Страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

973. Является ли число 3 решением системы неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}6x-1>x\\ 4x-32<3x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6·3-1>3\\ 4·3-32<3·3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}17>3\text{ - верно}\\ -20<9\text{ - верно}\end{array}\right.$

Ответ: да

б) $\left\{\begin{array}{l}7x<5x+7\\ 3x-1>5-x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}7·3<5·3+7\\ 3·3-1>5-3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}21<22\text{ - верно}\\ 8>2\text{ - верно}\end{array}\right.$

Ответ: да

в) $\left\{\begin{array}{l}5x+4<20\\ 3-2x>-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}5·3+4<20\\ 3-2·3>-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}19<20\text{ - верно}\\ -3>-1\text{ - неверно}\end{array}\right.$

Ответ: нет

Чтобы проверить, является ли число 3 решением системы неравенств, необходимо подставить значение $x=3$ в каждое неравенство, входящее в систему. Число будет являться решением системы только в том случае, если оно обращает в верное числовое неравенство каждое из неравенств системы.

а) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 6x - 1 > x, \\ 4x - 32 < 3x \end{cases} $$ Подставим $x=3$ в каждое неравенство:
1) Первое неравенство: $6 \cdot 3 - 1 > 3 \implies 18 - 1 > 3 \implies 17 > 3$. Это верное неравенство.
2) Второе неравенство: $4 \cdot 3 - 32 < 3 \cdot 3 \implies 12 - 32 < 9 \implies -20 < 9$. Это также верное неравенство.
Так как оба неравенства при подстановке $x=3$ обратились в верные числовые неравенства, число 3 является решением данной системы.
Ответ: да, является.

б) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 7x < 5x + 7, \\ 3x - 1 > 5 - x \end{cases} $$ Подставим $x=3$ в каждое неравенство:
1) Первое неравенство: $7 \cdot 3 < 5 \cdot 3 + 7 \implies 21 < 15 + 7 \implies 21 < 22$. Это верное неравенство.
2) Второе неравенство: $3 \cdot 3 - 1 > 5 - 3 \implies 9 - 1 > 2 \implies 8 > 2$. Это также верное неравенство.
Так как оба неравенства верны, число 3 является решением данной системы.
Ответ: да, является.

в) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 5x + 4 < 20, \\ 3 - 2x > -1 \end{cases} $$ Подставим $x=3$ в каждое неравенство:
1) Первое неравенство: $5 \cdot 3 + 4 < 20 \implies 15 + 4 < 20 \implies 19 < 20$. Это верное неравенство.
2) Второе неравенство: $3 - 2 \cdot 3 > -1 \implies 3 - 6 > -1 \implies -3 > -1$. Это неверное неравенство, так как $-3$ меньше, чем $-1$.
Так как одно из неравенств системы при $x=3$ обратилось в неверное числовое неравенство, число 3 не является решением данной системы.
Ответ: нет, не является.

974. Какие из чисел –2, 0, 5, 6 являются решениями системы неравенств

$\left\{\begin{array}{c}rowspacing="0,36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">3x-22<0\\ 2x-1>3\end{array}\right.$

x=-2 $\left\{\begin{array}{c}3·\left(-2\right)-22<0\\ 2·\left(-2\right)-1>3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-6-22<0\text{ - верно}\\ -5>3 \text{-неверно}\end{array}\right.$

x=0 $\left\{\begin{array}{l}3·0-22<0\\ 2·0-1>3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-22<0\text{ - верно}\\ -1>3\text{ - неверно}\end{array}\right.$

x=5 $\left\{\begin{array}{l}3·5-22<0\\ 2·5-1>3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-7<0\text{ - верно}\\ 9>3 \text{- верно}\end{array}\right.$

X=6 $\left\{\begin{array}{l}3·6-22<0\\ 2·6-1>3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-4<0 \text{-верно}\\ 11>3\text{ - верно}\end{array}\right.$

Ответ: 5 и 6

Чтобы определить, какие из чисел –2, 0, 5, 6 являются решениями системы неравенств, необходимо подставить каждое из этих чисел вместо переменной $x$ в оба неравенства системы. Число является решением системы, только если оно удовлетворяет каждому неравенству в этой системе.

Исходная система неравенств:

$\begin{cases}3x - 22 < 0 \\2x - 1 > 3\end{cases}$

Проверка числа –2

Подставляем $x = -2$ в систему:

$\begin{cases}3(-2) - 22 < 0 \\2(-2) - 1 > 3\end{cases}$

Выполняем вычисления:

$\begin{cases}-6 - 22 < 0 \\-4 - 1 > 3\end{cases}$

$\begin{cases}-28 < 0 & \text{(верно)} \\-5 > 3 & \text{(неверно)}\end{cases}$

Поскольку второе неравенство неверно, число –2 не является решением системы.

Ответ: не является.

Проверка числа 0

Подставляем $x = 0$ в систему:

$\begin{cases}3(0) - 22 < 0 \\2(0) - 1 > 3\end{cases}$

Выполняем вычисления:

$\begin{cases}0 - 22 < 0 \\0 - 1 > 3\end{cases}$

$\begin{cases}-22 < 0 & \text{(верно)} \\-1 > 3 & \text{(неверно)}\end{cases}$

Поскольку второе неравенство неверно, число 0 не является решением системы.

Ответ: не является.

Проверка числа 5

Подставляем $x = 5$ в систему:

$\begin{cases}3(5) - 22 < 0 \\2(5) - 1 > 3\end{cases}$

Выполняем вычисления:

$\begin{cases}15 - 22 < 0 \\10 - 1 > 3\end{cases}$

$\begin{cases}-7 < 0 & \text{(верно)} \\9 > 3 & \text{(верно)}\end{cases}$

Поскольку оба неравенства верны, число 5 является решением системы.

Ответ: является.

Проверка числа 6

Подставляем $x = 6$ в систему:

$\begin{cases}3(6) - 22 < 0 \\2(6) - 1 > 3\end{cases}$

Выполняем вычисления:

$\begin{cases}18 - 22 < 0 \\12 - 1 > 3\end{cases}$

$\begin{cases}-4 < 0 & \text{(верно)} \\11 > 3 & \text{(верно)}\end{cases}$

Поскольку оба неравенства верны, число 6 является решением системы.

Ответ: является.

Таким образом, из предложенного списка чисел решениями системы неравенств являются 5 и 6.