Страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

911. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его:

a) [-2,4]

числовой отрезок

б) (-3;3)

интервал

в) [0;5]

числовой отрезок

г) (-4;0)

интервал

д) [3;+∞)

открытый числовой луч

е) [2;+∞)

числовой луч

ж) (-∞, 4]

числовой луч

з) (-∞; -1)

открытый числовой луч

и) (-∞;+∞)

числовая прямая

а) Промежуток $[-2; 4]$ соответствует множеству всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $-2 \le x \le 4$. На координатной прямой это изображается отрезком, ограниченным двумя закрашенными точками: $-2$ и $4$. Закрашенные точки означают, что концы отрезка включены в промежуток. Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется числовым отрезком.

Ответ: числовой отрезок.

б) Промежуток $(-3; 3)$ соответствует множеству всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $-3 < x < 3$. На координатной прямой это изображается интервалом, ограниченным двумя выколотыми (пустыми) точками: $-3$ и $3$. Выколотые точки означают, что концы интервала не включены в промежуток. Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется интервалом.

Ответ: интервал.

в) Промежуток $[0; 5]$ соответствует множеству всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $0 \le x \le 5$. На координатной прямой это изображается отрезком, ограниченным двумя закрашенными точками: $0$ и $5$. Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется числовым отрезком.

Ответ: числовой отрезок.

г) Промежуток $(-4; 0)$ соответствует множеству всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $-4 < x < 0$. На координатной прямой это изображается интервалом, ограниченным двумя выколотыми точками: $-4$ и $0$. Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется интервалом.

Ответ: интервал.

д) Промежуток $(3; +\infty)$ соответствует множеству всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x > 3$. На координатной прямой это изображается лучом, который начинается в выколотой точке $3$ и уходит вправо в положительную бесконечность. Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется открытым числовым лучом.

Ответ: открытый числовой луч.

е) Промежуток $[2; +\infty)$ соответствует множеству всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x \ge 2$. На координатной прямой это изображается лучом, который начинается в закрашенной точке $2$ и уходит вправо в положительную бесконечность. Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется числовым лучом.

Ответ: числовой луч.

ж) Промежуток $(-\infty; 4]$ соответствует множеству всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x \le 4$. На координатной прямой это изображается лучом, который начинается в закрашенной точке $4$ и уходит влево в отрицательную бесконечность. Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется числовым лучом.

Ответ: числовой луч.

з) Промежуток $(-\infty; -1)$ соответствует множеству всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x < -1$. На координатной прямой это изображается лучом, который начинается в выколотой точке $-1$ и уходит влево в отрицательную бесконечность. Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется открытым числовым лучом.

Ответ: открытый числовой луч.

и) Промежуток $(-\infty; +\infty)$ соответствует множеству всех действительных чисел. На координатной прямой этому промежутку соответствует вся числовая ось. Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется числовой прямой.

Ответ: числовая прямая.

912. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его:

a) (3;7)

интервал

б) [1;6]

числовой отрезок

в) (-∞:5)

открытый числовой луч

г) [12;+∞)

числовой луч

д) (-∞; 3]

числовой луч

e) (15;+∞)

открытый числовой луч

а) (3; 7)

Данный промежуток обозначает множество чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $3 < x < 7$. На координатной прямой это изображается следующим образом: отмечаются точки 3 и 7. Так как скобки круглые, эти точки не включаются в промежуток и изображаются выколотыми (пустыми кружками). Область между этими точками заштриховывается.

Этот вид промежутка называется интервал.

Ответ: Промежуток (3; 7) — это интервал; на координатной прямой это область между выколотыми точками 3 и 7.

б) [1; 6]

Данный промежуток обозначает множество чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому двойному неравенству $1 \le x \le 6$. На координатной прямой отмечаются точки 1 и 6. Так как скобки квадратные, эти точки включаются в промежуток и изображаются закрашенными (сплошными) кружками. Область между этими точками заштриховывается.

Этот вид промежутка называется отрезок.

Ответ: Промежуток [1; 6] — это отрезок; на координатной прямой это область между закрашенными точками 1 и 6, включая сами точки.

в) (-?; 5)

Данный промежуток обозначает множество чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $x < 5$. На координатной прямой отмечается точка 5. Так как скобка круглая, точка 5 не включается в промежуток и изображается выколотым кружком. Заштриховывается вся область левее точки 5.

Этот вид промежутка называется открытый числовой луч.

Ответ: Промежуток (-?; 5) — это открытый числовой луч; на координатной прямой это область левее выколотой точки 5.

г) [12; +?)

Данный промежуток обозначает множество чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому неравенству $x \ge 12$. На координатной прямой отмечается точка 12. Так как скобка квадратная, точка 12 включается в промежуток и изображается закрашенным кружком. Заштриховывается вся область правее точки 12, включая саму точку.

Этот вид промежутка называется числовой луч.

Ответ: Промежуток [12; +?) — это числовой луч; на координатной прямой это область правее закрашенной точки 12, включая саму точку.

д) (-?; 3]

Данный промежуток обозначает множество чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому неравенству $x \le 3$. На координатной прямой отмечается точка 3. Так как скобка квадратная, точка 3 включается в промежуток и изображается закрашенным кружком. Заштриховывается вся область левее точки 3, включая саму точку.

Этот вид промежутка называется числовой луч.

Ответ: Промежуток (-?; 3] — это числовой луч; на координатной прямой это область левее закрашенной точки 3, включая саму точку.

е) (15; +?)

Данный промежуток обозначает множество чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $x > 15$. На координатной прямой отмечается точка 15. Так как скобка круглая, точка 15 не включается в промежуток и изображается выколотым кружком. Заштриховывается вся область правее точки 15.

Этот вид промежутка называется открытый числовой луч.

Ответ: Промежуток (15; +?) — это открытый числовой луч; на координатной прямой это область правее выколотой точки 15.

913. Назовите промежутки, изображённые на рисунке 41, и обозначьте их.

а) [-2;6] - числовой отрезок

б) [-1;+∞) - числовой луч

в) (-1;7) - открытый числовой луч

г) (-∞; 4] - числовой луч

а) На данном рисунке изображен числовой промежуток, ограниченный точками -2 и 6. Обе точки обозначены закрашенными кружками, что означает, что они включены в промежуток. Такой промежуток называется отрезком. Он содержит все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-2 \le x \le 6$. Обозначается с помощью квадратных скобок.

Ответ: Отрезок; $[-2; 6]$.

б) На рисунке изображен числовой промежуток, который начинается в точке -1 и продолжается вправо до плюс бесконечности. Точка -1 закрашена, значит, она включена в данный промежуток. Такой промежуток называется числовым лучом. Он содержит все действительные числа $x$, удовлетворяющие неравенству $x \ge -1$.

Ответ: Числовой луч; $[-1; +\infty)$.

в) На рисунке изображен числовой промежуток, ограниченный точками -1 и 7. Обе точки обозначены пустыми (выколотыми) кружками, что означает, что они не включены в промежуток. Такой промежуток называется интервалом. Он содержит все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-1 < x < 7$. Обозначается с помощью круглых скобок.

Ответ: Интервал; $(-1; 7)$.

г) На рисунке изображен числовой промежуток, который начинается от минус бесконечности и заканчивается в точке 4. Точка 4 закрашена, что означает, что она включена в данный промежуток. Такой промежуток также является числовым лучом. Он содержит все действительные числа $x$, удовлетворяющие неравенству $x \le 4$.

Ответ: Числовой луч; $(-\infty; 4]$.

914. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству:

a) x≥-2

б) x≤3

в) x>8

г) x<-5

д) x>0,3

е) x≤-8,1

а) $x \geq -2$

Чтобы изобразить множество чисел, удовлетворяющих этому неравенству, на координатной прямой, нужно выполнить следующие действия:
1. Определить тип неравенства. Знак $\geq$ ("больше или равно") указывает на то, что неравенство нестрогое. Это значит, что граничное значение, число -2, входит в множество решений.
2. На координатной прямой отметить точку -2. Поскольку точка входит в решение, она изображается закрашенным (сплошным) кружком.
3. Определить, какую часть прямой нужно заштриховать. Так как $x$ больше или равен -2, штриховкой выделяется часть прямой, расположенная справа от точки -2, включая саму точку.

Ответ: Множество решений представляет собой числовой луч, который можно записать в виде промежутка $[-2; +\infty)$.

б) $x \leq 3$

1. Знак $\leq$ ("меньше или равно") указывает на нестрогое неравенство. Граничное значение $x=3$ включается в множество решений.
2. На координатной прямой точка 3 отмечается закрашенным (сплошным) кружком.
3. Так как $x$ меньше или равен 3, штриховкой выделяется часть прямой, расположенная слева от точки 3, включая саму точку.

Ответ: Множество решений — числовой луч $(-\infty; 3]$.

в) $x > 8$

1. Знак $>$ ("больше") указывает на строгое неравенство. Граничное значение $x=8$ не включается в множество решений.
2. На координатной прямой точка 8 отмечается выколотым (пустым) кружком.
3. Так как $x$ строго больше 8, штриховкой выделяется часть прямой, расположенная справа от точки 8.

Ответ: Множество решений — открытый числовой луч $(8; +\infty)$.

г) $x < -5$

1. Знак $<$ ("меньше") указывает на строгое неравенство. Граничное значение $x=-5$ не включается в множество решений.
2. На координатной прямой точка -5 отмечается выколотым (пустым) кружком.
3. Так как $x$ строго меньше -5, штриховкой выделяется часть прямой, расположенная слева от точки -5.

Ответ: Множество решений — открытый числовой луч $(-\infty; -5)$.

д) $x > 0,3$

1. Знак $>$ ("больше") указывает на строгое неравенство. Граничное значение $x=0,3$ не включается в множество решений.
2. На координатной прямой точка 0,3 отмечается выколотым (пустым) кружком.
3. Так как $x$ строго больше 0,3, штриховкой выделяется часть прямой, расположенная справа от точки 0,3.

Ответ: Множество решений — открытый числовой луч $(0,3; +\infty)$.

е) $x \leq -8,1$

1. Знак $\leq$ ("меньше или равно") указывает на нестрогое неравенство. Граничное значение $x=-8,1$ включается в множество решений.
2. На координатной прямой точка -8,1 отмечается закрашенным (сплошным) кружком.
3. Так как $x$ меньше или равен -8,1, штриховкой выделяется часть прямой, расположенная слева от точки -8,1, включая саму точку.

Ответ: Множество решений — числовой луч $(-\infty; -8,1]$.

915. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:

а) - 1,5≤x≤4

б) -2<x<1,3

в) -5≤x≤-3$\frac{1}{3}$

г) 2<x≤6,1

а)

Двойное неравенство $ -1,5 \le x \le 4 $ означает, что искомое число $x$ должно быть одновременно больше или равно $-1,5$ и меньше или равно $4$. На координатной прямой этому множеству чисел соответствует числовой отрезок. Так как неравенство нестрогое (со знаками $\le$), то концы отрезка, точки $-1,5$ и $4$, включаются в множество. На прямой они обозначаются закрашенными точками.

Ответ: $x \in [-1,5; 4]$

б)

Двойное неравенство $ -2 < x < 1,3 $ означает, что искомое число $x$ должно быть одновременно строго больше $-2$ и строго меньше $1,3$. На координатной прямой этому множеству чисел соответствует интервал. Так как неравенство строгое (со знаками $<$), то концы интервала, точки $-2$ и $1,3$, не включаются в множество. На прямой они обозначаются выколотыми (пустыми) точками.

Ответ: $x \in (-2; 1,3)$

в)

Двойное неравенство $ -5 \le x \le -3\frac{1}{3} $ означает, что искомое число $x$ должно быть одновременно больше или равно $-5$ и меньше или равно $-3\frac{1}{3}$. На координатной прямой этому множеству чисел соответствует числовой отрезок. Так как неравенство нестрогое, то концы отрезка, точки $-5$ и $-3\frac{1}{3}$, включаются в множество и обозначаются закрашенными точками.

Ответ: $x \in [-5; -3\frac{1}{3}]$

г)

Двойное неравенство $ 2 < x \le 6,1 $ означает, что искомое число $x$ должно быть одновременно строго больше $2$ и меньше или равно $6,1$. На координатной прямой этому множеству чисел соответствует полуинтервал. Левая граница $2$ не входит в множество (знак $<$) и обозначается выколотой точкой. Правая граница $6,1$ входит в множество (знак $\le$) и обозначается закрашенной точкой.

Ответ: $x \in (2; 6,1]$

916. а) Принадлежит ли интервалу (–4; 6,5) число:

–3; –5; 5; 6,5; –3,9; –4,1?

б) Принадлежит ли числовому отрезку [–8; –5] число:

–9; –8; –5,5; –5; –6; –7,5?

a) -3∈(-4; 6,5)

-5∉(-4; 6,5)

5∈(-4; 6,5)

6,5∉(-4; 6,5)

-3,9∈(-4; 6,5)

-4,1∉(-4; 6,5)

б) -9∉[-8;-5]

-8∈[-8; -5]

-5,5∈[-8; -5]

-5∈[-8; -5]

-6∈[-8; -5]

-7,5∈[-8; -5]

а)

Интервал $(-4; 6,5)$ представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $-4 < x < 6,5$. Это означает, что число должно быть строго больше, чем $-4$, и строго меньше, чем $6,5$. Границы интервала $(-4$ и $6,5)$ не включаются.

Проверим каждое число:

• $-3$: неравенство $-4 < -3 < 6,5$ является верным, значит, число принадлежит интервалу.
• $-5$: неравенство $-4 < -5$ является ложным, значит, число не принадлежит интервалу.
• $5$: неравенство $-4 < 5 < 6,5$ является верным, значит, число принадлежит интервалу.
• $6,5$: неравенство $6,5 < 6,5$ является ложным (так как $6,5 = 6,5$), значит, число не принадлежит интервалу.
• $-3,9$: неравенство $-4 < -3,9 < 6,5$ является верным, значит, число принадлежит интервалу.
• $-4,1$: неравенство $-4 < -4,1$ является ложным, значит, число не принадлежит интервалу.

Ответ: принадлежат числа -3; 5; -3,9.

б)

Числовой отрезок $[-8; -5]$ представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому двойному неравенству $-8 \le x \le -5$. Это означает, что число должно быть больше или равно $-8$ и меньше или равно $-5$. Границы отрезка ($-8$ и $-5$) включаются.

Проверим каждое число:

• $-9$: неравенство $-8 \le -9$ является ложным, значит, число не принадлежит отрезку.
• $-8$: неравенство $-8 \le -8 \le -5$ является верным (так как $-8 = -8$ и $-8 < -5$), значит, число принадлежит отрезку.
• $-5,5$: неравенство $-8 \le -5,5 \le -5$ является верным, значит, число принадлежит отрезку.
• $-5$: неравенство $-8 \le -5 \le -5$ является верным (так как $-8 < -5$ и $-5 = -5$), значит, число принадлежит отрезку.
• $-6$: неравенство $-8 \le -6 \le -5$ является верным, значит, число принадлежит отрезку.
• $-7,5$: неравенство $-8 \le -7,5 \le -5$ является верным, значит, число принадлежит отрезку.

Ответ: принадлежат числа -8; -5,5; -5; -6; -7,5.