Номер 901, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Пересечение и объединение множеств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 901, страница 201.

901. Пусть А — множество квадратов натуральных чисел, В — множество кубов натуральных чисел. Принадлежит ли:

а) пересечению множеств А и В число 1; 4; 64;

б) объединению множеств А и В число 16; 27; 64?

$$\begin{gathered} A=\{1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ B=\{1; 8; 27; 64; 125; 216,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \end{gathered}$$

a) $1\in A\cap B; 4\mathrm{\notin }A\cap B; 64\in A\cap B1\; \backslash in\; A\; \backslash cap\; B;\; 4\; \backslash notin\; A\; \backslash cap\; B;\; 64\; \backslash in\; A\; \backslash cap\; B$

б) $16\in A\cup B; 27\in A\cup B; 64\in A\cup B16\; \backslash in\; A\; \backslash cup\; B;\; 27\; \backslash in\; A\; \backslash cup\; B;\; 64\; \backslash in\; A\; \backslash cup\; B$

По условию задачи даны два множества:

$A$ — множество квадратов натуральных чисел: $A = \{n^2 | n \in \mathbb{N}\} = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...\}$.

$B$ — множество кубов натуральных чисел: $B = \{m^3 | m \in \mathbb{N}\} = \{1, 8, 27, 64, 125, ...\}$.

а) пересечению множеств A и B число 1; 4; 64;

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Чтобы число принадлежало пересечению, оно должно быть и квадратом, и кубом натурального числа.

Проверим число 1:
Число 1 является квадратом натурального числа: $1 = 1^2$, поэтому $1 \in A$.
Число 1 является кубом натурального числа: $1 = 1^3$, поэтому $1 \in B$.
Следовательно, число 1 принадлежит пересечению множеств $A$ и $B$.

Проверим число 4:
Число 4 является квадратом натурального числа: $4 = 2^2$, поэтому $4 \in A$.
Число 4 не является кубом натурального числа (так как $1^3 = 1$, а $2^3 = 8$), поэтому $4 \notin B$.
Следовательно, число 4 не принадлежит пересечению множеств $A$ и $B$.

Проверим число 64:
Число 64 является квадратом натурального числа: $64 = 8^2$, поэтому $64 \in A$.
Число 64 является кубом натурального числа: $64 = 4^3$, поэтому $64 \in B$.
Следовательно, число 64 принадлежит пересечению множеств $A$ и $B$.

Ответ: число 1 принадлежит, число 4 не принадлежит, число 64 принадлежит.

б) объединению множеств A и B число 16; 27; 64?

Объединение множеств $A \cup B$ содержит элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Чтобы число принадлежало объединению, оно должно быть или квадратом, или кубом натурального числа.

Проверим число 16:
Число 16 является квадратом натурального числа: $16 = 4^2$, поэтому $16 \in A$.
Так как число 16 принадлежит множеству $A$, оно принадлежит и объединению $A \cup B$.

Проверим число 27:
Число 27 не является квадратом натурального числа.
Число 27 является кубом натурального числа: $27 = 3^3$, поэтому $27 \in B$.
Так как число 27 принадлежит множеству $B$, оно принадлежит и объединению $A \cup B$.

Проверим число 64:
Число 64 является квадратом натурального числа: $64 = 8^2$, поэтому $64 \in A$.
Так как число 64 принадлежит множеству $A$ (а также и множеству $B$), оно принадлежит и объединению $A \cup B$.

Ответ: число 16 принадлежит, число 27 принадлежит, число 64 принадлежит.