Номер 878, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Свойства числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 878, страница 195.

878. Оцените значение выражения 1y, если:

а) 5 ‹ y ‹ 8;

б) 0,125 ‹ y ‹ 0,25.

a) 5<y<8

б) 0,125<y<0,25

Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{y}$, нужно воспользоваться свойством числовых неравенств. Если все части двойного неравенства $a < y < b$ положительны, то при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{b} < \frac{1}{y} < \frac{1}{a}$. Это связано с тем, что функция $f(y) = \frac{1}{y}$ является убывающей для $y > 0$.

а)

Дано неравенство $5 < y < 8$.

Так как все части неравенства (5, y и 8) положительны, мы можем применить указанное выше свойство.

Возьмем обратные величины от каждой части неравенства, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{1}{8} < \frac{1}{y} < \frac{1}{5}$

Для наглядности можно перевести обыкновенные дроби в десятичные:

$\frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125$

$\frac{1}{5} = 1 \div 5 = 0,2$

Таким образом, искомая оценка для выражения $\frac{1}{y}$ имеет вид:

$0,125 < \frac{1}{y} < 0,2$

Ответ: $0,125 < \frac{1}{y} < 0,2$.

б)

Дано неравенство $0,125 < y < 0,25$.

Все части этого неравенства также положительны. Применим то же свойство, что и в предыдущем пункте.

Перейдем к обратным величинам, поменяв знаки неравенства:

$\frac{1}{0,25} < \frac{1}{y} < \frac{1}{0,125}$

Вычислим значения крайних частей неравенства. Для удобства можно представить десятичные дроби как обыкновенные:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Тогда:

$\frac{1}{0,25} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

$\frac{1}{0,125} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$

Подставим вычисленные значения обратно в неравенство:

$4 < \frac{1}{y} < 8$

Ответ: $4 < \frac{1}{y} < 8$.