Страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

943. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}5\left(x-1\right)+7\le 1-3\left(x+2\right) \\ 5x-5+7\le 1-3x-6 \\ 5x+2\le -5-3x \\ 5x+3x\le -5-2 \\ 8x\le -7 \\ x\le -\frac{7}{8} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; -\frac{7}{8}]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}4\left(a+8\right)-7\left(a-1\right)<12 \\ 4a+32-7a+7<12 \\ -3a+39<12 \\ -3a<-39+12 \\ -3a<-27 \\ a>9 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(9; +\mathrm{\infty }\right)(9;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}4\left(b-1,5\right)-1,2\ge 6b-1 \\ 4b-6-1,2\ge 6b-1 \\ 4b-7,2\ge 6b-1 \\ 4b-6b\ge -1+7,2 \\ -2b\ge 6,2 \\ b\le -\frac{6,2}{2} \\ b\le -3,1 \end{gathered}$$

Ответ: (-∞; -3,1]

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}1,7-3\left(1-m\right)\le -\left(m-1,9\right) \\ 1,7-3+3m\le -m+1,9 \\ 3m-1,3\le -m+1,9 \\ 3m+m\le 1,9+1,3 \\ 4m\le 3,2 \\ m\le 0,8 \end{gathered}$$

Ответ: (-∞; 0,8]

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}4x>12\left(3x-1\right)-16\left(x+1\right) \\ 4x>36x-12-16x-16 \\ 4x>20x-28 \\ 4x-20x>-28 \\ -16x>-28 \\ x<\frac{28}{16} \\ x<\frac{7}{4} \\ x<1\frac{3}{4} \end{gathered}$$

Ответ (-∞:$1\frac{3}{4}1\backslash frac\{3\}\{4\}$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}a+2<5\left(2a+8\right)+13\left(4-a\right) \\ a+2<10a+40+52-13a \\ a+2<92-3a \\ a+3a<92-2 \\ 4a<90 \\ a<22,5 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 22,5\right)(-\backslash infty;\; 22,5)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}6y-\left(y+8\right)-3\left(2-y\right)\le 2 \\ 6y-y-8-6+3y\le 2 \\ 8y-14\le 2 \\ 8y\le 16 \\ y\le 2 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 2]$

а)

Решим неравенство $5(x - 1) + 7 \le 1 - 3(x + 2)$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$5x - 5 + 7 \le 1 - 3x - 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$5x + 2 \le -3x - 5$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$5x + 3x \le -5 - 2$

Снова приведем подобные слагаемые:

$8x \le -7$

Разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \le -\frac{7}{8}$

Решение можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty, -7/8]$.

б)

Решим неравенство $4(a + 8) - 7(a - 1) < 12$.

Раскроем скобки:

$4a + 32 - 7a + 7 < 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3a + 39 < 12$

Перенесем свободный член 39 в правую часть с противоположным знаком:

$-3a < 12 - 39$

$-3a < -27$

Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$a > \frac{-27}{-3}$

$a > 9$

Ответ: $a \in (9, +\infty)$.

в)

Решим неравенство $4(b - 1,5) - 1,2 \ge 6b - 1$.

Раскроем скобки:

$4b - 6 - 1,2 \ge 6b - 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4b - 7,2 \ge 6b - 1$

Перенесем слагаемые с переменной $b$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-7,2 + 1 \ge 6b - 4b$

$-6,2 \ge 2b$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется:

$-3,1 \ge b$

Запишем в более привычном виде:

$b \le -3,1$

Ответ: $b \in (-\infty, -3,1]$.

г)

Решим неравенство $1,7 - 3(1 - m) \le -(m - 1,9)$.

Раскроем скобки в обеих частях:

$1,7 - 3 + 3m \le -m + 1,9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-1,3 + 3m \le -m + 1,9$

Перенесем слагаемые с переменной $m$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3m + m \le 1,9 + 1,3$

$4m \le 3,2$

Разделим обе части на 4:

$m \le 0,8$

Ответ: $m \in (-\infty, 0,8]$.

д)

Решим неравенство $4x > 12(3x - 1) - 16(x + 1)$.

Раскроем скобки в правой части:

$4x > 36x - 12 - 16x - 16$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$4x > 20x - 28$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$4x - 20x > -28$

$-16x > -28$

Разделим обе части на -16, меняя знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{-28}{-16}$

Сократим дробь: $x < \frac{7}{4}$ или $x < 1,75$.

Ответ: $x \in (-\infty, 7/4)$.

е)

Решим неравенство $a + 2 < 5(2a + 8) + 13(4 - a)$.

Раскроем скобки в правой части:

$a + 2 < 10a + 40 + 52 - 13a$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$a + 2 < -3a + 92$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$a + 3a < 92 - 2$

$4a < 90$

Разделим обе части на 4:

$a < \frac{90}{4}$

Сократим дробь и представим в виде десятичной: $a < \frac{45}{2}$ или $a < 22,5$.

Ответ: $a \in (-\infty, 22,5)$.

ж)

Решим неравенство $6y - (y + 8) - 3(2 - y) \le 2$.

Раскроем скобки:

$6y - y - 8 - 6 + 3y \le 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8y - 14 \le 2$

Перенесем свободный член -14 в правую часть:

$8y \le 2 + 14$

$8y \le 16$

Разделим обе части на 8:

$y \le 2$

Ответ: $y \in (-\infty, 2]$.

944. Решите неравенство:

a) 4(2-3x)-(5-x)>11-x

8-12x-5+x>11-x

- 11x+x>11-8+5

-10x>8

x<-0,8

Ответ: (-∞; -0,8)

б) 2(3-z)-3(2+z)≤z

6-2z-6-3z≤z

-5z≤z

-5z-z≤0

-6z≤0

z≥0

Ответ: [0;+∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}1>\mathrm{1,5}\left(4-2a\right)+\mathrm{0,5}\left(2-6a\right) \\ 1>6-3a+1-3a \\ 1-6-1>-6a \\ -6a<-6 \\ a>1 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1; +\mathrm{\infty }\right)(1;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\mathrm{2,5}\left(2-y\right)-\mathrm{1,5}\left(y-4\right)\le 3-y \\ 5-\mathrm{2,5}y-\mathrm{1,5}y+6\le 3-y \\ 11-4y\le 3-y \\ -4y+y\le 3-11 \\ -3y\le -8 \\ y\ge \frac{8}{3} \\ y\ge 2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $[2\frac{2}{3}; +\mathrm{\infty }[2\backslash frac\{2\}\{3\};+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}x-2\ge \mathrm{4,7}\left(x-2\right)-\mathrm{2,7}\left(x-1\right) \\ x-2\ge \mathrm{4,7}x-\mathrm{9,4}-\mathrm{2,7}x+\mathrm{2,7} \\ x-2\ge 2x-\mathrm{6,7} \\ x-2x\ge -\mathrm{6,7}+2 \\ -x\ge -\mathrm{4,7} \\ x\le \mathrm{4,7} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; \mathrm{4,7}]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\mathrm{3,2}\left(a-6\right)-\mathrm{1,2}a\le 3\left(a-8\right) \\ \mathrm{3,2}a-\mathrm{19,2}-\mathrm{1,2}a\le 3a-24 \\ 2a-3a\le -24+\mathrm{19,2} \\ -a\le -\mathrm{4,8} \\ a\ge \mathrm{4,8} \end{gathered}$$

Ответ: $[\mathrm{4,8}; +\mathrm{\infty }[4,8;+\backslash infty)$)

а) $4(2 - 3x) - (5 - x) > 11 - x$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$8 - 12x - 5 + x > 11 - x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3 - 11x > 11 - x$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Перенесем $-x$ из правой части в левую (со сменой знака) и $3$ из левой части в правую (также со сменой знака):

$-11x + x > 11 - 3$

$-10x > 8$

Разделим обе части неравенства на $-10$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{8}{-10}$

$x < -0.8$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $(-\infty; -0.8)$.

Ответ: $x < -0.8$.

б) $2(3 - z) - 3(2 + z) \le z$

Раскроем скобки в левой части:

$6 - 2z - 6 - 3z \le z$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-5z \le z$

Перенесем все слагаемые с переменной $z$ в одну сторону. Удобнее перенести $-5z$ в правую часть, чтобы коэффициент при $z$ был положительным:

$0 \le z + 5z$

$0 \le 6z$

Разделим обе части на $6$ (знак неравенства не меняется):

$0 \le z$ или $z \ge 0$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $[0; +\infty)$.

Ответ: $z \ge 0$.

в) $1 > 1.5(4 - 2a) + 0.5(2 - 6a)$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$1 > 6 - 3a + 1 - 3a$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$1 > 7 - 6a$

Перенесем слагаемое с переменной $a$ в левую часть, а числовое слагаемое — в правую:

$6a > 7 - 1$

$6a > 6$

Разделим обе части на $6$:

$a > 1$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $(1; +\infty)$.

Ответ: $a > 1$.

г) $2.5(2 - y) - 1.5(y - 4) \le 3 - y$

Раскроем скобки в левой части:

$5 - 2.5y - 1.5y + 6 \le 3 - y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$11 - 4y \le 3 - y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$11 - 3 \le -y + 4y$

$8 \le 3y$

Разделим обе части на $3$:

$\frac{8}{3} \le y$ или $y \ge \frac{8}{3}$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $[\frac{8}{3}; +\infty)$.

Ответ: $y \ge \frac{8}{3}$.

д) $x - 2 \ge 4.7(x - 2) - 2.7(x - 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$x - 2 \ge 4.7x - 9.4 - 2.7x + 2.7$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x - 2 \ge (4.7 - 2.7)x + (-9.4 + 2.7)$

$x - 2 \ge 2x - 6.7$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$-2 + 6.7 \ge 2x - x$

$4.7 \ge x$ или $x \le 4.7$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $(-\infty; 4.7]$.

Ответ: $x \le 4.7$.

е) $3.2(a - 6) - 1.2a \le 3(a - 8)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3.2a - 19.2 - 1.2a \le 3a - 24$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2a - 19.2 \le 3a - 24$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$-19.2 + 24 \le 3a - 2a$

$4.8 \le a$ или $a \ge 4.8$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $[4.8; +\infty)$.

Ответ: $a \ge 4.8$.

945. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}a\left(a-4\right)-a^2>12-6a \\ {a}^2-4a-a^2>12-6a \\ -4a+6a>12 \\ 2a>12 \\ a>6 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(6; +\mathrm{\infty }\right)(6;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(2x-1\right)2x-5x<4x^2-x \\ 4x^2-2x-5x-4x^2+x<0 \\ -6x<0 \\ x>0 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}5y^2-5y\left(y+4\right)\ge 100 \\ 5y^2-5y^2-20y\ge 100 \\ -20y\ge 100 \\ y\le -5 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; -5]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}6a\left(a-1\right)-2a\left(3a-2\right)<6 \\ 6a^2-6a-6a^2+4a<6 \\ -2a<6 \\ a>-3 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-3; +\mathrm{\infty }\right)(-3;+\backslash infty)$

а) Решим неравенство $a(a - 4) - a^2 > 12 - 6a$.

Сначала раскроем скобки в левой части:

$a^2 - 4a - a^2 > 12 - 6a$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-4a > 12 - 6a$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $a$, в левую часть, а свободные члены — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$6a - 4a > 12$

Выполним вычитание:

$2a > 12$

Разделим обе части неравенства на положительное число 2. Знак неравенства при этом не меняется.

$a > 6$

Множество решений этого неравенства — все числа, которые больше 6. На координатной прямой это открытый луч, начинающийся в точке 6 и идущий вправо.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $a \in (6, +\infty)$

б) Решим неравенство $(2x - 1)2x - 5x < 4x^2 - x$.

Раскроем скобки в левой части:

$4x^2 - 2x - 5x < 4x^2 - x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 - 7x < 4x^2 - x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4x^2 - 7x - 4x^2 + x < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-6x < 0$

Разделим обе части неравенства на -6. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с "<" на ">").

$x > 0$

Множество решений — все числа, строго большие нуля. На координатной прямой это открытый луч, идущий вправо от точки 0.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in (0, +\infty)$

в) Решим неравенство $5y^2 - 5y(y + 4) \geq 100$.

Раскроем скобки в левой части:

$5y^2 - (5y^2 + 20y) \geq 100$

$5y^2 - 5y^2 - 20y \geq 100$

Приведем подобные слагаемые:

$-20y \geq 100$

Разделим обе части на -20. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с "$\geq$" на "$\leq$").

$y \leq -5$

Множество решений — все числа, которые меньше или равны -5. На координатной прямой это замкнутый луч, идущий влево от точки -5 (включая саму точку).

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $y \in (-\infty, -5]$

г) Решим неравенство $6a(a - 1) - 2a(3a - 2) < 6$.

Раскроем скобки в левой части:

$(6a^2 - 6a) - (6a^2 - 4a) < 6$

$6a^2 - 6a - 6a^2 + 4a < 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-2a < 6$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный (с "<" на ">"):

$a > -3$

Множество решений — все числа, строго большие -3. На координатной прямой это открытый луч, идущий вправо от точки -3.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $a \in (-3, +\infty)$

946. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}0,2x^2-0,2\left(x-6\right)\left(x+6\right)>3,6x \\ 0,2x^2-0,2\left(x^2-36\right)>3,6x \\ 0,2x^2-0,2x^2+7,2>3,6x \\ x<2 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 2\right)(-\backslash infty;2)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{\left(2x-5\right)}^{\mathbf{2}}-0,5x<\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)-15 \\ 4x^2-20x+25-0,5x<4x^2-1-15 \\ 4x^2-20,5x-4x^2<-16-25 \\ -20,5x<-41 \\ x>\frac{-41}{-20,5} \\ x>\frac{410}{205} \\ x>2 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(2; +\mathrm{\infty }\right)(2;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(12x-1\right)\left(3x+1\right)<1+{\left(6x+2\right)}^2 \\ 36x^2+12x-3x-1<1+36x^2+24x+4 \\ 36x^2+9x-36x^2-24x<5+1 \\ -15x<6 \\ x>-\frac{6}{15} \\ x>-\frac{2}{5} \\ x>-0,4 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-0,4; +\mathrm{\infty }\right)(-0,4;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(4y-1\right)}^{\mathbf{2}}>\left(2y+3\right)\left(8y-1\right) \\ 16y^2-8y+1>16y^2-2y+24y-3 \\ 16y^2-8y-16y^2-22y>-3-1 \\ -30y>-4 \\ y<\frac{-4}{-30} \\ y<\frac{2}{15} \end{gathered}$$

Orber: $\left(-\mathrm{\infty }; \frac{2}{15}\right)(-\infty ;\; \backslash frac\{2\}\{15\})$

а) $0,2x^2 - 0,2(x - 6)(x + 6) > 3,6x$

Раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$0,2x^2 - 0,2(x^2 - 36) > 3,6x$

Теперь раскроем вторые скобки:

$0,2x^2 - 0,2x^2 + 0,2 \cdot 36 > 3,6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$7,2 > 3,6x$

Разделим обе части неравенства на 3,6. Так как 3,6 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{7,2}{3,6} > x$

$2 > x$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x < 2$.

б) $(2x - 5)^2 - 0,5x < (2x - 1)(2x + 1) - 15$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в правой — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 25) - 0,5x < (4x^2 - 1) - 15$

$4x^2 - 20x + 25 - 0,5x < 4x^2 - 1 - 15$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$4x^2 - 20,5x + 25 < 4x^2 - 16$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую. Вычтем $4x^2$ из обеих частей:

$-20,5x + 25 < -16$

$-20,5x < -16 - 25$

$-20,5x < -41$

Разделим обе части на -20,5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-41}{-20,5}$

$x > 2$

Решением неравенства является интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x > 2$.

в) $(12x - 1)(3x + 1) < 1 + (6x + 2)^2$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В правой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$12x \cdot 3x + 12x \cdot 1 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 1 < 1 + ((6x)^2 + 2 \cdot 6x \cdot 2 + 2^2)$

$36x^2 + 12x - 3x - 1 < 1 + (36x^2 + 24x + 4)$

Приведем подобные слагаемые:

$36x^2 + 9x - 1 < 36x^2 + 24x + 5$

Вычтем $36x^2$ из обеих частей:

$9x - 1 < 24x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$-1 - 5 < 24x - 9x$

$-6 < 15x$

Разделим обе части на 15:

$\frac{-6}{15} < x$

Сократим дробь: $-\frac{2}{5} < x$, что то же самое, что и $-0,4 < x$.

Решением неравенства является интервал $(-0,4; +\infty)$.

Ответ: $x > -0,4$.

г) $(4y - 1)^2 > (2y + 3)(8y - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$(4y)^2 - 2 \cdot 4y \cdot 1 + 1^2 > 2y \cdot 8y - 2y \cdot 1 + 3 \cdot 8y - 3 \cdot 1$

$16y^2 - 8y + 1 > 16y^2 - 2y + 24y - 3$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$16y^2 - 8y + 1 > 16y^2 + 22y - 3$

Вычтем $16y^2$ из обеих частей:

$-8y + 1 > 22y - 3$

Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а числа — в левую:

$1 + 3 > 22y + 8y$

$4 > 30y$

Разделим обе части на 30:

$\frac{4}{30} > y$

Сократим дробь: $\frac{2}{15} > y$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; \frac{2}{15})$.

Ответ: $y < \frac{2}{15}$.

947. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}4b\left(1-3b\right)-\left(b-12b^2\right)<43 \\ 4b-12b^2-b+12b^4<43 \\ 3b<43 \\ b<\frac{43}{3} \\ b<14\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 14\frac{1}{3}\right)(-\backslash infty;14\backslash frac\{1\}\{3\})$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3y^2-2y-3y\left(y-6\right)\ge -2 \\ 3y^2-2y-3y^2+18y\ge -2 \\ 16y\ge -2 \\ y\ge -\frac{2}{16} \\ y\ge -\frac{1}{8} \end{gathered}$$

Ответ. $[-\frac{1}{8}; +\mathrm{\infty }[-\backslash frac\{1\}\{8\};+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}2p\left(5p+2\right)-p\left(10p+3\right)\le 14 \\ 10p^2+4p-10p^2-3p\le 14 \\ p\le 14 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 14]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}a\left(a-1\right)-\left(a^2+a\right)<34 \\ {a}^2-a-a^2-a<34 \\ -2a<34 \\ a>-\frac{34}{2} \\ a>-17 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-17; +\mathrm{\infty }\right)(-17;+\backslash infty)$.

а) $4b(1 - 3b) - (b - 12b^2) < 43$
Для решения неравенства сначала раскроем скобки в левой части:
$4b \cdot 1 - 4b \cdot 3b - b + 12b^2 < 43$
$4b - 12b^2 - b + 12b^2 < 43$
Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $-12b^2$ и $12b^2$ взаимно уничтожаются:
$(4b - b) + (-12b^2 + 12b^2) < 43$
$3b < 43$
Разделим обе части неравенства на 3, чтобы найти $b$. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$b < \frac{43}{3}$
Ответ: $b \in (-\infty; \frac{43}{3})$

б) $3y^2 - 2y - 3y(y - 6) \ge -2$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$3y^2 - 2y - (3y \cdot y - 3y \cdot 6) \ge -2$
$3y^2 - 2y - 3y^2 + 18y \ge -2$
Приведем подобные слагаемые. Члены $3y^2$ и $-3y^2$ взаимно уничтожаются:
$(3y^2 - 3y^2) + (-2y + 18y) \ge -2$
$16y \ge -2$
Разделим обе части неравенства на 16. Знак неравенства сохраняется:
$y \ge \frac{-2}{16}$
$y \ge -\frac{1}{8}$
Ответ: $y \in [-\frac{1}{8}; +\infty)$

в) $2p(5p + 2) - p(10p + 3) \le 14$
Раскроем скобки в левой части:
$(2p \cdot 5p + 2p \cdot 2) - (p \cdot 10p + p \cdot 3) \le 14$
$10p^2 + 4p - 10p^2 - 3p \le 14$
Приведем подобные слагаемые. Члены $10p^2$ и $-10p^2$ взаимно уничтожаются:
$(10p^2 - 10p^2) + (4p - 3p) \le 14$
$p \le 14$
Ответ: $p \in (-\infty; 14]$

г) $a(a - 1) - (a^2 + a) < 34$
Раскроем скобки:
$a^2 - a - a^2 - a < 34$
Приведем подобные слагаемые. Члены $a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются:
$(a^2 - a^2) + (-a - a) < 34$
$-2a < 34$
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a > \frac{34}{-2}$
$a > -17$
Ответ: $a \in (-17; +\infty)$

948. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2x}{5}>1 \mathrm{/}·5 \\ 2x>5 \\ x>\mathrm{2,5} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(2,5; +\mathrm{\infty }\right)(2,5;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{x}{3}<2 \mathrm{/}·3 \\ x<6 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 6\right)(-\backslash infty;\; 6)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{6x}{7}\ge 0 \mathrm{/}·4 \\ 6x\ge 0 \\ x\ge 0 \end{gathered}$$

Ответ: $[0; +\mathrm{\infty }[0;+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{3x-1}{4}>2 \mathrm{/}·4 \\ 3x-1>8 \\ 3x>9 \\ x>3 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(3; +\mathrm{\infty }\right)(3;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}2>\frac{6-x}{5} \mathrm{/}·5 \\ 10>6-x \\ 6-x<10 \\ -x<4 \\ x>-4 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-4; +\mathrm{\infty }\right)(-4;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{2+3x}{18}<0 \mathrm{/}·18 \\ 2+3x<0 \\ 3x<-2 \\ x<-\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; -\frac{2}{3}\right)(-\backslash infty;\; -\backslash frac\{2\}\{3\})$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{12-7x}{42}\ge 0 \mathrm{/}·42 \\ 12-7x\ge 0 \\ -7x\ge -12 \\ x\le \frac{-12}{-7} \\ x\le 1\frac{5}{7} \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 1\frac{5}{7}]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\frac{1}{3}\left(x+15\right)>4 \mathrm{/}·3 \\ x+15>12 \\ x>-3 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-3; +\mathrm{\infty }\right)(-3;+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{и) }}6\le \frac{2}{7}\left(x+4\right) \mathrm{/}·7 \\ 42\le 2\left(x+4\right) \\ 2x+8\ge 42 \\ 2x\ge 34 \\ x\ge 17 \end{gathered}$$

Ответ: $[17; +\mathrm{\infty }[17;+\backslash infty)$)

а) Исходное неравенство: $\frac{2x}{5} > 1$.
Умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется.
$2x > 1 \cdot 5$
$2x > 5$
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется.
$x > \frac{5}{2}$
$x > 2.5$
Ответ: $x > 2.5$

б) Исходное неравенство: $\frac{x}{3} < 2$.
Умножим обе части неравенства на 3. Знак неравенства сохраняется.
$x < 2 \cdot 3$
$x < 6$
Ответ: $x < 6$

в) Исходное неравенство: $\frac{6x}{7} \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на 7. Знак неравенства сохраняется.
$6x \ge 0 \cdot 7$
$6x \ge 0$
Разделим обе части на 6. Знак неравенства сохраняется.
$x \ge 0$
Ответ: $x \ge 0$

г) Исходное неравенство: $\frac{3x - 1}{4} > 2$.
Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства сохраняется.
$3x - 1 > 2 \cdot 4$
$3x - 1 > 8$
Прибавим 1 к обеим частям.
$3x > 9$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства сохраняется.
$x > 3$
Ответ: $x > 3$

д) Исходное неравенство: $2 > \frac{6 - x}{5}$.
Для удобства перепишем неравенство: $\frac{6 - x}{5} < 2$.
Умножим обе части на 5. Знак неравенства сохраняется.
$6 - x < 2 \cdot 5$
$6 - x < 10$
Вычтем 6 из обеих частей.
$-x < 10 - 6$
$-x < 4$
Умножим обе части на -1. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
$x > -4$
Ответ: $x > -4$

е) Исходное неравенство: $\frac{2 + 3x}{18} < 0$.
Умножим обе части неравенства на 18. Знак неравенства сохраняется.
$2 + 3x < 0 \cdot 18$
$2 + 3x < 0$
Вычтем 2 из обеих частей.
$3x < -2$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства сохраняется.
$x < -\frac{2}{3}$
Ответ: $x < -\frac{2}{3}$

ж) Исходное неравенство: $\frac{12 - 7x}{42} \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на 42. Знак неравенства сохраняется.
$12 - 7x \ge 0 \cdot 42$
$12 - 7x \ge 0$
Вычтем 12 из обеих частей.
$-7x \ge -12$
Разделим обе части на -7. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le \frac{-12}{-7}$
$x \le \frac{12}{7}$
Ответ: $x \le \frac{12}{7}$

з) Исходное неравенство: $\frac{1}{3}(x + 15) > 4$.
Умножим обе части неравенства на 3. Знак неравенства сохраняется.
$x + 15 > 4 \cdot 3$
$x + 15 > 12$
Вычтем 15 из обеих частей.
$x > 12 - 15$
$x > -3$
Ответ: $x > -3$

и) Исходное неравенство: $6 \le \frac{2}{7}(x + 4)$.
Для удобства перепишем неравенство: $\frac{2}{7}(x + 4) \ge 6$.
Умножим обе части на $\frac{7}{2}$. Так как $\frac{7}{2}$ — положительное число, знак неравенства сохраняется.
$x + 4 \ge 6 \cdot \frac{7}{2}$
$x + 4 \ge 21$
Вычтем 4 из обеих частей.
$x \ge 21 - 4$
$x \ge 17$
Ответ: $x \ge 17$

949. Решите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{9x}{5}\ge 0 \mathrm{/}·5 \\ 9x\ge 0 \\ x\ge 0 \end{gathered}$$

Ответ: $[0; +\mathrm{\infty }[0;+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}1<\frac{3x}{4} \mathrm{/}·4 \\ 4<3x \\ x>\frac{4}{3} \\ x>1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1\frac{1}{3}; +\mathrm{\infty }\right)(1\; \backslash frac\{1\}\{3\};+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{5+6x}{2}>3 \mathrm{/}·2 \\ 5+6x>6 \\ 6x>1 \\ x>\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(\frac{1}{6}; +\mathrm{\infty }\right)(\backslash frac\{1\}\{6\};+\backslash infty)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{4x-11}{4}\le 0 \mathrm{/}·4 \\ 4x-11\le 0 \\ 4x\le 11 \\ x\le \frac{11}{4} \\ x\le 2,75 \end{gathered}$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty }; 2,75]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{1}{7}x\ge 2 \mathrm{/}·7 \\ x\ge 14 \end{gathered}$$

Ответ: $[14; +\mathrm{\infty }[14;+\backslash infty)$)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{2}{11}\left(x-4\right)<3 \mathrm{/}·11 \\ 2\left(x-4\right)<33 \\ 2x-8<33; 2x<41; x<20,5 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 20,5\right)(-\backslash infty;\; 20,5)$

а) $\frac{9x}{5} \ge 0$
Чтобы решить это линейное неравенство, умножим обе его части на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохранится.
$5 \cdot \frac{9x}{5} \ge 0 \cdot 5$
$9x \ge 0$
Теперь разделим обе части на 9. Так как 9 — положительное число, знак неравенства снова сохранится.
$\frac{9x}{9} \ge \frac{0}{9}$
$x \ge 0$
Ответ: $x \ge 0$.

б) $1 < \frac{3x}{4}$
Для удобства можно записать неравенство в виде $\frac{3x}{4} > 1$.
Умножим обе части на 4. Знак неравенства не изменится, так как 4 > 0.
$4 \cdot \frac{3x}{4} > 1 \cdot 4$
$3x > 4$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства не изменится, так как 3 > 0.
$\frac{3x}{3} > \frac{4}{3}$
$x > \frac{4}{3}$
Ответ: $x > \frac{4}{3}$.

в) $\frac{5 + 6x}{2} > 3$
Умножим обе части неравенства на 2. Знак неравенства не изменится.
$2 \cdot \frac{5 + 6x}{2} > 3 \cdot 2$
$5 + 6x > 6$
Перенесем 5 в правую часть, изменив знак.
$6x > 6 - 5$
$6x > 1$
Разделим обе части на 6. Знак неравенства не изменится.
$x > \frac{1}{6}$
Ответ: $x > \frac{1}{6}$.

г) $\frac{4x - 11}{4} \le 0$
Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не изменится.
$4 \cdot \frac{4x - 11}{4} \le 0 \cdot 4$
$4x - 11 \le 0$
Перенесем -11 в правую часть, изменив знак.
$4x \le 11$
Разделим обе части на 4. Знак неравенства не изменится.
$x \le \frac{11}{4}$
Ответ: $x \le \frac{11}{4}$.

д) $\frac{1}{7}x \ge 2$
Умножим обе части неравенства на 7. Знак неравенства не изменится.
$7 \cdot \frac{1}{7}x \ge 2 \cdot 7$
$x \ge 14$
Ответ: $x \ge 14$.

е) $\frac{2}{11}(x - 4) < 3$
Умножим обе части неравенства на 11, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не изменится.
$11 \cdot \frac{2}{11}(x - 4) < 3 \cdot 11$
$2(x - 4) < 33$
Раскроем скобки в левой части.
$2x - 8 < 33$
Перенесем -8 в правую часть, изменив знак.
$2x < 33 + 8$
$2x < 41$
Разделим обе части на 2. Знак неравенства не изменится.
$x < \frac{41}{2}$
Ответ: $x < \frac{41}{2}$.

950. При каких значениях y:

а) значения дроби 7 - 2y6 больше соответствующих значений дроби 3y - 712;

б) значения дроби 4,5 - 2y5 меньше соответствующих значений дроби 2 - 3y10;

в) значения двучлена 5y – 1 больше соответствующих значений дроби 3y - 14;

г) значения дроби 5 - 2y12 меньше соответствующих значений двучлена 1 – 6y?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{7-dy}{6}>\frac{3y-7}{12} /·12 \\ 2\left(7-2y\right)>3y-7 \\ 14-4y>3y-7 \\ -4y-3y>-7-14 \\ -7y>-21 \\ y<3 \end{gathered}$$

Oтвет: при

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{4,5-2y}{5}<\frac{2-3y}{10} /·10 \\ 2\left(4,5-2y\right)<2-3y \\ 9-4y<2-3y \\ -4y+3y<2-9 \\ -y<-7 \\ y>7 \end{gathered}$$

Ответ: при $y>7y>7$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}5y-1>\frac{3y-1}{4} /·4 \\ 4\left(5y-1\right)>3y-1 \\ 20y-4>3y-1 \\ 20y-3y>-1+4 \\ 17y>3 \\ y>\frac{3}{17} \end{gathered}$$

Ответ: при $y>\frac{3}{17}y\; >\; \backslash frac\{3\}\{17\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{5-2y}{12}<1-6y /·12 \\ 5-2y<12\left(1-6y\right) \\ 5-2y<12-72y \\ -2y+72y<12-5 \\ 70y<7 \\ y<\frac{7}{70} \\ y<\frac{1}{10} \\ y<0,1 \end{gathered}$$

Ответ: при

а)

Для того чтобы значения дроби $\frac{7 - 2y}{6}$ были больше соответствующих значений дроби $\frac{3y - 7}{12}$, необходимо решить неравенство:

$\frac{7 - 2y}{6} > \frac{3y - 7}{12}$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 12. Так как 12 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$12 \cdot \frac{7 - 2y}{6} > 12 \cdot \frac{3y - 7}{12}$

$2(7 - 2y) > 3y - 7$

Раскроем скобки в левой части:

$14 - 4y > 3y - 7$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную y, в правую часть, а свободные члены — в левую, изменив их знаки на противоположные:

$14 + 7 > 3y + 4y$

Приведем подобные слагаемые:

$21 > 7y$

Разделим обе части неравенства на 7. Знак неравенства не меняется.

$3 > y$

Запишем ответ в более привычном виде:

$y < 3$

Ответ: $y < 3$.

б)

Для того чтобы значения дроби $\frac{4,5 - 2y}{5}$ были меньше соответствующих значений дроби $\frac{2 - 3y}{10}$, необходимо решить неравенство:

$\frac{4,5 - 2y}{5} < \frac{2 - 3y}{10}$

Умножим обе части неравенства на общий знаменатель 10. Знак неравенства сохранится.

$10 \cdot \frac{4,5 - 2y}{5} < 10 \cdot \frac{2 - 3y}{10}$

$2(4,5 - 2y) < 2 - 3y$

Раскроем скобки:

$9 - 4y < 2 - 3y$

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены — в левую:

$9 - 2 < 4y - 3y$

Приведем подобные слагаемые:

$7 < y$

Запишем ответ в стандартном виде:

$y > 7$

Ответ: $y > 7$.

в)

Для того чтобы значения двучлена $5y - 1$ были больше соответствующих значений дроби $\frac{3y - 1}{4}$, необходимо решить неравенство:

$5y - 1 > \frac{3y - 1}{4}$

Умножим обе части неравенства на знаменатель 4:

$4(5y - 1) > 3y - 1$

Раскроем скобки:

$20y - 4 > 3y - 1$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$20y - 3y > 4 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$17y > 3$

Разделим обе части на 17:

$y > \frac{3}{17}$

Ответ: $y > \frac{3}{17}$.

г)

Для того чтобы значения дроби $\frac{5 - 2y}{12}$ были меньше соответствующих значений двучлена $1 - 6y$, необходимо решить неравенство:

$\frac{5 - 2y}{12} < 1 - 6y$

Умножим обе части неравенства на 12:

$5 - 2y < 12(1 - 6y)$

Раскроем скобки в правой части:

$5 - 2y < 12 - 72y$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$72y - 2y < 12 - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$70y < 7$

Разделим обе части на 70:

$y < \frac{7}{70}$

Сократим дробь:

$y < \frac{1}{10}$

Ответ: $y < \frac{1}{10}$.