и $N$. Поскольку все натуральные числа являются целыми, их общими элементами будут сами натуральные числа.
$Z \cap N = \{1, 2, 3, ...\} = N$.
Таким образом, пересечением является множество натуральных чисел.

Объединение множеств $Z \cup N$ — это множество, содержащее все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств $Z$ или $N$. Так как множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества целых чисел $Z$ (то есть $N \subset Z$), их объединение равно самому множеству $Z$.
$Z \cup N = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} = Z$.
Таким образом, объединением является множество целых чисел.

Ответ: Пересечение — множество натуральных чисел, объединение — множество целых чисел.

б)

Обозначим множество простых чисел через $P$, а множество нечётных натуральных чисел — через $O$.
Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые имеют ровно два делителя: 1 и само себя. $P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\}$.
Нечётные натуральные числа — это числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. $O = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...\}$.

Пересечение множеств $P \cap O$ — это множество чисел, которые являются одновременно и простыми, и нечётными. Единственное чётное простое число — это 2. Все остальные простые числа — нечётные. Следовательно, пересечение этих множеств содержит все простые числа, кроме 2.
$P \cap O = \{3, 5, 7, 11, 13, ...\} = P \setminus \{2\}$.
Таким образом, пересечением является множество всех простых чисел, кроме 2.

Объединение множеств $P \cup O$ — это множество, содержащее все элементы из $P$ и все элементы из $O$. В него войдут все нечётные натуральные числа (и простые, и составные, и число 1) и все простые числа. Так как все нечётные простые числа уже содержатся в множестве $O$, для получения объединения достаточно к множеству нечётных натуральных чисел $O$ добавить те простые числа из $P$, которые не являются нечётными. Такое число только одно — 2.
$P \cup O = O \cup \{2\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...\}$.
Таким образом, объединением является множество всех нечётных натуральных чисел вместе с числом 2.

Ответ: Пересечение — множество всех простых чисел, за исключением числа 2; объединение — множество всех нечётных натуральных чисел и число 2.

1037. Является ли число 19 решением неравенства x ‹ 5? Укажите какое-нибудь число, большее 19, удовлетворяющее этому неравенству.

$$\begin{gathered} x<5; x<\sqrt{25} \\ x=\sqrt{19}; \sqrt{19}<\sqrt{25} \\ \sqrt{21}>\sqrt{19}; \sqrt{21}<\sqrt{25}; \sqrt{21}<5 \end{gathered}$$

Ответ: является: $\sqrt{21}\backslash sqrt\{21\}$

Является ли число $\sqrt{19}$ решением неравенства $x < 5$?

Чтобы проверить, является ли число $\sqrt{19}$ решением неравенства $x < 5$, нужно подставить значение $\sqrt{19}$ вместо $x$ и определить, является ли полученное неравенство верным.

Подставляем:

$\sqrt{19} < 5$

Для того чтобы сравнить иррациональное число $\sqrt{19}$ с целым числом $5$, можно возвести обе части неравенства в квадрат. Поскольку оба числа ($\sqrt{19}$ и $5$) положительные, знак неравенства при возведении в квадрат сохранится.

$(\sqrt{19})^2 < 5^2$

Выполняем вычисления:

$19 < 25$

Мы получили верное числовое неравенство, так как $19$ действительно меньше $25$. Это означает, что исходное неравенство $\sqrt{19} < 5$ также является верным.

Ответ: Да, число $\sqrt{19}$ является решением неравенства $x < 5$.

Укажите какое-нибудь число, большее $\sqrt{19}$, удовлетворяющее этому неравенству.

Нам необходимо найти число $y$, которое одновременно удовлетворяет двум условиям:

1. $y > \sqrt{19}$

2. $y < 5$

Другими словами, нам нужно найти любое число, которое находится на числовой прямой между $\sqrt{19}$ и $5$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $\sqrt{19} < y < 5$.

Представим число $5$ в виде корня, чтобы было удобнее сравнивать: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.

Теперь наше неравенство выглядит так: $\sqrt{19} < y < \sqrt{25}$.

Мы можем выбрать любое число, квадрат которого лежит в интервале от $19$ до $25$. Например, мы можем взять число $\sqrt{20}$.

Проверим его: $\sqrt{19} < \sqrt{20}$ (верно, так как $19 < 20$) и $\sqrt{20} < \sqrt{25}$ (верно, так как $20 < 25$).

В качестве другого примера можно взять рациональное число. Мы знаем, что $4^2=16$ и $5^2=25$, значит, $\sqrt{19}$ находится между $4$ и $5$. Оценим его точнее: $4.3^2 = 18.49$, а $4.4^2 = 19.36$. Значит, $\sqrt{19}$ немного больше чем $4.3$. Возьмем, например, число $4.5$.

Проверим его: $4.5 > \sqrt{19}$ (верно, так как $4.5^2=20.25$, а $20.25 > 19$) и $4.5 < 5$ (верно).

Ответ: Таким числом может быть, например, $\sqrt{20}$ или $4.5$.

1038. Является ли число 11 решением неравенства x > 3? Укажите какое-нибудь число, меньшее 11, удовлетворяющее этому неравенству.

$$\begin{gathered} x>3; x>\sqrt{9} \\ x=\sqrt{11}; \sqrt{11}>\sqrt{9} \\ \sqrt{10}<\sqrt{11}; \sqrt{10}>\sqrt{9}; \sqrt{10}>3 \end{gathered}$$

Ответ: является: $\sqrt{10}\backslash sqrt\{10\}$

Является ли число $\sqrt{11}$ решением неравенства $x > 3$?

Чтобы определить, является ли число $\sqrt{11}$ решением неравенства $x > 3$, необходимо подставить это значение вместо $x$ и проверить истинность полученного числового неравенства.

Подставляем $x = \sqrt{11}$ в неравенство: $$ \sqrt{11} > 3 $$

Для сравнения иррационального числа $\sqrt{11}$ с натуральным числом $3$, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, поскольку оба числа положительны. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt{11})^2 = 11$
$3^2 = 9$

Сравниваем полученные результаты: $$ 11 > 9 $$

Так как неравенство $11 > 9$ является верным, то и исходное неравенство $\sqrt{11} > 3$ также является верным. Это означает, что число $\sqrt{11}$ удовлетворяет данному неравенству.

Ответ: Да, число $\sqrt{11}$ является решением неравенства $x > 3$.

Укажите какое-нибудь число, меньшее $\sqrt{11}$, удовлетворяющее этому неравенству.

Нам необходимо найти такое число $y$, которое удовлетворяет системе из двух неравенств: $$ \begin{cases} y < \sqrt{11} \\ y > 3 \end{cases} $$

Это равносильно нахождению числа $y$, лежащего в интервале $(3; \sqrt{11})$. Чтобы было удобнее найти такое число, представим $3$ в виде корня: $3 = \sqrt{9}$.

Теперь задача сводится к поиску числа $y$, для которого выполняется двойное неравенство: $$ \sqrt{9} < y < \sqrt{11} $$

Мы можем выбрать любое число, квадрат которого находится между $9$ и $11$. Например, возьмем число $10$. Так как $9 < 10 < 11$, то, извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{11}$.

Таким образом, число $\sqrt{10}$ удовлетворяет условиям: $\sqrt{10} > 3$ и $\sqrt{10} < \sqrt{11}$.

Также можно было выбрать и десятичную дробь. Например, $3.2$. Проверим: $3.2 > 3$. Возведем в квадрат: $3.2^2 = 10.24$. Так как $10.24 < 11$, то и $3.2 < \sqrt{11}$. Следовательно, $3.2$ также является подходящим числом. Существует бесконечно много таких чисел.

Ответ: $\sqrt{10}$.

1039. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} 0,01(1-3x)>0,02x+3,01 \\ 0,01-0,03x>0,02x+3,01 \\ -0,03x-0,02x>3,01-0,01 \\ -0,05x>3 \\ x<-\frac{3}{0,05} \\ x<-\frac{300}{5} \\ x<-60 \end{gathered}$$

Ответ: (-∞; -60)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}12(1-12x)+100x>36-49x \\ 12-144x+100x>36-49x \\ -44x+49x>36-12 \\ 5x>24 \\ x>\frac{24}{5} \\ x>4,8 \end{gathered}$$

Ответ: (4,8; +∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(0,6y-1\right)-0,2\left(3y+1\right)<5y-4 \\ 0,6y-1-0,6y-0,2<5y-4 \\ -5y-1,2<-4 \\ -5y<-4+1,2 \\ -5y<-2,8 \\ y>\frac{-2,8}{-5} \\ y>0,56 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(0,56; +\mathrm{\infty }\right)(0,56;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{2}{3}\left(6x+4\right)-\frac{1}{6}\left(12x-5\right)\le 4-6x \\ 4x+\frac{8}{3}-2x+\frac{5}{6}\le 4-6x \\ 2x+\frac{16}{6}+\frac{5}{6}\le 4-6x \\ 2x+6x\le 4-\frac{21}{6} \\ 8x\le 4-3,5 \\ 8x\le 0,5 \\ x\le \frac{0,5}{8} \\ x\le \frac{5}{80} \\ x\le \frac{1}{16} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; \frac{1}{16}]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\left(3a+1\right)\left(a-1\right)-3a^2>6a+7 \\ 3a^2-3a+a-1-3a^2>6a+7 \\ -2a-6a>7+1 \\ -8a>8 \\ a<-1 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -1\right)(-\backslash infty;-1)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}15x^2-\left(5x-2\right)\left(3x+1\right)<7x-8 \\ 15x^2-\left(15x^2+5x-6x-2\right)<7x-8 \\ 15x^2-15x^2+x+2<7x-8 \\ x-7x<-8-2 \\ -6x<-10 \\ x>\frac{10}{6} \\ x>\frac{5}{3} \\ x>1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1\frac{2}{3}; +\mathrm{\infty }\right)(1\backslash frac\{2\}\{3\};+\backslash infty)$

а) $0,01(1 - 3x) > 0,02x + 3,01$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части неравенства на 100:

$100 \cdot 0,01(1 - 3x) > 100 \cdot (0,02x + 3,01)$

$1 \cdot (1 - 3x) > 2x + 301$

Раскроем скобки:

$1 - 3x > 2x + 301$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$-3x - 2x > 301 - 1$

$-5x > 300$

Разделим обе части на -5, при этом поменяв знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{300}{-5}$

$x < -60$

Ответ: $x \in (-\infty; -60)$.

б) $12(1 - 12x) + 100x > 36 - 49x$

Раскроем скобки в левой части:

$12 - 144x + 100x > 36 - 49x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$12 - 44x > 36 - 49x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$-44x + 49x > 36 - 12$

$5x > 24$

Разделим обе части на 5:

$x > \frac{24}{5}$

$x > 4,8$

Ответ: $x \in (4,8; +\infty)$.

в) $(0,6y - 1) - 0,2(3y + 1) < 5y - 4$

Раскроем скобки:

$0,6y - 1 - 0,6y - 0,2 < 5y - 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-1,2 < 5y - 4$

Перенесем число -4 в левую часть с противоположным знаком:

$-1,2 + 4 < 5y$

$2,8 < 5y$

Разделим обе части на 5:

$\frac{2,8}{5} < y$

$0,56 < y$

Ответ: $y \in (0,56; +\infty)$.

г) $\frac{2}{3}(6x + 4) - \frac{1}{6}(12x - 5) \le 4 - 6x$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6:

$6 \cdot \frac{2}{3}(6x + 4) - 6 \cdot \frac{1}{6}(12x - 5) \le 6 \cdot (4 - 6x)$

$4(6x + 4) - 1(12x - 5) \le 24 - 36x$

Раскроем скобки:

$24x + 16 - 12x + 5 \le 24 - 36x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$12x + 21 \le 24 - 36x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$12x + 36x \le 24 - 21$

$48x \le 3$

Разделим обе части на 48:

$x \le \frac{3}{48}$

$x \le \frac{1}{16}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{16}]$.

д) $(3a + 1)(a - 1) - 3a^2 > 6a + 7$

Раскроем скобки в левой части, перемножив многочлены:

$(3a^2 - 3a + a - 1) - 3a^2 > 6a + 7$

$3a^2 - 2a - 1 - 3a^2 > 6a + 7$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-2a - 1 > 6a + 7$

Перенесем слагаемые с $a$ вправо, а числа влево, чтобы коэффициент при $a$ был положительным:

$-1 - 7 > 6a + 2a$

$-8 > 8a$

Разделим обе части на 8:

$-1 > a$

Ответ: $a \in (-\infty; -1)$.

е) $15x^2 - (5x - 2)(3x + 1) < 7x - 8$

Раскроем скобки, перемножив многочлены:

$(5x - 2)(3x + 1) = 15x^2 + 5x - 6x - 2 = 15x^2 - x - 2$

Подставим результат в неравенство:

$15x^2 - (15x^2 - x - 2) < 7x - 8$

Раскроем скобки, меняя знаки:

$15x^2 - 15x^2 + x + 2 < 7x - 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x + 2 < 7x - 8$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$2 + 8 < 7x - x$

$10 < 6x$

Разделим обе части на 6:

$\frac{10}{6} < x$

$\frac{5}{3} < x$

Ответ: $x \in (\frac{5}{3}; +\infty)$.

1040. При каких значениях а верно неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\frac{a-1}{4}-1>\frac{a+1}{3}+8 /·12 \\ 3(a-1)-12>4(a+1)+96 \\ 3a-3-12>4a+4+96 \\ 3a-15>4a+100 \\ 3a-4a>100+15 \\ -a>115 \\ a<-115 \end{gathered}$$

Ответ: $( - \infty ; - 115 )$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\frac{3a-1}{2}-\frac{a-1}{4}>0 /·4 \\ 2(3a-1)-(a-1)>0 \\ 6a-2-a+1>0 \\ 5a-1>0 \\ 5a>1 \\ a>\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Ответ: $( \frac{1}{5}; + \infty )$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\frac{1-2a}{4}-2<\frac{1-5a}{8} /·8 \\ 2(1-2a)-16<1-5a \\ 2-4a-16<1-5a \\ -4a-14<1-5a \\ -4a+5a<1+14 \\ a<15 \end{gathered}$$

Ответ: $( - \infty ; 15 )$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}}\frac{5a}{6}-\frac{3a-1}{3}+\frac{2a-1}{2}<1 /·6 \\ 5a-2(3a-1)+3(2a-1)<6 \\ 5a-6a+2+6a-3<6 \\ 5a-1<6 \\ 5a<7 \\ a<\frac{7}{5} \\ a<1,4 \end{gathered}$$

Ответ: $( - \infty ; 1 , 4 )$

а) Чтобы решить неравенство $ \frac{a-1}{4} - 1 > \frac{a+1}{3} + 8 $, избавимся от знаменателей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12.
$ 12 \cdot (\frac{a-1}{4} - 1) > 12 \cdot (\frac{a+1}{3} + 8) $
$ 12 \cdot \frac{a-1}{4} - 12 \cdot 1 > 12 \cdot \frac{a+1}{3} + 12 \cdot 8 $
$ 3(a-1) - 12 > 4(a+1) + 96 $
Раскроем скобки:
$ 3a - 3 - 12 > 4a + 4 + 96 $
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$ 3a - 15 > 4a + 100 $
Перенесем слагаемые с переменной $a$ в одну сторону, а числа — в другую:
$ -15 - 100 > 4a - 3a $
$ -115 > a $
Это неравенство равносильно $ a < -115 $.
Ответ: $ a < -115 $.

б) Решим неравенство $ \frac{3a-1}{2} - \frac{a-1}{4} > 0 $. Умножим обе части на общий знаменатель 4.
$ 4 \cdot (\frac{3a-1}{2} - \frac{a-1}{4}) > 4 \cdot 0 $
$ 2(3a-1) - (a-1) > 0 $
Раскроем скобки:
$ 6a - 2 - a + 1 > 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 5a - 1 > 0 $
Перенесем свободный член в правую часть:
$ 5a > 1 $
Разделим обе части на 5:
$ a > \frac{1}{5} $
Ответ: $ a > \frac{1}{5} $.

в) Решим неравенство $ \frac{1-2a}{4} - 2 < \frac{1-5a}{8} $. Умножим обе части на общий знаменатель 8.
$ 8 \cdot (\frac{1-2a}{4} - 2) < 8 \cdot \frac{1-5a}{8} $
$ 2(1-2a) - 16 < 1-5a $
Раскроем скобки:
$ 2 - 4a - 16 < 1-5a $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ -4a - 14 < 1 - 5a $
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:
$ -4a + 5a < 1 + 14 $
$ a < 15 $
Ответ: $ a < 15 $.

г) Решим неравенство $ \frac{5a}{6} - \frac{3a-1}{3} + \frac{2a-1}{2} < 1 $. Умножим обе части на общий знаменатель 6.
$ 6 \cdot (\frac{5a}{6} - \frac{3a-1}{3} + \frac{2a-1}{2}) < 6 \cdot 1 $
$ 5a - 2(3a-1) + 3(2a-1) < 6 $
Раскроем скобки:
$ 5a - 6a + 2 + 6a - 3 < 6 $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ (5a - 6a + 6a) + (2 - 3) < 6 $
$ 5a - 1 < 6 $
Перенесем свободный член в правую часть:
$ 5a < 7 $
Разделим обе части на 5:
$ a < \frac{7}{5} $
Ответ: $ a < \frac{7}{5} $.

1041. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{x-0,5}{4}+\frac{x-0,25}{4}+\frac{x-0,125}{8}<0 /·8 \\ 2(x-0,5)+2(x-0,25)+x-0,125<0 \\ 2x-1+2x-0,5+x-0,125<0 \\ 5x-1,625<0 \\ 5x<1,625 \\ x<0,325 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\infty ; 0,325)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{5-x}{3}-\frac{1-x}{2}>1 /·6 \\ 2(5-x)-3(1-x)>6 \\ 10-2x-3+3x>\mathrm{6 } \\ 7+x>6 \\ x>-1 \end{gathered}$$

Ответ: $( - 1 ; + \infty )$

а)

Дано неравенство: $ \frac{x - 0,5}{4} + \frac{x - 0,25}{4} + \frac{x - 0,125}{8} < 0 $

Для решения этого линейного неравенства приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 8 равен 8. Умножим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$ 8 \cdot \left( \frac{x - 0,5}{4} + \frac{x - 0,25}{4} + \frac{x - 0,125}{8} \right) < 8 \cdot 0 $

$ \frac{8 \cdot (x - 0,5)}{4} + \frac{8 \cdot (x - 0,25)}{4} + \frac{8 \cdot (x - 0,125)}{8} < 0 $

Выполним сокращение дробей:

$ 2(x - 0,5) + 2(x - 0,25) + 1(x - 0,125) < 0 $

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$ 2x - 1 + 2x - 0,5 + x - 0,125 < 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (2x + 2x + x) + (-1 - 0,5 - 0,125) < 0 $

$ 5x - 1,625 < 0 $

Перенесем число -1,625 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$ 5x < 1,625 $

Разделим обе части неравенства на 5:

$ x < \frac{1,625}{5} $

$ x < 0,325 $

Ответ: $x < 0,325$.

б)

Дано неравенство: $ \frac{5 - x}{3} - \frac{1 - x}{2} > 1 $

Найдем общий знаменатель для дробей в левой части. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 2 равен 6. Умножим обе части неравенства на 6. Знак неравенства сохранится, так как 6 > 0.

$ 6 \cdot \left( \frac{5 - x}{3} - \frac{1 - x}{2} \right) > 6 \cdot 1 $

$ \frac{6 \cdot (5 - x)}{3} - \frac{6 \cdot (1 - x)}{2} > 6 $

Выполним сокращение дробей:

$ 2(5 - x) - 3(1 - x) > 6 $

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:

$ 10 - 2x - (3 - 3x) > 6 $

$ 10 - 2x - 3 + 3x > 6 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (-2x + 3x) + (10 - 3) > 6 $

$ x + 7 > 6 $

Перенесем число 7 в правую часть, изменив его знак:

$ x > 6 - 7 $

$ x > -1 $

Ответ: $x > -1$.

1042. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}3\left(5-4x\right)+2\left(14+x\right)>0 \\ 15-12x+28+2x>0 \\ 43-10x>0 \\ 10x<43 \\ x<4,3 \end{gathered}$$

Ответ: 1; 2; 3; 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-3x\right)\le 14 \\ {x}^2-1-x^2+3x\le 14 \\ 3x-1\le 14 \\ 3x\le 15 \\ x\le 5 \end{gathered}$$

Ответ: 1; 2; 3; 4; 5

а) Решим неравенство $3(5 - 4x) + 2(14 + x) > 0$.

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$3 \cdot 5 - 3 \cdot 4x + 2 \cdot 14 + 2 \cdot x > 0$

$15 - 12x + 28 + 2x > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(15 + 28) + (-12x + 2x) > 0$

$43 - 10x > 0$

Перенесем слагаемое, не содержащее переменную, в правую часть, изменив его знак:

$-10x > -43$

Разделим обе части неравенства на $-10$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-43}{-10}$

$x < 4.3$

По условию задачи, необходимо найти все натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Натуральными числами, которые меньше 4.3, являются 1, 2, 3 и 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

б) Решим неравенство $(x + 1)(x - 1) - (x^2 - 3x) \le 14$.

Преобразуем левую часть неравенства. Выражение $(x + 1)(x - 1)$ является формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(x^2 - 1^2) - (x^2 - 3x) \le 14$

$(x^2 - 1) - (x^2 - 3x) \le 14$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$x^2 - 1 - x^2 + 3x \le 14$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + 3x - 1 \le 14$

$3x - 1 \le 14$

Перенесем свободный член в правую часть неравенства:

$3x \le 14 + 1$

$3x \le 15$

Разделим обе части неравенства на 3 (знак неравенства не меняется, так как делим на положительное число):

$x \le \frac{15}{3}$

$x \le 5$

Нам нужно найти все натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству. Натуральными числами, которые меньше или равны 5, являются 1, 2, 3, 4 и 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

1043. При каких значениях x:

а) значение дроби 3x - 812 больше соответствующего значения дроби x - 14 ;

б) значение дроби x + 13 меньше соответствующего значения дроби 2x + 36?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{3x-8}{12}>\frac{x-1}{4} /·12 \\ 3x-8>3\left(x-1\right) \\ 3x-8>3x-3 \\ 0x>5 \end{gathered}$$

Ответ: таких значений x нет, т.к. 0>5 - неверно

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{x+1}{3}<\frac{2x+3}{6} /·6 \\ 2\left(x+1\right)<2x+3 \\ 2x+2<2x+3 \\ 2x-2x<3-2 \\ 0x<1 \end{gathered}$$

Ответ: при любых значениях x, т.к. 0<1 - верно

а)

Чтобы найти значения $x$, при которых значение дроби $ \frac{3x - 8}{12} $ больше соответствующего значения дроби $ \frac{x - 1}{4} $, необходимо решить неравенство:

$ \frac{3x - 8}{12} > \frac{x - 1}{4} $

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 12, чтобы избавиться от дробей. Так как 12 > 0, знак неравенства не изменится.

$ 12 \cdot \frac{3x - 8}{12} > 12 \cdot \frac{x - 1}{4} $

$ 3x - 8 > 3(x - 1) $

Раскроем скобки в правой части:

$ 3x - 8 > 3x - 3 $

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$ 3x - 3x > 8 - 3 $

$ 0 \cdot x > 5 $

$ 0 > 5 $

Полученное неравенство является ложным и не зависит от $x$. Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых исходное неравенство было бы верным.

Ответ: нет таких значений $x$.

б)

Чтобы найти значения $x$, при которых значение дроби $ \frac{x + 1}{3} $ меньше соответствующего значения дроби $ \frac{2x + 3}{6} $, необходимо решить неравенство:

$ \frac{x + 1}{3} < \frac{2x + 3}{6} $

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 6. Знак неравенства сохранится, так как 6 > 0.

$ 6 \cdot \frac{x + 1}{3} < 6 \cdot \frac{2x + 3}{6} $

$ 2(x + 1) < 2x + 3 $

Раскроем скобки в левой части:

$ 2x + 2 < 2x + 3 $

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$ 2x - 2x < 3 - 2 $

$ 0 \cdot x < 1 $

$ 0 < 1 $

Полученное неравенство является верным при любом значении $x$. Следовательно, исходное неравенство выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x$ — любое число.