Номер 885, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 885, страница 198.

885. Зная, что 6 ‹ x ‹ 7 и 10 ‹ y ‹ 12, оцените:

$6<x<7 \text{и} 10<y<12$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}6<x<7\\ 10<y<12\end{array}\\ & \overline{16<x+y<19}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 6<x<7 \\ -6>-x>-7 \\ \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}-7<-x<-6\\ 10<y<12\end{array}\\ & \overline{3<y-x<6}\end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{в)}}& \begin{array}{cc}\times & \begin{array}{l}6<x<7\\ 10<y<12\end{array}\\ & \overline{60<xy<84}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 6<x<7 \\ \frac{1}{6}>\frac{1}{x}>\frac{1}{7} \\ \begin{array}{cc}\times & \begin{array}{c}\frac{1}{7}<\frac{1}{x}<\frac{1}{6}\\ 10<y<12\end{array}\\ & \overline{\frac{10}{7}<\frac{y}{x}<2}\\ & 1\frac{3}{7}<\frac{y}{x}<2\end{array} \end{gathered}$$

а)

Чтобы оценить сумму $x + y$, воспользуемся свойством сложения неравенств одного знака. Сложим почленно данные неравенства $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$.

$6 + 10 < x + y < 7 + 12$

Выполнив сложение, получаем:

$16 < x + y < 19$

Ответ: $16 < x + y < 19$.

б)

Чтобы оценить разность $y - x$, представим ее как сумму $y + (-x)$. Сначала найдем оценку для $-x$.

Имеем неравенство $6 < x < 7$. Умножим все его части на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:

$-6 > -x > -7$

Перепишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-7 < -x < -6$

Теперь сложим почленно неравенства $10 < y < 12$ и $-7 < -x < -6$:

$10 + (-7) < y + (-x) < 12 + (-6)$

Выполнив вычисления, получаем:

$3 < y - x < 6$

Ответ: $3 < y - x < 6$.

в)

Для оценки произведения $xy$ воспользуемся свойством умножения неравенств. Так как все части данных неравенств $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$ являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить.

$6 \cdot 10 < x \cdot y < 7 \cdot 12$

Выполнив умножение, получаем:

$60 < xy < 84$

Ответ: $60 < xy < 84$.

г)

Чтобы оценить частное $\frac{y}{x}$, представим его как произведение $y \cdot \frac{1}{x}$. Сначала найдем оценку для $\frac{1}{x}$.

Имеем неравенство $6 < x < 7$. Так как все части неравенства положительны, можно найти обратные величины, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{1}{6} > \frac{1}{x} > \frac{1}{7}$

Перепишем это неравенство в стандартном виде:

$\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{6}$

Теперь почленно перемножим неравенства $10 < y < 12$ и $\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{6}$, так как все их части положительны:

$10 \cdot \frac{1}{7} < y \cdot \frac{1}{x} < 12 \cdot \frac{1}{6}$

Выполнив вычисления, получаем:

$\frac{10}{7} < \frac{y}{x} < 2$

Ответ: $\frac{10}{7} < \frac{y}{x} < 2$.