Номер 908, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Пересечение и объединение множеств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 908, страница 202.

908. Доказать, что функция, заданная формулой является прямой пропорциональностью.

y = (x – 8)² – (x + 8)²

$$\begin{gathered} y={\left(x-8\right)}^2-{\left(x+8\right)}^2 \\ {\left(x-8\right)}^2-{\left(x+8\right)}^2=x^2-16x+64-\left(x^2+16x+64\right)= \\ =x^2-16x+64-x^2-16x-64=-32x \\ y=-32x \end{gathered}$$

Чтобы доказать, что функция, заданная формулой $y = (x - 8)^2 - (x + 8)^2$, является прямой пропорциональностью, необходимо показать, что ее можно привести к виду $y = kx$, где $k$ – некоторое число (коэффициент пропорциональности), не равное нулю.

Для этого преобразуем выражение в правой части уравнения. Мы можем использовать формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае примем $a = x - 8$ и $b = x + 8$. Подставим эти выражения в формулу:

$y = ((x - 8) - (x + 8))((x - 8) + (x + 8))$

Теперь раскроем скобки внутри каждого из множителей:

$y = (x - 8 - x - 8)(x - 8 + x + 8)$

Приведем подобные слагаемые в каждом из множителей:

$y = (-16)(2x)$

Выполним умножение:

$y = -32x$

В результате преобразований мы получили функцию $y = -32x$. Эта формула соответствует общему виду прямой пропорциональности $y = kx$, где коэффициент пропорциональности $k = -32$. Поскольку исходную функцию удалось привести к этому виду, мы доказали, что она является прямой пропорциональностью.

Ответ: После алгебраических преобразований исходная формула приводится к виду $y = -32x$, что является уравнением прямой пропорциональности с коэффициентом $k = -32$. Что и требовалось доказать.