Номер 896, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 896, страница 199.

896. Упростите выражение

$$\begin{gathered} \left(\frac{8x}{16-9x^2}+\frac{x}{3x-4}\right):\left(1-\frac{4-3x}{4+3x}\right)=\frac{1}{6} \\ \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{8x}{16-9x^2}+\frac{x}{3x-4}=\frac{8x}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}+\frac{x}{3x-4}= \\ =\frac{8x}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}-\frac{x}{4-3x}=\frac{8x-x\left(4+3x\right)}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}= \\ =\frac{8x-4x-3x^2}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}=\frac{4x-3x^2}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}= \\ =\frac{x\left(4-3x\right)}{\left(4-3x\right)\left(4+3x\right)}=\frac{x}{4+3x} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} 1-\frac{4-3x}{4+3x}=\frac{4+3x-4+3x}{4+3x}=\frac{6x}{4+3x} \\ \mathbf{3}\mathbf{)} \frac{x}{4+3x}:\frac{6x}{4+3x}=\frac{x·\left(4+3x\right)}{\left(4+3x\right)·6x}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала упростим выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упрощение выражения в первых скобках: $ \left(\frac{8x}{16 - 9x^2} + \frac{x}{3x - 4}\right) $

Преобразуем знаменатели дробей. Знаменатель $16 - 9x^2$ — это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $16 - 9x^2 = 4^2 - (3x)^2 = (4 - 3x)(4 + 3x)$.

В знаменателе второй дроби, $3x - 4$, вынесем знак минус за скобки: $3x - 4 = -(4 - 3x)$.

Теперь подставим преобразованные знаменатели обратно в выражение:

$ \frac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} + \frac{x}{-(4 - 3x)} = \frac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} - \frac{x}{4 - 3x} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(4 - 3x)(4 + 3x)$:

$ \frac{8x}{(4 - 3x)(4 + 3x)} - \frac{x(4 + 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \frac{8x - x(4 + 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{8x - 4x - 3x^2}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \frac{4x - 3x^2}{(4 - 3x)(4 + 3x)} $

Вынесем в числителе общий множитель $x$ за скобки и сократим полученную дробь:

$ \frac{x(4 - 3x)}{(4 - 3x)(4 + 3x)} = \frac{x}{4 + 3x} $

2. Упрощение выражения во вторых скобках: $ \left(1 - \frac{4 - 3x}{4 + 3x}\right) $

Приведем единицу к дроби со знаменателем $(4 + 3x)$:

$ \frac{1 \cdot (4 + 3x)}{4 + 3x} - \frac{4 - 3x}{4 + 3x} = \frac{(4 + 3x) - (4 - 3x)}{4 + 3x} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{4 + 3x - 4 + 3x}{4 + 3x} = \frac{6x}{4 + 3x} $

3. Выполнение деления

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$ \left(\frac{x}{4 + 3x}\right) : \left(\frac{6x}{4 + 3x}\right) $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю:

$ \frac{x}{4 + 3x} \cdot \frac{4 + 3x}{6x} $

Сократим общие множители $x$ и $(4 + 3x)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x}}{\cancel{4 + 3x}} \cdot \frac{\cancel{4 + 3x}}{6\cancel{x}} = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6} $