Номер 886, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 886, страница 198.

886. Пользуясь тем, что 1,4 ‹ 2 ‹ 1,5 и 1,7 ‹ 3 ‹ 1,8, оцените:

$1,4<\sqrt{2}<1,5 \text{и} 1,7<\sqrt{3}<1,8$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}1,4<\sqrt{2}<1,5\\ 1,7<\sqrt{3}<1,8\end{array}\\ & \overline{3,1<\sqrt{2}+\sqrt{3}<3,3}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 1,4<\sqrt{2}<1,5 \\ -1,4>-\sqrt{2}>-1,5 \\ \begin{array}{cc}+& \begin{array}{l}-1,5<-\sqrt{2}<-1,4\\ 1,7<\sqrt{3}<1,8\end{array}\\ & \overline{-0,2<\sqrt{3}-\sqrt{2}<0,4}\end{array} \end{gathered}$$

а) Для того чтобы оценить сумму $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, необходимо сложить почленно данные неравенства. Согласно свойству сложения неравенств, если $a < x < b$ и $c < y < d$, то $a+c < x+y < b+d$.
У нас есть два неравенства:
$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$
$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$
Сложим левые и правые части этих неравенств:
$1,4 + 1,7 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 1,5 + 1,8$
Выполнив вычисления, получим оценку для суммы:
$3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$
Ответ: $3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$

б) Для оценки разности $\sqrt{3} - \sqrt{2}$, мы можем представить ее как сумму $\sqrt{3} + (-\sqrt{2})$.
Сначала найдем оценку для $-\sqrt{2}$. Дано неравенство $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Умножим все части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1,4 > -\sqrt{2} > -1,5$
Перепишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$
Теперь сложим почленно полученное неравенство с неравенством для $\sqrt{3}$ ($1,7 < \sqrt{3} < 1,8$):
$1,7 + (-1,5) < \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) < 1,8 + (-1,4)$
$1,7 - 1,5 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 1,8 - 1,4$
Выполнив вычисления, получим оценку для разности:
$0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$
Ответ: $0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$