Номер 887, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 887, страница 198.

887. Пользуясь тем, что 2,2 ‹ 5 ‹ 2,3 и 2,4 ‹ 6 ‹ 2,5, оцените:

$2,2<\sqrt{5}<2,3 \text{и} 2,4<\sqrt{6}<2,5$

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{а)}}& \begin{array}{cl}+& \begin{array}{l}2,2<\sqrt{5}<2,3\\ 2,4<\sqrt{6}<2,5\end{array}\\ & \overline{4,6<\sqrt{6}+\sqrt{5}<4,8}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2,2<\sqrt{5}<2,3 \\ -2,2>-\sqrt{5}>-2,3 \\ \begin{array}{cc}+& \begin{array}{l}-2,3<-\sqrt{5}<-2,2\\ 2,4<\sqrt{6}<2,5\end{array}\\ & \overline{-0,1<\sqrt{6}-\sqrt{5}<0,3}\end{array} \end{gathered}$$

а)

Для того чтобы оценить значение выражения $\sqrt{6} + \sqrt{5}$, необходимо сложить данные в условии неравенства. Согласно свойству числовых неравенств, при сложении неравенств одного знака их левые и правые части складываются соответственно. У нас есть два исходных неравенства:

$2,4 < \sqrt{6} < 2,5$

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

Сложим эти неравенства почленно (левую часть с левой, среднюю со средней и правую с правой):

$2,4 + 2,2 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 2,5 + 2,3$

После выполнения сложения в левой и правой частях, мы получаем итоговое двойное неравенство, которое является оценкой для суммы:

$4,6 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 4,8$

Ответ: $4,6 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 4,8$.

б)

Для оценки разности $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ нам понадобится оценить выражение $-\sqrt{5}$. Для этого возьмем исходное неравенство для $\sqrt{5}$:

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

Умножим все части этого неравенства на $-1$. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 2,2 > -1 \cdot \sqrt{5} > -1 \cdot 2,3$

$-2,2 > -\sqrt{5} > -2,3$

Для удобства дальнейших вычислений запишем получившееся неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-2,3 < -\sqrt{5} < -2,2$

Теперь, чтобы оценить разность $\sqrt{6} - \sqrt{5}$, которая равна сумме $\sqrt{6} + (-\sqrt{5})$, сложим почленно неравенство для $\sqrt{6}$ и полученное неравенство для $-\sqrt{5}$:

$2,4 + (-2,3) < \sqrt{6} + (-\sqrt{5}) < 2,5 + (-2,2)$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$2,4 - 2,3 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 2,5 - 2,2$

Выполнив вычитание, мы получаем окончательную оценку для разности:

$0,1 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 0,3$

Ответ: $0,1 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 0,3$.