Страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

885. Зная, что 6 ‹ x ‹ 7 и 10 ‹ y ‹ 12, оцените:

$6<x<7 \text{и} 10<y<12$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}6<x<7\\ 10<y<12\end{array}\\ & \overline{16<x+y<19}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 6<x<7 \\ -6>-x>-7 \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}-7<-x<-6\\ 10<y<12\end{array}\\ & \overline{3<y-x<6}\end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{в)}}& \begin{array}{cc}\times & \begin{array}{l}6<x<7\\ 10<y<12\end{array}\\ & \overline{60<xy<84}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 6<x<7 \\ \frac{1}{6}>\frac{1}{x}>\frac{1}{7} \\ \begin{array}{cc}\times & \begin{array}{c}\frac{1}{7}<\frac{1}{x}<\frac{1}{6}\\ 10<y<12\end{array}\\ & \overline{\frac{10}{7}<\frac{y}{x}<2}\\ & 1\frac{3}{7}<\frac{y}{x}<2\end{array} \end{gathered}$$

Чтобы оценить сумму $x + y$, воспользуемся свойством сложения неравенств одного знака. Сложим почленно данные неравенства $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$.

$6 + 10 < x + y < 7 + 12$

Выполнив сложение, получаем:

$16 < x + y < 19$

Ответ: $16 < x + y < 19$.

Чтобы оценить разность $y - x$, представим ее как сумму $y + (-x)$. Сначала найдем оценку для $-x$.

Имеем неравенство $6 < x < 7$. Умножим все его части на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:

$-6 > -x > -7$

Перепишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-7 < -x < -6$

Теперь сложим почленно неравенства $10 < y < 12$ и $-7 < -x < -6$:

$10 + (-7) < y + (-x) < 12 + (-6)$

Выполнив вычисления, получаем:

$3 < y - x < 6$

Ответ: $3 < y - x < 6$.

Для оценки произведения $xy$ воспользуемся свойством умножения неравенств. Так как все части данных неравенств $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$ являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить.

$6 \cdot 10 < x \cdot y < 7 \cdot 12$

Выполнив умножение, получаем:

$60 < xy < 84$

Ответ: $60 < xy < 84$.

Чтобы оценить частное $\frac{y}{x}$, представим его как произведение $y \cdot \frac{1}{x}$. Сначала найдем оценку для $\frac{1}{x}$.

Имеем неравенство $6 < x < 7$. Так как все части неравенства положительны, можно найти обратные величины, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{1}{6} > \frac{1}{x} > \frac{1}{7}$

Перепишем это неравенство в стандартном виде:

$\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{6}$

Теперь почленно перемножим неравенства $10 < y < 12$ и $\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{6}$, так как все их части положительны:

$10 \cdot \frac{1}{7} < y \cdot \frac{1}{x} < 12 \cdot \frac{1}{6}$

Выполнив вычисления, получаем:

$\frac{10}{7} < \frac{y}{x} < 2$

Ответ: $\frac{10}{7} < \frac{y}{x} < 2$.

886. Пользуясь тем, что 1,4 ‹ 2 ‹ 1,5 и 1,7 ‹ 3 ‹ 1,8, оцените:

$1,4<\sqrt{2}<1,5 \text{и} 1,7<\sqrt{3}<1,8$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}1,4<\sqrt{2}<1,5\\ 1,7<\sqrt{3}<1,8\end{array}\\ & \overline{3,1<\sqrt{2}+\sqrt{3}<3,3}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 1,4<\sqrt{2}<1,5 \\ -1,4>-\sqrt{2}>-1,5 \\ \begin{array}{cc}+& \begin{array}{l}-1,5<-\sqrt{2}<-1,4\\ 1,7<\sqrt{3}<1,8\end{array}\\ & \overline{-0,2<\sqrt{3}-\sqrt{2}<0,4}\end{array} \end{gathered}$$

а) Для того чтобы оценить сумму $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, необходимо сложить почленно данные неравенства. Согласно свойству сложения неравенств, если $a < x < b$ и $c < y < d$, то $a+c < x+y < b+d$.
У нас есть два неравенства:
$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$
$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$
Сложим левые и правые части этих неравенств:
$1,4 + 1,7 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 1,5 + 1,8$
Выполнив вычисления, получим оценку для суммы:
$3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$
Ответ: $3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$

б) Для оценки разности $\sqrt{3} - \sqrt{2}$, мы можем представить ее как сумму $\sqrt{3} + (-\sqrt{2})$.
Сначала найдем оценку для $-\sqrt{2}$. Дано неравенство $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Умножим все части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1,4 > -\sqrt{2} > -1,5$
Перепишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$
Теперь сложим почленно полученное неравенство с неравенством для $\sqrt{3}$ ($1,7 < \sqrt{3} < 1,8$):
$1,7 + (-1,5) < \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) < 1,8 + (-1,4)$
$1,7 - 1,5 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 1,8 - 1,4$
Выполнив вычисления, получим оценку для разности:
$0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$
Ответ: $0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$

887. Пользуясь тем, что 2,2 ‹ 5 ‹ 2,3 и 2,4 ‹ 6 ‹ 2,5, оцените:

$2,2<\sqrt{5}<2,3 \text{и} 2,4<\sqrt{6}<2,5$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}2,2<\sqrt{5}<2,3\\ 2,4<\sqrt{6}<2,5\end{array}\\ & \overline{4,6<\sqrt{6}+\sqrt{5}<4,8}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2,2<\sqrt{5}<2,3 \\ -2,2>-\sqrt{5}>-2,3 \\ \begin{array}{cc}+& \begin{array}{l}-2,3<-\sqrt{5}<-2,2\\ 2,4<\sqrt{6}<2,5\end{array}\\ & \overline{-0,1<\sqrt{6}-\sqrt{5}<0,3}\end{array} \end{gathered}$$

а)

Для того чтобы оценить значение выражения $\sqrt{6} + \sqrt{5}$, необходимо сложить данные в условии неравенства. Согласно свойству числовых неравенств, при сложении неравенств одного знака их левые и правые части складываются соответственно. У нас есть два исходных неравенства:

$2,4 < \sqrt{6} < 2,5$

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

Сложим эти неравенства почленно (левую часть с левой, среднюю со средней и правую с правой):

$2,4 + 2,2 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 2,5 + 2,3$

После выполнения сложения в левой и правой частях, мы получаем итоговое двойное неравенство, которое является оценкой для суммы:

$4,6 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 4,8$

Ответ: $4,6 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 4,8$.

б)

Для оценки разности $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ нам понадобится оценить выражение $-\sqrt{5}$. Для этого возьмем исходное неравенство для $\sqrt{5}$:

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

Умножим все части этого неравенства на $-1$. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 2,2 > -1 \cdot \sqrt{5} > -1 \cdot 2,3$

$-2,2 > -\sqrt{5} > -2,3$

Для удобства дальнейших вычислений запишем получившееся неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-2,3 < -\sqrt{5} < -2,2$

Теперь, чтобы оценить разность $\sqrt{6} - \sqrt{5}$, которая равна сумме $\sqrt{6} + (-\sqrt{5})$, сложим почленно неравенство для $\sqrt{6}$ и полученное неравенство для $-\sqrt{5}$:

$2,4 + (-2,3) < \sqrt{6} + (-\sqrt{5}) < 2,5 + (-2,2)$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$2,4 - 2,3 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 2,5 - 2,2$

Выполнив вычитание, мы получаем окончательную оценку для разности:

$0,1 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 0,3$

Ответ: $0,1 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 0,3$.

888. Известны границы длин основания а и боковой стороны b равнобедренного треугольника, выраженные в миллиметрах:

26 ≤ a ≤ 28 и 41 ≤ b ≤ 43.

Оцените периметр этого треугольника.

$$\begin{gathered} 26\le a\le 28 \text{и} 41\le b\le 43 \\ {P}_{∆}=a+2b \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{1)}} 41\le b\le 43 \\ 82\le 2b\le 86 \end{gathered}$$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{2)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}26\le a\le 28\\ 82\le 2b\le 86\end{array}\\ & \overline{108\le a+2b\le 114}\end{array}\end{array}$

Ответ: 108≤P≤114

Периметр $P$ равнобедренного треугольника с основанием $a$ и боковыми сторонами $b$ вычисляется по формуле: $P = a + 2b$.

В задаче даны границы для длин основания и боковой стороны:

$26 \le a \le 28$

$41 \le b \le 43$

Для того чтобы оценить периметр, нам нужно найти границы для выражения $a + 2b$.

Сначала найдем границы для величины $2b$. Для этого умножим все части неравенства для $b$ на 2:

$2 \cdot 41 \le 2 \cdot b \le 2 \cdot 43$

$82 \le 2b \le 86$

Теперь, чтобы найти границы для периметра $P = a + 2b$, мы можем сложить почленно два неравенства:

$26 \le a \le 28$

$82 \le 2b \le 86$

Складываем левые части для получения нижней границы периметра и правые части для получения верхней границы:

$26 + 82 \le a + 2b \le 28 + 86$

Выполнив вычисления, получаем итоговую оценку для периметра $P$ в миллиметрах:

$108 \le P \le 114$

Ответ: $108 \le P \le 114$.

889. Измеряя длину a и ширину b прямоугольника (в сантиметрах), нашли, что 5,4 ‹ a ‹ 5,5 и 3,6 ‹ b ‹ 3,7.

Оцените: а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника.

$5,4<a<5,5 \text{и} 3,6<b<3,7$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} P=(a+b)·2=2a+2b \\ \mathbf{\text{1)}} 5,4<a<5,5 \\ 10,8<2a<11 \\ \mathbf{\text{2)}} 3,6<b<3,7 \\ 7,2<2b<7,4 \\ \begin{array}{cc}\mathbf{\text{3)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}10,8<2a<11\\ 7,2<2b<7,4\end{array}\\ & \overline{18<2a+2b<18,4}\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: 18<P<18,4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} S=ab \\ \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{c}5,4<a<5,5\\ 3,6<b<3,7\end{array}\\ & \overline{19,44<ab<20,35}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: 19,44<S<20,35

Даны оценки для длины a и ширины b прямоугольника в сантиметрах:

$5,4 < a < 5,5$

$3,6 < b < 3,7$

а) периметр прямоугольника

Периметр прямоугольника P вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Чтобы оценить периметр, сначала необходимо оценить сумму сторон $(a + b)$. Для этого сложим почленно данные неравенства, то есть сложим их левые и правые части соответственно:

$5,4 + 3,6 < a + b < 5,5 + 3,7$

Выполнив сложение, получаем:

$9,0 < a + b < 9,2$

Теперь, чтобы найти оценку для периметра $P$, умножим все части полученного двойного неравенства на 2:

$2 \cdot 9,0 < 2(a + b) < 2 \cdot 9,2$

$18,0 < P < 18,4$

Таким образом, периметр прямоугольника строго больше 18,0 см, но строго меньше 18,4 см.

Ответ: $18,0 < P < 18,4$ см.

б) площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника S вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Так как все стороны неравенств являются положительными числами, мы можем найти оценку для площади путем почленного перемножения этих неравенств:

$5,4 \cdot 3,6 < a \cdot b < 5,5 \cdot 3,7$

Вычислим значения в левой и правой частях:

$5,4 \cdot 3,6 = 19,44$

$5,5 \cdot 3,7 = 20,35$

Подставим полученные результаты в неравенство для площади S:

$19,44 < S < 20,35$

Таким образом, площадь прямоугольника строго больше 19,44 см?, но строго меньше 20,35 см?.

Ответ: $19,44 < S < 20,35$ см?.

890. Известны границы длины а и ширины b (в метрах) комнаты прямоугольной формы: 7,5 ≤ а ≤ 7,6 и 5,4 ≤ b ≤ 5,5. Подойдёт ли это помещение для библиотеки, для которой требуется комната площадью не менее 40 м²?

$$\begin{gathered} 7,5\le a\le 7,6 \text{и} 5,4\le b\le 5,5 \\ \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{c}7,5\le a\le 7,6\\ 5,4\le b\le 5,5\end{array}\\ & \overline{40,5\le ab\le 41,8}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: подойдёт.

Согласно условию, длина комнаты $a$ (в метрах) находится в границах $7,5 \le a \le 7,6$, а ширина $b$ (в метрах) — в границах $5,4 \le b \le 5,5$.

Площадь $S$ прямоугольной комнаты определяется произведением ее длины на ширину: $S = a \cdot b$. Чтобы выяснить, подходит ли комната для библиотеки, нам нужно оценить возможный диапазон значений площади $S$.

Поскольку все граничные значения для $a$ и $b$ являются положительными числами, мы можем перемножить соответствующие части неравенств, чтобы найти границы для площади:

$7,5 \cdot 5,4 \le a \cdot b \le 7,6 \cdot 5,5$

Вычислим минимально возможную площадь (нижнюю границу):

$S_{min} = 7,5 \cdot 5,4 = 40,5 \text{ м}^2$

Вычислим максимально возможную площадь (верхнюю границу):

$S_{max} = 7,6 \cdot 5,5 = 41,8 \text{ м}^2$

Следовательно, площадь комнаты $S$ находится в диапазоне:

$40,5 \le S \le 41,8$

Для библиотеки требуется комната с площадью не менее $40 \text{ м}^2$. Сравнивая это требование с найденным диапазоном, мы видим, что наименьшая возможная площадь комнаты ($40,5 \text{ м}^2$) больше, чем требуемые $40 \text{ м}^2$. Это означает, что при любых допустимых значениях длины и ширины площадь комнаты будет достаточной.

Ответ: да, это помещение подойдет для библиотеки, так как его минимально возможная площадь составляет $40,5 \text{ м}^2$, что больше требуемых $40 \text{ м}^2$.

891. Пусть α и β — углы треугольника. Известно, что

Оцените величину третьего угла.

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{1)}}& \begin{array}{cc}+& \begin{array}{c}58\mathrm{°}\le \alpha \le 59\mathrm{°}\\ 102\mathrm{°}\le \mathrm{\beta }\le 103\mathrm{°}\end{array}\\ & \overline{160\mathrm{°}\le \alpha +\beta \le 162\mathrm{°}}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{2)}} 160\mathrm{°}\le \alpha +\beta \le 162\mathrm{°} \\ -160\mathrm{°}\ge -\left(\alpha +\beta \right)\ge -162\mathrm{°} \\ -162\mathrm{°}\le -\left(\alpha +\beta \right)\le -160\mathrm{°} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{3) }}-162\mathrm{°}+180\mathrm{°}\le 180\mathrm{°}-\left(\alpha +\beta \right)\le -160\mathrm{°}+180\mathrm{°} \\ 18\mathrm{°}\le 180\mathrm{°}-\left(\alpha +\beta \right)\le 20\mathrm{°} \end{gathered}$$

Ответ: $18\mathrm{°}\le 180\mathrm{°}-\left(\alpha +\beta \right)\le 20\mathrm{°}18°\; \backslash le\; 180°\; -\; (\backslash alpha\; +\; \backslash beta)\; \backslash le\; 20°$

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Из этого соотношения мы можем выразить третий угол $\gamma$: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

В условии задачи даны следующие оценки для углов $\alpha$ и $\beta$:
$58^\circ \le \alpha \le 59^\circ$
$102^\circ \le \beta \le 103^\circ$

Чтобы оценить величину угла $\gamma$, нам сначала нужно найти диапазон значений для суммы углов $(\alpha + \beta)$. Для этого сложим почленно данные неравенства. Минимальное значение суммы будет равно сумме минимальных значений углов, а максимальное — сумме максимальных.

Минимальное значение суммы $(\alpha + \beta)$:
$(\alpha + \beta)_{min} = \alpha_{min} + \beta_{min} = 58^\circ + 102^\circ = 160^\circ$.

Максимальное значение суммы $(\alpha + \beta)$:
$(\alpha + \beta)_{max} = \alpha_{max} + \beta_{max} = 59^\circ + 103^\circ = 162^\circ$.

Таким образом, для суммы углов $\alpha + \beta$ справедливо двойное неравенство:
$160^\circ \le \alpha + \beta \le 162^\circ$.

Теперь, используя выражение $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$, мы можем найти оценку для угла $\gamma$.
Чтобы найти минимальное значение $\gamma$, нужно из $180^\circ$ вычесть максимальное значение суммы $(\alpha + \beta)$:
$\gamma_{min} = 180^\circ - (\alpha + \beta)_{max} = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$.

Чтобы найти максимальное значение $\gamma$, нужно из $180^\circ$ вычесть минимальное значение суммы $(\alpha + \beta)$:
$\gamma_{max} = 180^\circ - (\alpha + \beta)_{min} = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

Следовательно, величина третьего угла $\gamma$ находится в следующих границах:
$18^\circ \le \gamma \le 20^\circ$.

Ответ: $18^\circ \le \gamma \le 20^\circ$.

892. (Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 верно неравенство:

1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел a и b.

2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.

а≥0, b≥0, c≥0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}; a+b\ge 2\sqrt{ab} \\ \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}; b+c\ge 2\sqrt{bc} \\ \frac{a+c}{2}\ge \sqrt{ac}; a+c\ge 2\sqrt{ac} \\ \begin{array}{cc} & a+b\ge 2\sqrt{ab}\\ +& b+c\ge 2\sqrt{bc}\\ & \underline{a+c\ge 2\sqrt{ac}}\end{array} \\ \left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge 8\sqrt{ab·bc·ac} \\ \left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge 8abc \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a+1}{2}\ge \sqrt{a}; a+1\ge 2\sqrt{a} \\ \frac{b+1}{2}\ge \sqrt{6}; b+1\ge 2\sqrt{b} \\ \frac{a+c}{2}\ge \sqrt{ac}; a+c\ge 2\sqrt{ac} \\ \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}; b+c\ge 2\sqrt{bc} \\ \begin{array}{cl} & a+1\ge 2\sqrt{a}\\ \times & \begin{array}{l}b+1\ge 2\sqrt{b}\\ a+c\ge 2\sqrt{ac}\end{array}\\ & \underline{b+c\ge 2\sqrt{bc}}\end{array} \\ \left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge 16\sqrt{abacbc} \\ \left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge 16abc \\ \frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{16}\ge abc \end{gathered}$$

1) Для доказательства неравенств используются два основных инструмента:

• Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Оно утверждает, что для любых неотрицательных чисел их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического.
• Свойство умножения неравенств. Если есть два или более верных неравенства, у которых все части неотрицательны, то их можно почленно перемножить, и полученное неравенство также будет верным.

Неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$, имеет вид:

Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Ответ: При доказательстве используется неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для неотрицательных чисел $a$ и $b$, которое записывается как $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, а также свойство почленного умножения верных неравенств с неотрицательными частями.

2) Ниже приведено доказательство для каждого из неравенств.

а) Докажем неравенство $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc$ для $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$.

Применим неравенство Коши для трех пар неотрицательных чисел: $(a, b)$, $(b, c)$ и $(a, c)$.

1. Для чисел $a$ и $b$: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, откуда следует, что $a+b \ge 2\sqrt{ab}$.
2. Для чисел $b$ и $c$: $\frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}$, откуда следует, что $b+c \ge 2\sqrt{bc}$.
3. Для чисел $a$ и $c$: $\frac{a+c}{2} \ge \sqrt{ac}$, откуда следует, что $a+c \ge 2\sqrt{ac}$.

Так как по условию $a, b, c \ge 0$, все части полученных неравенств (например, $a+b$ и $2\sqrt{ab}$) являются неотрицательными. Следовательно, мы можем их почленно перемножить:

$(a+b)(b+c)(a+c) \ge (2\sqrt{ab}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac})$

Преобразуем правую часть произведения:

$(a+b)(b+c)(a+c) \ge 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ac} = 8\sqrt{a^2b^2c^2}$

Поскольку $a, b, c$ неотрицательны, то $\sqrt{a^2b^2c^2} = abc$.

В результате получаем искомое неравенство:

$(a+b)(b+c)(a+c) \ge 8abc$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем трехкратного применения неравенства Коши для пар $(a, b)$, $(b, c)$, $(a, c)$ и последующего перемножения полученных неравенств.

б) Докажем неравенство $\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge abc$ для $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$.

Для доказательства применим неравенство Коши к четырем парам неотрицательных чисел: $(a, 1)$, $(b, 1)$, $(a, c)$ и $(b, c)$.

1. Для чисел $a$ и $1$: $\frac{a+1}{2} \ge \sqrt{a \cdot 1}$, откуда $a+1 \ge 2\sqrt{a}$.
2. Для чисел $b$ и $1$: $\frac{b+1}{2} \ge \sqrt{b \cdot 1}$, откуда $b+1 \ge 2\sqrt{b}$.
3. Для чисел $a$ и $c$: $\frac{a+c}{2} \ge \sqrt{ac}$, откуда $a+c \ge 2\sqrt{ac}$.
4. Для чисел $b$ и $c$: $\frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}$, откуда $b+c \ge 2\sqrt{bc}$.

Все части этих неравенств неотрицательны, поэтому мы можем их почленно перемножить:

$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge (2\sqrt{a}) \cdot (2\sqrt{b}) \cdot (2\sqrt{ac}) \cdot (2\sqrt{bc})$

Упростим правую часть этого неравенства:

$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge 16\sqrt{a \cdot b \cdot ac \cdot bc} = 16\sqrt{a^2b^2c^2}$

Так как $a, b, c \ge 0$, то $\sqrt{a^2b^2c^2} = abc$.

Таким образом, мы получаем неравенство:

$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge 16abc$

Разделив обе части на 16 (положительное число), мы получим то, что требовалось доказать:

$\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge abc$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем применения неравенства Коши к четырем парам чисел $(a, 1)$, $(b, 1)$, $(a, c)$, $(b, c)$, с последующим перемножением полученных результатов и делением на 16.