Страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1000. Укажите допустимые значения переменной:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{\sqrt{12-25x}}{6} \\ 12-25x\ge 0 \\ 25x\le 12 \\ x\le \frac{12}{25} \\ x\le 0,48 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 0,48]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{\sqrt{5x-11}} \\ 5x-11>0 \\ 5x>11 \\ x>\frac{11}{5} \\ x>2,2 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(2,2; +\mathrm{\infty }\right)(2,2;+\backslash infty)$

$\mathbf{\text{в) }}\frac{4x}{\sqrt{{\left(3x-2\right)}^2}}$

${\left(3x-2\right)}^2>0$ при любых х, кроме $x=\frac{2}{3}$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; \frac{2}{3}\right)\cup \left(\frac{2}{3}; +\mathrm{\infty }\right)(-\backslash infty;\; \backslash frac\{2\}\{3\})\; \backslash cup\; (\backslash frac\{2\}\{3\};+\backslash infty)$

а)

Допустимые значения переменной для данного выражения определяются условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, так как корень находится в числителе. Знаменатель является константой (6) и не равен нулю, поэтому на него ограничений нет.

Запишем и решим соответствующее неравенство:
$12 - 25x \geq 0$
Перенесем 12 в правую часть:
$-25x \geq -12$
Разделим обе части на -25, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$x \leq \frac{-12}{-25}$
$x \leq \frac{12}{25}$

Ответ: $x \leq \frac{12}{25}$.

б)

В этом выражении переменная находится под знаком квадратного корня в знаменателе. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (оно не может быть отрицательным из-за свойства корня и не может равняться нулю, так как находится в знаменателе).

Запишем и решим строгое неравенство:
$5x - 11 > 0$
Перенесем -11 в правую часть:
$5x > 11$
Разделим обе части на 5:
$x > \frac{11}{5}$

Ответ: $x > \frac{11}{5}$.

в)

Здесь переменная также находится в знаменателе под знаком квадратного корня. Подкоренное выражение $(3x-2)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) для любого значения $x$, так как это квадрат. Следовательно, единственное ограничение состоит в том, что знаменатель не должен равняться нулю.

Запишем это условие:
$\sqrt{(3x-2)^2} \neq 0$
Так как $\sqrt{a^2} = |a|$, то $|3x-2| \neq 0$. Это эквивалентно следующему условию:
$3x - 2 \neq 0$
Перенесем -2 в правую часть:
$3x \neq 2$
Разделим обе части на 3:
$x \neq \frac{2}{3}$

Ответ: $x \neq \frac{2}{3}$.

1001. Найдите все натуральные значения n, при которых значение дроби 9n² + 12n + 12n — натуральное число.

$\frac{9n^2+12n+12}{n}=\frac{9n^2}{n}+\frac{12n}{n}+\frac{12}{n}=9n+12+\frac{12}{n}$

n=1, 2, 3, 4, 6, 12

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12

По условию задачи, $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), и значение дроби $\frac{9n^2 + 12n + 12}{n}$ также должно быть натуральным числом.

Для нахождения всех таких $n$, преобразуем данное выражение, разделив числитель почленно на знаменатель. Получим: $\frac{9n^2 + 12n + 12}{n} = \frac{9n^2}{n} + \frac{12n}{n} + \frac{12}{n} = 9n + 12 + \frac{12}{n}$.

Выражение $9n + 12 + \frac{12}{n}$ должно быть натуральным числом. Поскольку $n$ — натуральное число, то $9n$ — натуральное число, и $12$ — натуральное число. Сумма двух натуральных чисел $(9n + 12)$ также всегда будет натуральным числом.

Следовательно, для того чтобы вся сумма $9n + 12 + \frac{12}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{12}{n}$ было целым числом. Так как $n$ по условию является натуральным числом ($n > 0$), то и $\frac{12}{n}$ должно быть натуральным числом.

Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 12.

Всеми натуральными делителями числа 12 являются числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

1002. а) Выразите переменную h через S и а, если S =12ah.

б) Выразите переменную p через s и m, если sp = 0,5m.

в) Выразите переменную t через s и а, если s =at²2 и t > 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}S=\frac{1}{2}ah \\ ah=2S \\ h=\frac{2S}{a} \\ \mathbf{\text{б) }}\frac{S}{p}=0,5m \\ p·0,5m=S \\ p=\frac{S}{0,5m}=\frac{2S}{m} \\ \mathbf{\text{в) }}S=\frac{a{t}^2}{2}, t>0 \\ a{t}^2=2S \\ {t}^2=\frac{2S}{a} \\ t=\sqrt{\frac{2S}{a}} \end{gathered}$$

а) Чтобы выразить переменную $h$ из формулы $S = \frac{1}{2}ah$, нужно изолировать $h$ в одной части уравнения.
1. Сначала умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2 \cdot S = 2 \cdot \frac{1}{2}ah$
$2S = ah$
2. Теперь разделим обе части уравнения на $a$ (при условии, что $a \neq 0$), чтобы найти $h$:
$\frac{2S}{a} = \frac{ah}{a}$
$h = \frac{2S}{a}$
Ответ: $h = \frac{2S}{a}$

б) Чтобы выразить переменную $p$ из формулы $\frac{s}{p} = 0,5m$, необходимо изолировать $p$.
1. Исходное уравнение: $\frac{s}{p} = 0,5m$.
2. Умножим обе части уравнения на $p$ (при условии, что $p \neq 0$):
$p \cdot \frac{s}{p} = p \cdot 0,5m$
$s = 0,5mp$
3. Теперь разделим обе части на $0,5m$ (при условии, что $m \neq 0$), чтобы выразить $p$:
$\frac{s}{0,5m} = p$
4. Для упрощения можно заменить $0,5$ на дробь $\frac{1}{2}$:
$p = \frac{s}{0,5m} = \frac{s}{\frac{1}{2}m} = \frac{2s}{m}$
Ответ: $p = \frac{2s}{m}$

в) Чтобы выразить переменную $t$ из формулы $s = \frac{at^2}{2}$ при условии $t > 0$, выполним следующие преобразования.
1. Умножим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot s = 2 \cdot \frac{at^2}{2}$
$2s = at^2$
2. Разделим обе части на $a$ (при условии, что $a \neq 0$), чтобы выделить $t^2$:
$\frac{2s}{a} = t^2$
3. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку по условию $t > 0$, мы рассматриваем только положительное значение корня:
$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$
Ответ: $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

1003. Велосипедист проехал 20 км по дороге, ведущей в гору, и 60 км по ровной местности, затратив на весь путь 6 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке пути, если известно, что в гору он ехал со скоростью, на 5 км/ч меньшей, чем по ровной местности?

Пусть х км/ч - скорость велосипедиста по ровной местности, тогда (х-5)км/ч - его скорость в гору. Зная, что в гору он проехал 20км, а по ровной местности 60км, затратив на весь путь 6ч, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{20}{x-5}+\frac{60}{x}=6 /·x\left(x-5\right) \\ 20x+60\left(x-5\right)=6x\left(x-5\right) \\ 20x+60x-300=6x^2-30x \\ 6x^2-30x-80x+300=0 \\ 6x^2-110x+300=0 /:2 \\ 3x^2-55x+150=0 \\ D={\left(-55\right)}^2-4·3·150=3025-1800=1225 \\ x=\frac{55\pm \sqrt{1225}}{6}; x=\frac{55\pm 35}{6} \\ {x}_1=15; x_2=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Если $x=3\frac{1}{3}x=3\backslash frac\{1\}\{3\}$, то , что не удовлетворяет условию задачи x>0

15-5=10(км/ч) - скорость велосипедиста в гору

Ответ: 10 км/ч и 15 км/ч

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста по ровной местности. Согласно условию задачи, его скорость в гору была на 5 км/ч меньше, следовательно, она равна $(x - 5)$ км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, затраченное на путь в гору, составляет $t_1 = \frac{20}{x-5}$ часов.

Время, затраченное на путь по ровной местности, составляет $t_2 = \frac{60}{x}$ часов.

Общее время в пути равно 6 часам. Составим и решим уравнение, сложив время, затраченное на каждом участке:

$\frac{20}{x-5} + \frac{60}{x} = 6$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$. Так как скорость не может быть отрицательной, и скорость в гору $(x-5)$ должна быть положительной, то $x > 5$.

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x-5)$ и умножим на него обе части уравнения:

$20x + 60(x-5) = 6x(x-5)$

Раскроем скобки:

$20x + 60x - 300 = 6x^2 - 30x$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$80x - 300 = 6x^2 - 30x$

$6x^2 - 30x - 80x + 300 = 0$

$6x^2 - 110x + 300 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$3x^2 - 55x + 150 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 150 = 3025 - 1800 = 1225$

Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{55 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 3} = \frac{55 + 35}{6} = \frac{90}{6} = 15$

$x_2 = \frac{55 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 3} = \frac{55 - 35}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($x > 5$).

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $15 > 5$.

Корень $x_2 = \frac{10}{3} \approx 3.33$ не удовлетворяет условию $x > 5$, так как при этом значении скорость в гору ($x-5$) была бы отрицательной. Следовательно, этот корень является посторонним.

Итак, скорость велосипедиста по ровной местности равна 15 км/ч.

Найдем скорость велосипедиста в гору:

$15 - 5 = 10$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста в гору — 10 км/ч, по ровной местности — 15 км/ч.

1. Что называется пересечением двух множеств? объединением двух множеств?

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Объединением множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Что называется пересечением двух множеств?

Пересечением двух множеств, например, множества $A$ и множества $B$, называется новое множество, которое состоит из всех тех и только тех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству $A$, и множеству $B$. Иными словами, это множество всех общих элементов для исходных множеств.

Операция пересечения множеств обозначается символом $ \cap $. Запись $A \cap B$ читается как «пересечение множеств A и B».

Формальное определение пересечения с помощью математической нотации выглядит следующим образом:
$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$
Это означает, что пересечение $A \cap B$ есть множество таких элементов $x$, которые принадлежат ($ \in $) множеству $A$ и одновременно принадлежат множеству $B$.

Пример:
Пусть даны два множества:
$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$
Общими элементами для этих множеств являются числа 4 и 5. Следовательно, их пересечением будет множество:
$A \cap B = \{4, 5\}$

Ответ: Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат каждому из этих множеств.

Что называется объединением двух множеств?

Объединением двух множеств $A$ и $B$ называется новое множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (то есть, принадлежащих или множеству $A$, или множеству $B$, или обоим сразу).

Операция объединения множеств обозначается символом $ \cup $. Запись $A \cup B$ читается как «объединение множеств A и B».

Формальное определение объединения:
$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}$
Это означает, что объединение $A \cup B$ есть множество таких элементов $x$, которые принадлежат ($ \in $) множеству $A$ или принадлежат множеству $B$.

Пример:
Возьмем те же множества:
$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$
Чтобы найти их объединение, нужно собрать все элементы из обоих множеств, при этом каждый элемент учитывается только один раз.
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

Ответ: Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

2. Изобразите на координатной прямой известные вам виды числовых промежутков. Назовите и обозначьте их.

Числовые промежутки — это подмножества множества действительных чисел, которые можно изобразить на координатной прямой. Рассмотрим основные виды числовых промежутков.

Интервал (открытый промежуток)

Это множество всех чисел, расположенных между числами $a$ и $b$, причем сами числа $a$ и $b$ в этот промежуток не входят. На координатной прямой граничные точки $a$ и $b$ изображаются выколотыми (пустыми) кружками.

Обозначается с помощью круглых скобок: $(a; b)$. Соответствующее неравенство: $a < x < b$.

Ответ: интервал $(a; b)$.

Отрезок (замкнутый промежуток)

Это множество всех чисел, расположенных между числами $a$ и $b$, включая сами числа $a$ и $b$. На координатной прямой граничные точки $a$ и $b$ изображаются закрашенными (сплошными) кружками.

Обозначается с помощью квадратных скобок: $[a; b]$. Соответствующее неравенство: $a \le x \le b$.

Ответ: отрезок $[a; b]$.

Полуинтервалы

Это числовые промежутки, у которых один конец включен в множество, а другой — нет. Включенный конец обозначается закрашенной точкой, а невключенный — выколотой.

1. Промежуток, включающий левый конец и не включающий правый:

Обозначение: $[a; b)$. Неравенство: $a \le x < b$.

2. Промежуток, не включающий левый конец и включающий правый:

Обозначение: $(a; b]$. Неравенство: $a < x \le b$.

Ответ: полуинтервалы $[a; b)$ и $(a; b]$.

Лучи

Это множество чисел, которое ограничено с одной стороны числом $a$ и неограниченно с другой. Если граничная точка $a$ не включается в множество, луч называется открытым. Если включается — замкнутым (или просто лучом).

1. Открытый луч ($x > a$ или $x < a$):

Промежуток $(a; +\infty)$:

Промежуток $(-\infty; a)$:

2. Замкнутый луч (или просто луч) ($x \ge a$ или $x \le a$):

Промежуток $[a; +\infty)$:

Промежуток $(-\infty; a]$:

Ответ: лучи $(a; +\infty)$, $(-\infty; a)$, $[a; +\infty)$, $(-\infty; a]$.

Вся числовая прямая

Это множество всех действительных чисел. Оно не имеет границ и на координатной прямой изображается как вся заштрихованная ось.

Обозначается: $(-\infty; +\infty)$. Это множество также обозначают символом $\mathbb{R}$.

Ответ: числовая прямая $(-\infty; +\infty)$.

3. Что называется решением неравенства? Является ли решением неравенства Зx - 11 > 1 число 5? число 2? Что значит решить неравенство?

Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Число 5 является решением неравенства, так как 3*5-11>1 - верно, число 2 не является решением неравенства, так как 3*2-11>1 - неверно.

Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Что называется решением неравенства?

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое при подстановке в неравенство обращает его в верное числовое неравенство.

Ответ: значение переменной, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство.

Является ли решением неравенства $3x - 11 > 1$ число 5? число 2?

Чтобы проверить, является ли число решением неравенства, нужно подставить это число вместо переменной в неравенство и определить, является ли полученное числовое неравенство верным.

1. Проверка для числа 5.
Подставляем $x = 5$ в неравенство $3x - 11 > 1$:
$3 \cdot 5 - 11 > 1$
$15 - 11 > 1$
$4 > 1$
Получилось верное числовое неравенство, следовательно, число 5 является решением данного неравенства.

2. Проверка для числа 2.
Подставляем $x = 2$ в неравенство $3x - 11 > 1$:
$3 \cdot 2 - 11 > 1$
$6 - 11 > 1$
$-5 > 1$
Получилось неверное числовое неравенство, следовательно, число 2 не является решением данного неравенства.

Ответ: число 5 является решением неравенства, а число 2 не является.

Что значит решить неравенство?

Решить неравенство — это значит найти все его решения (то есть все значения переменной, при которых неравенство выполняется) или доказать, что решений не существует. Множество всех решений образует ответ.

Ответ: найти все его решения или доказать, что их нет.

4. Что называется решением системы неравенств? Является ли решением системы неравенств $\left\{\begin{array}{c}2x + 1 > 3\\ 3x< 10\end{array}\right.$число 3? число 5? Что значит решить систему неравенств?

Определение. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Число З является решением системы неравенств, так как
$\left\{\begin{array}{l}2·3+1>3\text{ — верно }\\ 3·3<10 \text{— верно}\end{array}\right.$

Число 5 не является решением системы неравенств, так как
$\left\{\begin{array}{l}2·5+1>3 \text{— верно} \\ 3·5<10 \text{— неверно}\end{array}\right.$

Решить систему - значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Что называется решением системы неравенств?

Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Иными словами, это число, которое является решением каждого неравенства, входящего в систему.

Ответ: значение переменной, которое удовлетворяет каждому неравенству системы.

Является ли решением системы неравенств $\begin{cases} 2x + 1 > 3, \\ 3x < 10 \end{cases}$ число 3?

Чтобы проверить, является ли число 3 решением данной системы, необходимо подставить это значение вместо переменной $x$ в каждое неравенство и проверить, истинны ли полученные утверждения.

1. Проверяем первое неравенство: $2x + 1 > 3$.
Подставляем $x = 3$: $2 \cdot 3 + 1 > 3$.
$6 + 1 > 3$.
$7 > 3$.
Это верное неравенство.

2. Проверяем второе неравенство: $3x < 10$.
Подставляем $x = 3$: $3 \cdot 3 < 10$.
$9 < 10$.
Это также верное неравенство.

Поскольку число 3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, оно является решением этой системы.

Ответ: да, является.

число 5?

Проверим, является ли число 5 решением той же системы неравенств. Для этого подставим значение $x = 5$ в каждое из неравенств.

1. Проверяем первое неравенство: $2x + 1 > 3$.
Подставляем $x = 5$: $2 \cdot 5 + 1 > 3$.
$10 + 1 > 3$.
$11 > 3$.
Это верное неравенство.

2. Проверяем второе неравенство: $3x < 10$.
Подставляем $x = 5$: $3 \cdot 5 < 10$.
$15 < 10$.
Это неверное неравенство.

Так как число 5 не удовлетворяет второму неравенству, оно не является решением всей системы. Напомним, что для того чтобы число было решением системы, оно должно удовлетворять каждому неравенству в ней.

Ответ: нет, не является.

Что значит решить систему неравенств?

Решить систему неравенств — это значит найти все её решения или доказать, что их не существует. Совокупность всех решений системы называется множеством решений. Чаще всего это множество представляет собой числовой промежуток (интервал, отрезок, луч), объединение нескольких таких промежутков или пустое множество (в случае отсутствия решений).

В качестве примера решим данную систему $\begin{cases} 2x + 1 > 3 \\ 3x < 10 \end{cases}$. Для этого нужно найти пересечение множеств решений каждого из неравенств:

1. $2x + 1 > 3 \implies 2x > 3 - 1 \implies 2x > 2 \implies x > 1$.

2. $3x < 10 \implies x < \frac{10}{3} \implies x < 3\frac{1}{3}$.

Решением системы является множество всех чисел $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x > 1$ и $x < 3\frac{1}{3}$. Это можно записать в виде двойного неравенства $1 < x < 3\frac{1}{3}$ или в виде числового промежутка $(1; 3\frac{1}{3})$. Нахождение этого множества и есть решение системы неравенств.

Ответ: это значит найти множество всех значений переменной, которые удовлетворяют системе, или доказать, что таких значений не существует.