Номер 893, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 893, страница 199.

893. Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей.

Доказательство

Используя неравенство треугольника:

$$\begin{gathered} \begin{array}{cc}+& \begin{array}{c}AB<AO+BO\\ CD<CO+DO\end{array}\end{array} \\ \overline{AB+CD<AO+BO+CO+DO} \\ AB+CD<\left(AO+CO\right)+\left(BO+DO\right) \\ AB+CD<AC+BD \end{gathered}$$

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его стороны — это отрезки $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Диагонали четырехугольника — это отрезки $AC$ и $BD$. Нам нужно доказать, что сумма длин двух противоположных сторон (например, $AB$ и $CD$) меньше суммы длин диагоналей ($AC$ и $BD$).

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является выпуклым, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$, которые образуются при пересечении диагоналей.

Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника: сумма длин двух любых его сторон всегда больше длины третьей стороны.

Применим неравенство треугольника к треугольнику $AOB$: $AB < AO + OB$

Применим неравенство треугольника к треугольнику $COD$: $CD < CO + OD$

Теперь сложим эти два неравенства почленно: $AB + CD < (AO + OB) + (CO + OD)$

Сгруппируем слагаемые в правой части полученного неравенства: $AB + CD < (AO + CO) + (OB + OD)$

Точка $O$ лежит на отрезке $AC$, поэтому сумма длин отрезков $AO$ и $CO$ равна длине диагонали $AC$: $AO + CO = AC$. Аналогично, точка $O$ лежит на отрезке $BD$, поэтому сумма длин отрезков $OB$ и $OD$ равна длине диагонали $BD$: $OB + OD = BD$.

Подставим эти выражения обратно в неравенство: $AB + CD < AC + BD$

Таким образом, мы доказали, что сумма длин противоположных сторон $AB$ и $CD$ меньше суммы длин диагоналей $AC$ и $BD$.

Аналогичное доказательство можно провести и для другой пары противоположных сторон $BC$ и $DA$, рассмотрев треугольники $BOC$ и $DOA$.

Из $\triangle BOC$: $BC < BO + OC$
Из $\triangle DOA$: $DA < DO + OA$

Складывая их, получаем: $BC + DA < (BO + OC) + (DO + OA)$
$BC + DA < (BO + DO) + (OC + OA)$
$BC + DA < BD + AC$

Следовательно, утверждение доказано для любой пары противоположных сторон выпуклого четырехугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что $AB + CD < AC + BD$ и $BC + DA < AC + BD$, что и требовалось доказать.