Номер 879, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Свойства числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 879, страница 195.

879. Найдите значение многочлена x² – 4x + 1 при x =14; -3; 2 - 3.

$x^2-4x+1=x^2-2·2x+2^2-2^2+1={\left(x-2\right)}^2-3$

при $\mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{;}\mathbf{ }$

$$\begin{gathered} {\left(x-2\right)}^2-3={\left(\frac{1}{4}-2\right)}^2-3={\left(\frac{1-8}{4}\right)}^2-3= \\ ={\left(-\frac{7}{4}\right)}^2-3=\frac{49}{16}-3=\frac{49-48}{16}=\frac{1}{16} \end{gathered}$$

при x=-3;

${\left(x-2\right)}^2-3={\left(-3-2\right)}^2-3={\left(-5\right)}^2-3=25-3=22$

при $\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{;}$

$$\begin{gathered} {\left(x-2\right)}^2-3={\left(2-\sqrt{3}-2\right)}^2-3={\left(-\sqrt{3}\right)}^2-3= \\ =3-3=0 \end{gathered}$$

При $x = \frac{1}{4}$
Чтобы найти значение многочлена $x^2 - 4x + 1$ при $x = \frac{1}{4}$, подставим это значение в выражение вместо $x$:
$(\frac{1}{4})^2 - 4 \cdot (\frac{1}{4}) + 1$
Выполним вычисления по шагам:
1. Возводим в квадрат: $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$.
2. Выполняем умножение: $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
3. Подставляем полученные значения обратно в выражение: $\frac{1}{16} - 1 + 1$.
4. Складываем и вычитаем: $\frac{1}{16} - 1 + 1 = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

При $x = -3$
Подставим значение $x = -3$ в многочлен $x^2 - 4x + 1$:
$(-3)^2 - 4 \cdot (-3) + 1$
Выполним вычисления:
1. Возводим в квадрат: $(-3)^2 = 9$.
2. Выполняем умножение: $-4 \cdot (-3) = 12$.
3. Подставляем значения и складываем: $9 + 12 + 1 = 22$.
Ответ: $22$.

При $x = 2 - \sqrt{3}$
Подставим значение $x = 2 - \sqrt{3}$ в многочлен $x^2 - 4x + 1$:
$(2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1$
Раскроем скобки. Для первого слагаемого $(2 - \sqrt{3})^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.
Раскроем вторые скобки, умножая $-4$ на каждый член в скобках:
$-4(2 - \sqrt{3}) = -8 + 4\sqrt{3}$.
Теперь подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:
$(7 - 4\sqrt{3}) + (-8 + 4\sqrt{3}) + 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = (7 - 8 + 1) + (-4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) = 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.