Номер 2, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 2, страница 199.

2. Сформулируйте и докажите теоремы о почленном сложении и умножении неравенств.

Если и , то .

• Прибавив к обеим частям неравенства число $cc$, получим . Прибавив к обеим частям неравенства чис-ло $bb$, получим . Из неравенств и следует, что .

Если и , где $a,b,ca,\; b,\; c$ и $dd$ — положительные числа, то .

• Умножив обе части неравенства на положительное число $cc$, получим . Умножив обе части неравенства на положительное число $bb$, получим . Из неравенств и следует, что .

Теорема о почленном сложении неравенств

Формулировка: Если даны верные неравенства одинакового знака $a < b$ и $c < d$, то при их почленном сложении (сложении левых частей с левыми и правых с правыми) получается верное неравенство того же знака: $a + c < b + d$.

Доказательство:

По условию мы имеем два верных неравенства: $a < b$ и $c < d$.

Согласно определению числового неравенства, запись $a < b$ эквивалентна тому, что разность $b - a$ является положительным числом, то есть $b - a > 0$. Аналогично, из неравенства $c < d$ следует, что разность $d - c$ также является положительным числом: $d - c > 0$.

Чтобы доказать неравенство $a + c < b + d$, нам необходимо показать, что разность между его правой и левой частями, то есть $(b + d) - (a + c)$, является положительным числом.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$(b + d) - (a + c) = b + d - a - c = (b - a) + (d - c)$.

Мы получили сумму двух чисел: $(b - a)$ и $(d - c)$. Как мы установили ранее, оба этих числа положительны. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно:

$(b - a) + (d - c) > 0$.

Это означает, что $(b + d) - (a + c) > 0$, что по определению доказывает неравенство $a + c < b + d$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема гласит, что если $a < b$ и $c < d$, то верно и неравенство $a + c < b + d$. Доказательство основано на том, что разность правых и левых частей итогового неравенства, $(b+d)-(a+c)$, представляет собой сумму положительных чисел $(b-a)$ и $(d-c)$, и потому сама является положительной.

Теорема о почленном умножении неравенств

Формулировка: Если даны верные неравенства одинакового знака $a < b$ и $c < d$, и все их части являются положительными числами ($a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$), то при их почленном умножении получается верное неравенство того же знака: $ac < bd$.

Доказательство:

По условию мы имеем $a < b$ и $c < d$, где все числа $a, b, c, d$ положительны.

Воспользуемся одним из основных свойств неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

1. Умножим обе части неравенства $a < b$ на положительное число $c$. Так как $c > 0$, знак неравенства сохранится, и мы получим верное неравенство:

$ac < bc$.

2. Теперь умножим обе части неравенства $c < d$ на положительное число $b$. Так как $b > 0$, знак неравенства также сохранится, и мы получим:

$bc < bd$.

В результате мы имеем систему из двух верных неравенств: $ac < bc$ и $bc < bd$.

По свойству транзитивности числовых неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем объединить эти два неравенства и сделать вывод:

$ac < bd$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема гласит, что если $a, b, c, d$ — положительные числа, и при этом $a < b$ и $c < d$, то верно и неравенство $ac < bd$. Доказательство основано на последовательном применении свойства умножения неравенства на положительное число и свойства транзитивности.