Номер 884, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 884, страница 197.

884. Пусть 3 ‹ a ‹ 4 и 4 ‹ b ‹ 5. Оцените:

а) a + b;

б) a – b;

в) ab;

г) ab.

$3<a<4 \text{и} 4<b<5$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}3<a<4\\ 4<b<5\end{array}\\ & \overline{\begin{array}{c}3+4<a+b<4+5\\ 7<a+b<9\end{array}}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 4<b<5 \\ -4>-b>-5 \\ \begin{array}{cc}+& \begin{array}{l}-5<-b<-4\\ 3<a<4\end{array}\\ & \overline{-2<a-b<0}\end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{в)}}& \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}3<a<4\\ 4<b<5\end{array}\\ & \overline{12<ab<20}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 4<b<5 \\ \frac{1}{4}>\frac{1}{b}>\frac{1}{5} \\ \begin{array}{cl}\times & \begin{array}{l}\frac{1}{5}<\frac{1}{b}<\frac{1}{4}\\ 3<a<4\end{array}\\ & \overline{\frac{3}{5}<\frac{a}{b}<1}\end{array} \end{gathered}$$

а) Для того чтобы оценить сумму $a + b$, необходимо сложить почленно данные неравенства $3 < a < 4$ и $4 < b < 5$. Складываем левые части с левыми, а правые — с правыми:
$3 + 4 < a + b < 4 + 5$
Выполняем сложение:
$7 < a + b < 9$
Ответ: $7 < a + b < 9$.

б) Для оценки разности $a - b$ представим её как сумму $a + (-b)$. Сначала найдём оценку для $-b$. Для этого умножим все части неравенства $4 < b < 5$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 > -b > -5$
Запишем это неравенство в привычном виде:
$-5 < -b < -4$
Теперь сложим почленно неравенства $3 < a < 4$ и $-5 < -b < -4$:
$3 + (-5) < a + (-b) < 4 + (-4)$
$-2 < a - b < 0$
Ответ: $-2 < a - b < 0$.

в) Для оценки произведения $ab$ необходимо перемножить почленно данные неравенства. Поскольку все части неравенств $3 < a < 4$ и $4 < b < 5$ положительны, мы можем это сделать:
$3 \cdot 4 < ab < 4 \cdot 5$
Выполняем умножение:
$12 < ab < 20$
Ответ: $12 < ab < 20$.

г) Для оценки частного $\frac{a}{b}$ представим его как произведение $a \cdot \frac{1}{b}$. Сначала найдём оценку для $\frac{1}{b}$. Так как $4 < b < 5$ и все числа положительны, при взятии обратных величин знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{1}{4} > \frac{1}{b} > \frac{1}{5}$
Запишем это неравенство в привычном виде:
$\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}$
Теперь перемножим почленно неравенства $3 < a < 4$ и $\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}$, так как все их части положительны:
$3 \cdot \frac{1}{5} < a \cdot \frac{1}{b} < 4 \cdot \frac{1}{4}$
$\frac{3}{5} < \frac{a}{b} < 1$
Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{a}{b} < 1$.