Страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

909. Решите уравнение

$$\begin{gathered} 1-\frac{1}{2-x}=\frac{6-x}{3x^2-12}-\frac{1}{x-2} \\ 1-\frac{1}{2-x}=\frac{6-x}{3\left(x^2-4\right)}-\frac{1}{x-2} \\ 1+\frac{1}{x-2}=\frac{6-x}{3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{1}{x-2}\mathrm{/}·3\left(x-2\right)\left(x+2\right) \\ 3\left(x-2\right)\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)=6-x-3\left(x+2\right) \\ 3\left(x^2-4\right)+3x+6=6-x-3x-6 \\ 3x^2-12+3x+6+4x=0 \\ 3x^2+7x-6=0 \\ D=7^2-4·3·\left(-6\right)=49+72=121 \\ x=\frac{-7\pm \sqrt{121}}{6}; x=\frac{-7\pm 11}{6} \\ {x}_1=\frac{2}{3}; x_2=-3 \\ \text{Если }x=\frac{2}{3}, \text{то }{x}^2-4={\left(\frac{2}{3}\right)}^2-4\ne 0, \\ \text{если }x=-3, \text{то }{x}^2-4={\left(-3\right)}^2-4\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: -3; $\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$

Исходное уравнение:

$$ 1 - \frac{1}{2-x} = \frac{6-x}{3x^2-12} - \frac{1}{x-2} $$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатели дробей в уравнении не должны быть равны нулю. Установим ограничения для $x$:

• $2-x \neq 0 \implies x \neq 2$
• $3x^2-12 \neq 0 \implies 3(x^2-4) \neq 0 \implies 3(x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$
• $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

Таким образом, область допустимых значений уравнения: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

2. Упростим и преобразуем уравнение.

Для удобства приведения к общему знаменателю преобразуем дробь $\frac{1}{2-x}$. Заметим, что $2-x = -(x-2)$, следовательно:

$$ \frac{1}{2-x} = \frac{1}{-(x-2)} = -\frac{1}{x-2} $$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$$ 1 - \left(-\frac{1}{x-2}\right) = \frac{6-x}{3x^2-12} - \frac{1}{x-2} $$

$$ 1 + \frac{1}{x-2} = \frac{6-x}{3x^2-12} - \frac{1}{x-2} $$

Теперь перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$$ 1 + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2-12} = 0 $$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$$ 1 + \frac{2}{x-2} - \frac{6-x}{3(x^2-4)} = 0 $$

3. Приведём уравнение к общему знаменателю.

Общий знаменатель для всех слагаемых — это $3(x^2-4)$, который можно разложить на множители как $3(x-2)(x+2)$. Приведём каждое слагаемое к этому знаменателю:

$$ \frac{3(x-2)(x+2)}{3(x-2)(x+2)} + \frac{2 \cdot 3(x+2)}{3(x-2)(x+2)} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0 $$

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, мы можем объединить их числители:

$$ \frac{3(x^2-4) + 6(x+2) - (6-x)}{3(x-2)(x+2)} = 0 $$

4. Решим полученное уравнение.

Рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ.

Приравняем числитель к нулю:

$$ 3(x^2-4) + 6(x+2) - (6-x) = 0 $$

Раскроем скобки:

$$ 3x^2 - 12 + 6x + 12 - 6 + x = 0 $$

Приведём подобные слагаемые:

$$ 3x^2 + (6x+x) + (-12+12-6) = 0 $$

$$ 3x^2 + 7x - 6 = 0 $$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$

$$ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3 $$

5. Проверим найденные корни.

Необходимо убедиться, что найденные корни принадлежат области допустимых значений ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

• Корень $x_1 = \frac{2}{3}$ не равен $2$ и $-2$, следовательно, он является решением уравнения.
• Корень $x_2 = -3$ не равен $2$ и $-2$, следовательно, он также является решением уравнения.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; \frac{2}{3}$.

910. В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий удалось получить гречихи на 2 ц с гектара больше, чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи, а во втором — только 160 ц, хотя во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше. Какова была урожайность гречихи в каждом хозяйстве?

Пусть x ц/га урожайность гречихи во втором хозяйстве, тогда (2+2)ц/га - урожайность гречихи в первом хозяйстве.

Зная, что в первом хозяйстве собрали 180ц гречихи, а во втором - 160ц, найдем площадь участков. $\frac{180}{x+2}\backslash frac\{180\}\{x+2\}$ га - площадь участка в первом хозяйстве, $\frac{160}{x}\backslash frac\{160\}\{x\}$ га - площадь участка во втором хорастве. По условию площадь участка во втором хозяйстве на 1га больше. Составим и решим уравнения

$$\begin{gathered} \frac{160}{x}=\frac{180}{x+2}+1 /·x(x+2) \\ 160\left(x+2\right)=180x+x\left(x+2\right) \\ 160x+320=180x+x^2+2x \\ {x}^2+2x+180x-160x-320=0 \\ {x}^2+22x-320=0 \\ D={22}^2-4·1·\left(-320\right)=484+1280=1764 \\ x=\frac{-22\pm \sqrt{1764}}{2}; x=\frac{-22\pm 42}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-32$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

10+2=12 (ц/га) - урожайность в первом хозяйстве

Ответ: 12ц/га, 10ц/га

Для решения задачи введем переменную. Пусть урожайность гречихи во втором хозяйстве составляет $x$ центнеров с гектара (ц/га).

Из условия известно, что в первом хозяйстве урожайность была на 2 ц/га больше. Следовательно, урожайность в первом хозяйстве составляет $(x + 2)$ ц/га.

Общий сбор урожая связан с площадью и урожайностью формулой: $Сбор = Площадь \cdot Урожайность$. Отсюда можно выразить площадь: $Площадь = \frac{Сбор}{Урожайность}$.

В первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи. Площадь, отведенная под гречиху в первом хозяйстве, равна: $S_1 = \frac{180}{x+2}$ га.

Во втором хозяйстве собрали 160 ц гречихи. Площадь, отведенная под гречиху во втором хозяйстве, равна: $S_2 = \frac{160}{x}$ га.

По условию, во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше, чем в первом. Это означает, что разница между площадью второго и первого хозяйства составляет 1 га. Составим уравнение: $S_2 - S_1 = 1$

Подставим выражения для площадей $S_1$ и $S_2$ в это уравнение: $\frac{160}{x} - \frac{180}{x+2} = 1$

Теперь решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+2)$, предполагая, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Поскольку $x$ — это урожайность, она должна быть положительным числом ($x > 0$), так что эти условия выполняются. $160(x+2) - 180x = 1 \cdot x(x+2)$

Раскроем скобки: $160x + 320 - 180x = x^2 + 2x$

Приведем подобные слагаемые: $320 - 20x = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 2x + 20x - 320 = 0$ $x^2 + 22x - 320 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 484 + 1280 = 1764$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-22 + 42}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$ $x_2 = \frac{-22 - 42}{2 \cdot 1} = \frac{-64}{2} = -32$

Так как урожайность ($x$) не может быть отрицательной, корень $x_2 = -32$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Поэтому принимаем $x = 10$.

Итак, урожайность во втором хозяйстве составляет 10 ц/га.

Урожайность в первом хозяйстве на 2 ц/га больше: $10 + 2 = 12$ ц/га.

Ответ: урожайность гречихи в первом хозяйстве составила 12 ц/га, а во втором хозяйстве — 10 ц/га.