Номер 909, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Пересечение и объединение множеств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 909, страница 203.

909. Решите уравнение

$$\begin{gathered} 1-\frac{1}{2-x}=\frac{6-x}{3x^2-12}-\frac{1}{x-2} \\ 1-\frac{1}{2-x}=\frac{6-x}{3\left(x^2-4\right)}-\frac{1}{x-2} \\ 1+\frac{1}{x-2}=\frac{6-x}{3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{1}{x-2}\mathrm{/}·3\left(x-2\right)\left(x+2\right) \\ 3\left(x-2\right)\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)=6-x-3\left(x+2\right) \\ 3\left(x^2-4\right)+3x+6=6-x-3x-6 \\ 3x^2-12+3x+6+4x=0 \\ 3x^2+7x-6=0 \\ D=7^2-4·3·\left(-6\right)=49+72=121 \\ x=\frac{-7\pm \sqrt{121}}{6}; x=\frac{-7\pm 11}{6} \\ {x}_1=\frac{2}{3}; x_2=-3 \\ \text{Если }x=\frac{2}{3}, \text{то }{x}^2-4={\left(\frac{2}{3}\right)}^2-4\ne 0, \\ \text{если }x=-3, \text{то }{x}^2-4={\left(-3\right)}^2-4\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: -3; $\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$

Исходное уравнение:

$$ 1 - \frac{1}{2-x} = \frac{6-x}{3x^2-12} - \frac{1}{x-2} $$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатели дробей в уравнении не должны быть равны нулю. Установим ограничения для $x$:

• $2-x \neq 0 \implies x \neq 2$
• $3x^2-12 \neq 0 \implies 3(x^2-4) \neq 0 \implies 3(x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$
• $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

Таким образом, область допустимых значений уравнения: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

2. Упростим и преобразуем уравнение.

Для удобства приведения к общему знаменателю преобразуем дробь $\frac{1}{2-x}$. Заметим, что $2-x = -(x-2)$, следовательно:

$$ \frac{1}{2-x} = \frac{1}{-(x-2)} = -\frac{1}{x-2} $$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$$ 1 - \left(-\frac{1}{x-2}\right) = \frac{6-x}{3x^2-12} - \frac{1}{x-2} $$

$$ 1 + \frac{1}{x-2} = \frac{6-x}{3x^2-12} - \frac{1}{x-2} $$

Теперь перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$$ 1 + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2-12} = 0 $$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$$ 1 + \frac{2}{x-2} - \frac{6-x}{3(x^2-4)} = 0 $$

3. Приведём уравнение к общему знаменателю.

Общий знаменатель для всех слагаемых — это $3(x^2-4)$, который можно разложить на множители как $3(x-2)(x+2)$. Приведём каждое слагаемое к этому знаменателю:

$$ \frac{3(x-2)(x+2)}{3(x-2)(x+2)} + \frac{2 \cdot 3(x+2)}{3(x-2)(x+2)} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0 $$

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, мы можем объединить их числители:

$$ \frac{3(x^2-4) + 6(x+2) - (6-x)}{3(x-2)(x+2)} = 0 $$

4. Решим полученное уравнение.

Рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ.

Приравняем числитель к нулю:

$$ 3(x^2-4) + 6(x+2) - (6-x) = 0 $$

Раскроем скобки:

$$ 3x^2 - 12 + 6x + 12 - 6 + x = 0 $$

Приведём подобные слагаемые:

$$ 3x^2 + (6x+x) + (-12+12-6) = 0 $$

$$ 3x^2 + 7x - 6 = 0 $$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$

$$ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3 $$

5. Проверим найденные корни.

Необходимо убедиться, что найденные корни принадлежат области допустимых значений ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

• Корень $x_1 = \frac{2}{3}$ не равен $2$ и $-2$, следовательно, он является решением уравнения.
• Корень $x_2 = -3$ не равен $2$ и $-2$, следовательно, он также является решением уравнения.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; \frac{2}{3}$.