Номер 883, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 883, страница 197.

883. Верно ли для положительных чисел а и b, что:

а) если a² > b², то a³ > b³;

б) если a³ > b³, то a² > b²?

a>0, b>0

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}a>b\\ a>b\end{array}\\ & \overline{a^2>b^2}\end{array}\end{array} \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}{a}^2>b^2\\ a>b\end{array}\\ & \overline{a^3>b^3}\end{array}$

Ответ: верно

$\begin{array}{cl}\mathbf{\text{б)}}& \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}a>b\\ a>b\\ a>b\end{array}\\ & \overline{a^3>b^3}\end{array}\end{array} \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}\begin{array}{l}a>b\\ a>b\end{array}\end{array}\\ & \overline{a^2>b^2}\end{array}$

Ответ: верно

а) Да, это утверждение верно. Разберем его по шагам.

Нам дано, что числа $a$ и $b$ положительные ($a > 0$, $b > 0$) и что $a^2 > b^2$.

Перенесем $b^2$ в левую часть неравенства: $a^2 - b^2 > 0$.

Используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) > 0$.

Так как по условию $a$ и $b$ — положительные числа, их сумма $(a + b)$ также будет положительным числом.

Чтобы произведение двух множителей было положительным, они должны быть одного знака. Поскольку мы знаем, что множитель $(a + b)$ положителен, то и множитель $(a - b)$ должен быть положительным.

Следовательно, $a - b > 0$, что означает $a > b$.

Теперь нам нужно проверить, следует ли из $a > b$ неравенство $a^3 > b^3$.

Рассмотрим разность кубов $a^3 - b^3$. Используя формулу, получаем: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Мы уже установили, что $(a - b) > 0$.

Второй множитель $(a^2 + ab + b^2)$ является суммой трех слагаемых. Так как $a > 0$ и $b > 0$, то $a^2 > 0$, $b^2 > 0$ и $ab > 0$. Сумма трех положительных чисел всегда положительна, значит, $(a^2 + ab + b^2) > 0$.

Произведение двух положительных множителей $(a - b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$ также будет положительным.

Таким образом, $a^3 - b^3 > 0$, а это означает, что $a^3 > b^3$.

Ответ: да, верно.

б) Да, это утверждение также верно.

Нам дано, что числа $a$ и $b$ положительные ($a > 0$, $b > 0$) и что $a^3 > b^3$.

Перенесем $b^3$ в левую часть: $a^3 - b^3 > 0$.

Используем формулу разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) > 0$.

Множитель $(a^2 + ab + b^2)$ является суммой положительных слагаемых (так как $a > 0$ и $b > 0$), поэтому он положителен.

Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны быть одного знака. Так как $(a^2 + ab + b^2) > 0$, то и $(a - b)$ должен быть больше нуля.

Следовательно, $a - b > 0$, что означает $a > b$.

Теперь проверим, следует ли из $a > b$ неравенство $a^2 > b^2$.

Рассмотрим разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Мы уже знаем, что $(a - b) > 0$.

Так как $a$ и $b$ положительны, их сумма $(a + b)$ тоже положительна.

Произведение двух положительных множителей $(a - b)$ и $(a + b)$ будет положительным.

Значит, $a^2 - b^2 > 0$, откуда следует, что $a^2 > b^2$.

Ответ: да, верно.