Номер 3, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 3, страница 199.

3. Оцените сумму, разность, произведение и частное чисел а и b, если известно, что 4 ‹ а ‹ 5 и 9 ‹ b ‹ 10.

Оценим сумму a+b.

4<a<5

9<b<10

------------

13<a+b<15

Оценим разность а–b.

4<a<5; -10< -b<-9

-10< -b<-9

------------

-6<a-b<-4

Оценим произведение ab.

4<a<5

9<b<10

------------

36<ab<50

Оценим частное $\frac{a}{b}\backslash frac\{a\}\{b\}$.

$$\begin{gathered} 4<a<5; \frac{1}{10}<\frac{1}{b}<\frac{1}{9} \\ \frac{1}{10}<\frac{1}{b}<\frac{1}{9} \end{gathered}$$

------------

$\frac{4}{10}<\frac{a}{b}<\frac{5}{9};$

Даны неравенства: $4 < a < 5$ и $9 < b < 10$.

Сумма

Чтобы оценить сумму $a + b$, сложим почленно левые и правые части данных неравенств:

$ \begin{array}{c} + \\ \begin{array}{rcl} 4 & < & a & < & 5 \\ 9 & < & b & < & 10 \end{array} \\ \hline \begin{array}{rcl} 4+9 & < & a+b & < & 5+10 \end{array} \end{array} $

Выполнив сложение, получаем:
$13 < a + b < 15$

Ответ: $13 < a + b < 15$

Разность

Для оценки разности $a - b$ сначала преобразуем неравенство для $b$. Умножим все части неравенства $9 < b < 10$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 9 > -1 \cdot b > -1 \cdot 10$
$-9 > -b > -10$
или, в привычном виде:
$-10 < -b < -9$

Теперь сложим почленно неравенства для $a$ и $-b$:
$ \begin{array}{c} + \\ \begin{array}{rcl} 4 & < & a & < & 5 \\ -10 & < & -b & < & -9 \end{array} \\ \hline \begin{array}{rcl} 4-10 & < & a-b & < & 5-9 \end{array} \end{array} $

Выполнив вычитание, получаем:
$-6 < a - b < -4$

Ответ: $-6 < a - b < -4$

Произведение

Так как все части исходных неравенств положительны, мы можем их почленно перемножить:

$ \begin{array}{c} \times \\ \begin{array}{rcl} 4 & < & a & < & 5 \\ 9 & < & b & < & 10 \end{array} \\ \hline \begin{array}{rcl} 4 \cdot 9 & < & a \cdot b & < & 5 \cdot 10 \end{array} \end{array} $

Выполнив умножение, получаем:
$36 < ab < 50$

Ответ: $36 < ab < 50$

Частное

Для оценки частного $\frac{a}{b}$ представим его как произведение $a \cdot \frac{1}{b}$. Сначала оценим $\frac{1}{b}$. Так как $9 < b < 10$ и все части положительны, то:
$\frac{1}{10} < \frac{1}{b} < \frac{1}{9}$

Теперь почленно перемножим неравенства для $a$ и $\frac{1}{b}$ (все части положительны):
$ \begin{array}{c} \times \\ \begin{array}{rcl} 4 & < & a & < & 5 \\ \frac{1}{10} & < & \frac{1}{b} & < & \frac{1}{9} \end{array} \\ \hline \begin{array}{rcl} 4 \cdot \frac{1}{10} & < & a \cdot \frac{1}{b} & < & 5 \cdot \frac{1}{9} \end{array} \end{array} $

Выполнив умножение, получаем:
$\frac{4}{10} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$
Сократив дробь $\frac{4}{10}$, получаем окончательный результат:
$\frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$