Страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

893. Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей.

Доказательство

Используя неравенство треугольника:

$$\begin{gathered} \begin{array}{cc}+& \begin{array}{c}AB<AO+BO\\ CD<CO+DO\end{array}\end{array} \\ \overline{AB+CD<AO+BO+CO+DO} \\ AB+CD<\left(AO+CO\right)+\left(BO+DO\right) \\ AB+CD<AC+BD \end{gathered}$$

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его стороны — это отрезки $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Диагонали четырехугольника — это отрезки $AC$ и $BD$. Нам нужно доказать, что сумма длин двух противоположных сторон (например, $AB$ и $CD$) меньше суммы длин диагоналей ($AC$ и $BD$).

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является выпуклым, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$, которые образуются при пересечении диагоналей.

Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника: сумма длин двух любых его сторон всегда больше длины третьей стороны.

Применим неравенство треугольника к треугольнику $AOB$: $AB < AO + OB$

Применим неравенство треугольника к треугольнику $COD$: $CD < CO + OD$

Теперь сложим эти два неравенства почленно: $AB + CD < (AO + OB) + (CO + OD)$

Сгруппируем слагаемые в правой части полученного неравенства: $AB + CD < (AO + CO) + (OB + OD)$

Точка $O$ лежит на отрезке $AC$, поэтому сумма длин отрезков $AO$ и $CO$ равна длине диагонали $AC$: $AO + CO = AC$. Аналогично, точка $O$ лежит на отрезке $BD$, поэтому сумма длин отрезков $OB$ и $OD$ равна длине диагонали $BD$: $OB + OD = BD$.

Подставим эти выражения обратно в неравенство: $AB + CD < AC + BD$

Таким образом, мы доказали, что сумма длин противоположных сторон $AB$ и $CD$ меньше суммы длин диагоналей $AC$ и $BD$.

Аналогичное доказательство можно провести и для другой пары противоположных сторон $BC$ и $DA$, рассмотрев треугольники $BOC$ и $DOA$.

Из $\triangle BOC$: $BC < BO + OC$
Из $\triangle DOA$: $DA < DO + OA$

Складывая их, получаем: $BC + DA < (BO + OC) + (DO + OA)$
$BC + DA < (BO + DO) + (OC + OA)$
$BC + DA < BD + AC$

Следовательно, утверждение доказано для любой пары противоположных сторон выпуклого четырехугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что $AB + CD < AC + BD$ и $BC + DA < AC + BD$, что и требовалось доказать.

894. (Задача-исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.

1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану BO.

2) На луче BO отложите отрезок OD = BO и соедините точку D с точками A и C. Какой вид имеет четырёхугольник ABCD?

3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните 2m_b с суммой BC + AB (m_b — медиана BO).

4) Составьте аналогичные неравенства для 2mₐ и 2m_c.

5) Используя сложение неравенств, оцените сумму медиан треугольника mₐ + m_b + m_c.

ВО - медиана $△АBC$, отложим DО=BO

Получили, что АО=OC (т.к. ВО - мериана $△АBC$), ВО=OD (по построению).

Значит, АВСD - параллелограмм по признаку паралелограмма.

Рассмотрим $△АBC$. Используя неравенство треугольника $BD<AB+AD, 2·BO<AB+AD.$

По свойству противолежащих сторон параллелограмма AD=BC

$2BO<AB+BC; BO<\frac{AB+BC}{2}; BO=m_b<\frac{a+c}{2}$

Аналогично, $m_a<\frac{b+c}{2}; m_c<\frac{a+b}{2},$ где BC=a, AB=c, AC=b

$$\begin{gathered} m_b+m_a+m_c<\frac{a+c}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+b}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c<\frac{2a+2b+2c}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c<\frac{2\left(a+b+c\right)}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c<a+b+c \end{gathered}$$

Значит, сумма медиан треугольника меньше его периметра.

Найдем теперь нижнюю границу суммы медиан треугольника. Для этого рассмотрим $△АBC$ и $△BOC.$ Используя неравенство треугольника: 

$$\begin{gathered} \begin{array}{cc}+& \begin{array}{c}АВ<AO+BO\\ BC<BO+OC\end{array}\end{array} \\ \overline{AB+BC<\left(AO+OC\right)+2BO} \\ AB+BC<AC+2BO \\ AB+BC-AC<2BO \\ BO>\frac{AB+BC-AC}{2}, \text{т.е.} \\ {m}_b>\frac{a+c-b}{2} \end{gathered}$$

Аналогично,

$$\begin{gathered} m_a>\frac{b+c-a}{2}, \\ {m}_c>\frac{a+b-c}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c>\frac{a+c-b}{2}+\frac{b+c-a}{2}+\frac{a+b-c}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c>\frac{a+c-b+b+c-a+a+b-c}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c>\frac{a+b+c}{2} \\ \frac{a+b+c}{2}<m_a+m_b+m_c<a+b+c \end{gathered}$$

1) Начертим произвольный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $B$ медиану $BO$ к стороне $AC$. По определению медианы, точка $O$ является серединой отрезка $AC$, поэтому $AO = OC$.

2) На луче $BO$ за точкой $O$ отложим отрезок $OD$ так, что его длина равна длине медианы $BO$ ($OD = BO$). Соединим точку $D$ с вершинами $A$ и $C$. Рассмотрим полученный четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По определению медианы $BO$, точка $O$ делит сторону $AC$ пополам ($AO = OC$). По нашему построению, точка $O$ также делит отрезок $BD$ пополам ($BO = OD$). Четырёхугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.
Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

3) Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны — $AB$, $AD$ и $BD$. Обозначим длину медианы $BO$ как $m_b$. По построению из пункта 2, длина стороны $BD = BO + OD = m_b + m_b = 2m_b$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм (что было доказано в пункте 2), его противолежащие стороны равны, следовательно, $AD = BC$. Применим к треугольнику $ABD$ неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Таким образом, $AB + AD > BD$. Подставив в это неравенство $AD = BC$ и $BD = 2m_b$, получим: $AB + BC > 2m_b$.
Ответ: $2m_b < BC + AB$.

4) Обозначим длины сторон треугольника $ABC$ как $a=BC$, $b=AC$ и $c=AB$. Медианы, проведенные к этим сторонам, обозначим $m_a$, $m_b$ и $m_c$ соответственно. В пункте 3 мы вывели неравенство для медианы $m_b$: $2m_b < c + a$. По аналогии, удвоенная длина каждой медианы меньше суммы длин двух других сторон треугольника, к которым она не проведена.
Для медианы $m_a$ (проведенной к стороне $a = BC$): $2m_a < b + c$ или $2m_a < AC + AB$.
Для медианы $m_c$ (проведенной к стороне $c = AB$): $2m_c < a + b$ или $2m_c < BC + AC$.
Ответ: Аналогичные неравенства: $2m_a < AC + AB$ и $2m_c < BC + AC$.

5) Для оценки суммы медиан $m_a + m_b + m_c$ сложим три неравенства, полученные в предыдущих пунктах:
$2m_a < b + c$
$2m_b < a + c$
$2m_c < a + b$
Сложим левые и правые части этих неравенств:
$2m_a + 2m_b + 2m_c < (b + c) + (a + c) + (a + b)$
Вынесем общий множитель 2 в обеих частях:
$2(m_a + m_b + m_c) < 2a + 2b + 2c$
$2(m_a + m_b + m_c) < 2(a + b + c)$
Разделив обе части на 2, получим итоговое неравенство:
$m_a + m_b + m_c < a + b + c$
Сумма $a + b + c$ является периметром $P$ треугольника $ABC$. Таким образом, мы доказали, что сумма длин всех медиан треугольника всегда меньше его периметра.
Ответ: Сумма длин медиан треугольника меньше его периметра: $m_a + m_b + m_c < P$, где $P$ — периметр треугольника.

895. Лист жести имеет форму квадрата. После того как от него отрезали полосу шириной 5 дм, площадь оставшейся части листа стала равной 6 дм². Каковы размеры первоначального листа жести?

Пусть а дм-длина стороны квадрата. От него отрезали прямоугольник со сторонами a дм и 5дм, т.е. площадью 5а дм. Зная, что площадь оставшейся части стала равна $6 {\text{дм}}^2,$ составим и решим уравнение.

$$\begin{gathered} a^2-5a=6 \\ {a}^2-5a-6=0 \\ D={(-5)}^2-4·1·(-6)=25+24=49 \\ a=\frac{5+\sqrt{49}}{2}; a=\frac{5+7}{2} \end{gathered}$$

$a_1=6; {а}_2=-1$ - не удовлетворяет условию задачи a>0

Ответ: 6×6 дм

Пусть сторона первоначального квадратного листа жести равна $x$ дм.

Тогда площадь первоначального листа равна $S_{1} = x \cdot x = x^2$ дм?.

От листа отрезали полосу шириной 5 дм. Это означает, что одна из сторон листа уменьшилась на 5 дм, а другая осталась прежней. После этого лист стал прямоугольным со сторонами $x$ дм и $(x - 5)$ дм.

Площадь оставшейся части листа, согласно условию, равна 6 дм?. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$S_{2} = x \cdot (x - 5) = 6$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - 5x = 6$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=1$, $b=-5$, $c=-6$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Поскольку $x$ представляет собой длину стороны квадрата, она не может быть отрицательной величиной. Следовательно, корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственное подходящее решение — это $x = 6$ дм.

Это означает, что первоначальный лист жести был квадратом со стороной 6 дм.

Проверим полученный результат:

Первоначальный размер листа: 6 дм x 6 дм.

После того как отрезали полосу шириной 5 дм, размеры оставшейся части стали 6 дм x $(6 - 5)$ дм, то есть 6 дм x 1 дм.

Площадь оставшейся части: $6 \cdot 1 = 6$ дм?, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: первоначальные размеры листа жести были 6 дм на 6 дм.

896. Упростите выражение

$$\begin{gathered} \left(\frac{8x}{16-9x^2}+\frac{x}{3x-4}\right):\left(1-\frac{4-3x}{4+3x}\right)=\frac{1}{6} \\ \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{8x}{16-9x^2}+\frac{x}{3x-4}=\frac{8x}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}+\frac{x}{3x-4}= \\ =\frac{8x}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}-\frac{x}{4-3x}=\frac{8x-x\left(4+3x\right)}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}= \\ =\frac{8x-4x-3x^2}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}=\frac{4x-3x^2}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}= \\ =\frac{x\left(4-3x\right)}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}=\frac{x}{4+3x} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} 1-\frac{4-3x}{4+3x}=\frac{4+3x-4+3x}{4+3x}=\frac{6x}{4+3x} \\ \mathbf{3}\mathbf{)} \frac{x}{4+3x}:\frac{6x}{4+3x}=\frac{x·\left(4+3x\right)}{\left(4+3x\right)·6x}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упрощение выражения в первых скобках: $ \left(\frac{8x}{16 - 9x^2} + \frac{x}{3x - 4}\right) $

Преобразуем знаменатели дробей. Знаменатель $16 - 9x^2$ — это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $16 - 9x^2 = 4^2 - (3x)^2 = (4 - 3x)(4 + 3x)$.

В знаменателе второй дроби, $3x - 4$, вынесем знак минус за скобки: $3x - 4 = -(4 - 3x)$.

Теперь подставим преобразованные знаменатели обратно в выражение:

$ \frac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} + \frac{x}{-(4 - 3x)} = \frac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} - \frac{x}{4 - 3x} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(4 - 3x)(4 + 3x)$:

$ \frac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} - \frac{x(4 + 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \frac{8x - x(4 + 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{8x - 4x - 3x^2}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \frac{4x - 3x^2}{(4 - 3x)(4 + 3x)} $

Вынесем в числителе общий множитель $x$ за скобки и сократим полученную дробь:

$ \frac{x(4 - 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \frac{x}{4 + 3x} $

2. Упрощение выражения во вторых скобках: $ \left(1 - \frac{4 - 3x}{4 + 3x}\right) $

Приведем единицу к дроби со знаменателем $(4 + 3x)$:

$ \frac{1 \cdot (4 + 3x)}{4 + 3x} - \frac{4 - 3x}{4 + 3x} = \frac{(4 + 3x) - (4 - 3x)}{4 + 3x} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{4 + 3x - 4 + 3x}{4 + 3x} = \frac{6x}{4 + 3x} $

3. Выполнение деления

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$ \left(\frac{x}{4 + 3x}\right) : \left(\frac{6x}{4 + 3x}\right) $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю:

$ \frac{x}{4 + 3x} \cdot \frac{4 + 3x}{6x} $

Сократим общие множители $x$ и $(4 + 3x)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x}}{\cancel{4 + 3x}} \cdot \frac{\cancel{4 + 3x}}{6\cancel{x}} = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6} $

897. Докажите, что:

а) $9a+\frac{1}{a}>69a\; +\; \backslash frac\{1\}\{a\}\; >\; 6$ при a>0

$9a+\frac{1}{a}-6=\frac{9a^2-6a+1}{a}=\frac{{\left(3a-1\right)}^2}{a}\ge 0$

Т.к. ${\left(3a+1\right)}^2\ge 0$ при любом значении $aa$ и $a>0a>0$ по условию

б) $25b+\frac{1}{b}\le -1025b\; +\; \backslash frac\{1\}\{b\}\; \backslash le\; -10$ при b<0

$25b+\frac{1}{b}+10=\frac{25b^2+10b+1}{b}=\frac{{\left(5b+1\right)}^2}{b}\le 0,$,

Т.к. ${\left(5b+1\right)}^2\ge 0$ при любом значении b и по условию

Для доказательства неравенства $9a + \frac{1}{a} \ge 6$ при $a > 0$ преобразуем его.
Перенесем все члены в левую часть: $9a - 6 + \frac{1}{a} \ge 0$
Поскольку по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $a$, при этом знак неравенства не изменится: $a \cdot (9a - 6 + \frac{1}{a}) \ge a \cdot 0$
$9a^2 - 6a + 1 \ge 0$
Выражение в левой части является полным квадратом разности: $(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 1 + 1^2 \ge 0$
$(3a - 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, неравенство $(3a - 1)^2 \ge 0$ является верным для любого значения $a$.
Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $9a + \frac{1}{a} \ge 6$ верно при всех $a > 0$.
Ответ: Неравенство доказано.

Для доказательства неравенства $25b + \frac{1}{b} \le -10$ при $b < 0$ преобразуем его.
Перенесем все члены в левую часть: $25b + 10 + \frac{1}{b} \le 0$
Поскольку по условию $b < 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $b$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $b \cdot (25b + 10 + \frac{1}{b}) \ge b \cdot 0$
$25b^2 + 10b + 1 \ge 0$
Выражение в левой части является полным квадратом суммы: $(5b)^2 + 2 \cdot (5b) \cdot 1 + 1^2 \ge 0$
$(5b + 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, неравенство $(5b + 1)^2 \ge 0$ является верным для любого значения $b$.
Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $25b + \frac{1}{b} \le -10$ верно при всех $b < 0$.
Ответ: Неравенство доказано.

1. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств, и докажите их.

Если а>b, то b<а; если а<b, то b>a.

• Действительно, если разность а-b положительное число, то разность b-a - отрицательное число, и наоборот.

Если а<b и b<с, то а<с.

• Докажем, что разность а-с - отрицательное число. Прибавим к этой разности числа b и -b и сгруппируем слагаемые:

a-c=a-c+b-b=(a-b)+(b-c).

По условию а<b и b<с. Поэтому слагаемые а-b и b-с - отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, а<с.

Если а<b и с - любое число, то а+c<b+c.

• Преобразуем разность (а+c)-(b+c):

(a+c)-(b+c)=a-b.

По условию а<b, поэтому а-b - отрицательное число. Значит, и разность (а+b)-(b+c) отрицательна. Следовательно, a+c<b+c.

Если a<b и с — положительное число, то ас<bc. Если а<b и с — отрицательное число, то ас>bc.

• Представим разность ас-bс в виде произведения:

ac-bc=c(a-b).

Так как а<b, то а-b — отрицательное число. Если с>0, то произведение с(а-b) отрицательно, и, следовательно, ас<bc. Если с<0, то произведение с(a–b) положительно, и, следовательно, ac>bc.

Основным понятием при работе с числовыми неравенствами является определение: число a больше числа b (записывается как $a > b$), если их разность $a - b$ является положительным числом. Аналогично, $a < b$, если разность $a - b$ — отрицательное число. На этом определении и свойствах действительных чисел строятся доказательства всех основных теорем о неравенствах.

Теорема 1 (Свойство транзитивности)

Формулировка: Если число $a$ больше числа $b$, а число $b$ больше числа $c$, то число $a$ больше числа $c$. Иными словами, если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Доказательство:

По условию $a > b$, что по определению означает $a - b > 0$.

Также по условию $b > c$, что по определению означает $b - c > 0$.

Рассмотрим разность $a - c$. Представим ее в виде $(a - b) + (b - c)$.

Так как $a - b$ и $b - c$ — положительные числа, их сумма также является положительным числом. Следовательно, $(a - b) + (b - c) > 0$.

Это означает, что $a - c > 0$, что по определению доказывает неравенство $a > c$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Теорема 2 (Сложение числа с неравенством)

Формулировка: Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. То есть, если $a > b$, то для любого числа $c$ выполняется $a + c > b + c$.

Доказательство:

Для доказательства истинности неравенства $a + c > b + c$ рассмотрим разность его левой и правой частей: $(a + c) - (b + c)$.

Раскроем скобки: $a + c - b - c = a - b$.

По условию теоремы $a > b$, следовательно, разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.

Так как $(a + c) - (b + c) = a - b$, то и разность $(a + c) - (b + c)$ положительна.

По определению, это означает, что $a + c > b + c$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b$, то $a + c > b + c$ для любого числа $c$.

Теорема 3 (Умножение неравенства на положительное число)

Формулировка: Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. То есть, если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Доказательство:

Рассмотрим разность $ac - bc$. Вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(a - b)$.

По условию $a > b$, значит, разность $a - b$ — положительное число ($a - b > 0$).

По условию $c$ — также положительное число ($c > 0$).

Произведение двух положительных чисел $c$ и $(a - b)$ есть число положительное, то есть $c(a - b) > 0$.

Следовательно, разность $ac - bc$ положительна, что по определению означает $ac > bc$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Теорема 4 (Умножение неравенства на отрицательное число)

Формулировка: Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. То есть, если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Доказательство:

Рассмотрим разность $ac - bc$. Вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(a - b)$.

По условию $a > b$, значит, разность $a - b$ — положительное число ($a - b > 0$).

По условию $c$ — отрицательное число ($c < 0$).

Произведение отрицательного числа $c$ и положительного числа $(a - b)$ есть число отрицательное, то есть $c(a - b) < 0$.

Следовательно, разность $ac - bc$ отрицательна, что по определению означает $ac < bc$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Теорема 5 (Почленное сложение неравенств)

Формулировка: Если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. То есть, если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Доказательство:

По условию $a > b$ и $c > d$. По определению это означает, что $a - b > 0$ и $c - d > 0$.

Рассмотрим разность левой и правой частей итогового неравенства: $(a + c) - (b + d)$.

Перегруппируем слагаемые: $a + c - b - d = (a - b) + (c - d)$.

Так как $(a - b)$ и $(c - d)$ — положительные числа, их сумма также является положительным числом.

Следовательно, $(a + c) - (b + d) > 0$, что по определению означает $a + c > b + d$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Теорема 6 (Почленное умножение неравенств)

Формулировка: Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство. То есть, если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Доказательство:

Рассмотрим разность $ac - bd$. Прибавим и вычтем из нее произведение $bc$: $ac - bc + bc - bd$.

Сгруппируем слагаемые: $(ac - bc) + (bc - bd) = c(a - b) + b(c - d)$.

Рассмотрим каждое слагаемое в полученной сумме.

Из условия $a > b$ следует, что $a - b > 0$. Так как $c > 0$, то произведение $c(a - b)$ является положительным числом.

Из условия $c > d$ следует, что $c - d > 0$. Так как $b > 0$, то произведение $b(c - d)$ является положительным числом.

Сумма двух положительных чисел $c(a - b)$ и $b(c - d)$ есть число положительное.

Следовательно, разность $ac - bd > 0$, что по определению означает $ac > bd$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

2. Сформулируйте и докажите теоремы о почленном сложении и умножении неравенств.

Если и , то .

• Прибавив к обеим частям неравенства число $cc$, получим . Прибавив к обеим частям неравенства чис-ло $bb$, получим . Из неравенств и следует, что .

Если и , где $a,b,ca,\; b,\; c$ и $dd$ — положительные числа, то .

• Умножив обе части неравенства на положительное число $cc$, получим . Умножив обе части неравенства на положительное число $bb$, получим . Из неравенств и следует, что .

Теорема о почленном сложении неравенств

Формулировка: Если даны верные неравенства одинакового знака $a < b$ и $c < d$, то при их почленном сложении (сложении левых частей с левыми и правых с правыми) получается верное неравенство того же знака: $a + c < b + d$.

Доказательство:

По условию мы имеем два верных неравенства: $a < b$ и $c < d$.

Согласно определению числового неравенства, запись $a < b$ эквивалентна тому, что разность $b - a$ является положительным числом, то есть $b - a > 0$. Аналогично, из неравенства $c < d$ следует, что разность $d - c$ также является положительным числом: $d - c > 0$.

Чтобы доказать неравенство $a + c < b + d$, нам необходимо показать, что разность между его правой и левой частями, то есть $(b + d) - (a + c)$, является положительным числом.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$(b + d) - (a + c) = b + d - a - c = (b - a) + (d - c)$.

Мы получили сумму двух чисел: $(b - a)$ и $(d - c)$. Как мы установили ранее, оба этих числа положительны. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно:

$(b - a) + (d - c) > 0$.

Это означает, что $(b + d) - (a + c) > 0$, что по определению доказывает неравенство $a + c < b + d$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема гласит, что если $a < b$ и $c < d$, то верно и неравенство $a + c < b + d$. Доказательство основано на том, что разность правых и левых частей итогового неравенства, $(b+d)-(a+c)$, представляет собой сумму положительных чисел $(b-a)$ и $(d-c)$, и потому сама является положительной.

Теорема о почленном умножении неравенств

Формулировка: Если даны верные неравенства одинакового знака $a < b$ и $c < d$, и все их части являются положительными числами ($a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$), то при их почленном умножении получается верное неравенство того же знака: $ac < bd$.

Доказательство:

По условию мы имеем $a < b$ и $c < d$, где все числа $a, b, c, d$ положительны.

Воспользуемся одним из основных свойств неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

1. Умножим обе части неравенства $a < b$ на положительное число $c$. Так как $c > 0$, знак неравенства сохранится, и мы получим верное неравенство:

$ac < bc$.

2. Теперь умножим обе части неравенства $c < d$ на положительное число $b$. Так как $b > 0$, знак неравенства также сохранится, и мы получим:

$bc < bd$.

В результате мы имеем систему из двух верных неравенств: $ac < bc$ и $bc < bd$.

По свойству транзитивности числовых неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем объединить эти два неравенства и сделать вывод:

$ac < bd$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема гласит, что если $a, b, c, d$ — положительные числа, и при этом $a < b$ и $c < d$, то верно и неравенство $ac < bd$. Доказательство основано на последовательном применении свойства умножения неравенства на положительное число и свойства транзитивности.

3. Оцените сумму, разность, произведение и частное чисел а и b, если известно, что 4 ‹ а ‹ 5 и 9 ‹ b ‹ 10.

Оценим сумму a+b.

4<a<5

9<b<10

------------

13<a+b<15

Оценим разность а–b.

4<a<5; -10< -b<-9

-10< -b<-9

------------

-6<a-b<-4

Оценим произведение ab.

4<a<5

9<b<10

------------

36<ab<50

Оценим частное $\frac{a}{b}\backslash frac\{a\}\{b\}$.

$$\begin{gathered} 4<a<5; \frac{1}{10}<\frac{1}{b}<\frac{1}{9} \\ \frac{1}{10}<\frac{1}{b}<\frac{1}{9} \end{gathered}$$

------------

$\frac{4}{10}<\frac{a}{b}<\frac{5}{9};$

Даны неравенства: $4 < a < 5$ и $9 < b < 10$.

Сумма

Чтобы оценить сумму $a + b$, сложим почленно левые и правые части данных неравенств:

$ \begin{array}{c} + \\ \begin{array}{rcl} 4 & < & a & < & 5 \\ 9 & < & b & < & 10 \end{array} \\ \hline \begin{array}{rcl} 4+9 & < & a+b & < & 5+10 \end{array} \end{array} $

Выполнив сложение, получаем:
$13 < a + b < 15$

Ответ: $13 < a + b < 15$

Разность

Для оценки разности $a - b$ сначала преобразуем неравенство для $b$. Умножим все части неравенства $9 < b < 10$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 9 > -1 \cdot b > -1 \cdot 10$
$-9 > -b > -10$
или, в привычном виде:
$-10 < -b < -9$

Теперь сложим почленно неравенства для $a$ и $-b$:
$ \begin{array}{c} + \\ \begin{array}{rcl} 4 & < & a & < & 5 \\ -10 & < & -b & < & -9 \end{array} \\ \hline \begin{array}{rcl} 4-10 & < & a-b & < & 5-9 \end{array} \end{array} $

Выполнив вычитание, получаем:
$-6 < a - b < -4$

Ответ: $-6 < a - b < -4$

Произведение

Так как все части исходных неравенств положительны, мы можем их почленно перемножить:

$ \begin{array}{c} \times \\ \begin{array}{rcl} 4 & < & a & < & 5 \\ 9 & < & b & < & 10 \end{array} \\ \hline \begin{array}{rcl} 4 \cdot 9 & < & a \cdot b & < & 5 \cdot 10 \end{array} \end{array} $

Выполнив умножение, получаем:
$36 < ab < 50$

Ответ: $36 < ab < 50$

Частное

Для оценки частного $\frac{a}{b}$ представим его как произведение $a \cdot \frac{1}{b}$. Сначала оценим $\frac{1}{b}$. Так как $9 < b < 10$ и все части положительны, то:
$\frac{1}{10} < \frac{1}{b} < \frac{1}{9}$

Теперь почленно перемножим неравенства для $a$ и $\frac{1}{b}$ (все части положительны):
$ \begin{array}{c} \times \\ \begin{array}{rcl} 4 & < & a & < & 5 \\ \frac{1}{10} & < & \frac{1}{b} & < & \frac{1}{9} \end{array} \\ \hline \begin{array}{rcl} 4 \cdot \frac{1}{10} & < & a \cdot \frac{1}{b} & < & 5 \cdot \frac{1}{9} \end{array} \end{array} $

Выполнив умножение, получаем:
$\frac{4}{10} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$
Сократив дробь $\frac{4}{10}$, получаем окончательный результат:
$\frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$