Страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

917. Какие из чисел –1,6; –1,5; –1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат промежутку:

a) -1,5∈[-1,5; 6,5]

-1∈[-1,5; 6,5]

0∈[-1,5; 6,5]

3∈[-1,5; 6,5]

5,1∈[-1,5; 6,5]

6,5∈[-1,5; 6,5]

б) 5,1∈(3;+∞)

6,5∈(3;+∞)

в) -1,6∈(-∞;-1]

-1,5∈(-∞; -1]

-1∈(-∞;-1]

а) Промежуток $[-1,5; 6,5]$ — это числовой отрезок. Число принадлежит этому промежутку, если оно больше или равно $-1,5$ и одновременно меньше или равно $6,5$. Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $-1,5 \le x \le 6,5$. Квадратные скобки указывают на то, что концы промежутка, числа $-1,5$ и $6,5$, также включены в него.
Проверим каждое из предложенных чисел:

• $-1,6$: не принадлежит, так как $-1,6 < -1,5$.
• $-1,5$: принадлежит, так как $-1,5 = -1,5$.
• $-1$: принадлежит, так как $-1,5 < -1 < 6,5$.
• $0$: принадлежит, так как $-1,5 < 0 < 6,5$.
• $3$: принадлежит, так как $-1,5 < 3 < 6,5$.
• $5,1$: принадлежит, так как $-1,5 < 5,1 < 6,5$.
• $6,5$: принадлежит, так как $6,5 = 6,5$.

Следовательно, промежутку принадлежат числа: $-1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5$.
Ответ: $-1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5$.

б) Промежуток $(3; +\infty)$ — это открытый числовой луч. Число принадлежит этому промежутку, если оно строго больше $3$. Это условие можно записать в виде неравенства: $x > 3$. Круглая скобка у числа $3$ означает, что само число $3$ не входит в данный промежуток.
Проверим каждое из предложенных чисел:

• $-1,6$: не принадлежит, так как $-1,6 < 3$.
• $-1,5$: не принадлежит, так как $-1,5 < 3$.
• $-1$: не принадлежит, так как $-1 < 3$.
• $0$: не принадлежит, так как $0 < 3$.
• $3$: не принадлежит, так как неравенство строгое ($3$ не больше $3$).
• $5,1$: принадлежит, так как $5,1 > 3$.
• $6,5$: принадлежит, так как $6,5 > 3$.

Следовательно, промежутку принадлежат числа: $5,1; 6,5$.
Ответ: $5,1; 6,5$.

в) Промежуток $(-\infty; -1]$ — это числовой луч. Число принадлежит этому промежутку, если оно меньше или равно $-1$. Это условие можно записать в виде неравенства: $x \le -1$. Квадратная скобка у числа $-1$ означает, что само число $-1$ входит в данный промежуток.
Проверим каждое из предложенных чисел:

• $-1,6$: принадлежит, так как $-1,6 < -1$.
• $-1,5$: принадлежит, так как $-1,5 < -1$.
• $-1$: принадлежит, так как $-1 = -1$.
• $0$: не принадлежит, так как $0 > -1$.
• $3$: не принадлежит, так как $3 > -1$.
• $5,1$: не принадлежит, так как $5,1 > -1$.
• $6,5$: не принадлежит, так как $6,5 > -1$.

Следовательно, промежутку принадлежат числа: $-1,6; -1,5; -1$.
Ответ: $-1,6; -1,5; -1$.

918. Принадлежит ли интервалу (1,5; 2,4) число:

(1,5; 2,4)

a) , т.к. 1,2<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$<1,5

б)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}2<\sqrt{5}<3 \\ 2,1^2=4,41<5 \\ 2,2^2=4,84<5 \\ 2,3^2=5,89>5 \\ 2,2<\sqrt{5}<2,3 \\ \sqrt{5}\in \left(1,5; 2,4\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}2<\sqrt{6}<3 \\ 2,4^2=5,76<6 \\ 2,5^2=6,25>6 \\ 2,4<\sqrt{6}<2,5 \\ \sqrt{6}\notin \left(1,5; 2,4\right) \end{gathered}$$

Для того чтобы определить, принадлежит ли число интервалу $(1,5; 2,4)$, нужно проверить, выполняется ли для этого числа $x$ двойное неравенство $1,5 < x < 2,4$. Поскольку все числа в задании и границы интервала являются положительными, мы можем возвести все части неравенства в квадрат. Это позволит нам сравнить подкоренные выражения с квадратами границ интервала, при этом знаки неравенства не изменятся.

Вычислим квадраты границ интервала: $1,5^2 = 2,25$ и $2,4^2 = 5,76$.
Таким образом, для того чтобы число $\sqrt{a}$ принадлежало интервалу $(1,5; 2,4)$, его подкоренное выражение $a$ должно удовлетворять неравенству $2,25 < a < 5,76$.

а) Для числа $\sqrt{2}$ проверяем, выполняется ли неравенство $2,25 < 2 < 5,76$.
Неравенство $2,25 < 2$ является ложным. Следовательно, число $\sqrt{2}$ не принадлежит заданному интервалу.
Ответ: не принадлежит.

б) Для числа $\sqrt{3}$ проверяем, выполняется ли неравенство $2,25 < 3 < 5,76$.
Оба неравенства, $2,25 < 3$ и $3 < 5,76$, являются верными. Следовательно, число $\sqrt{3}$ принадлежит заданному интервалу.
Ответ: принадлежит.

в) Для числа $\sqrt{5}$ проверяем, выполняется ли неравенство $2,25 < 5 < 5,76$.
Оба неравенства, $2,25 < 5$ и $5 < 5,76$, являются верными. Следовательно, число $\sqrt{5}$ принадлежит заданному интервалу.
Ответ: принадлежит.

г) Для числа $\sqrt{6}$ проверяем, выполняется ли неравенство $2,25 < 6 < 5,76$.
Неравенство $6 < 5,76$ является ложным. Следовательно, число $\sqrt{6}$ не принадлежит заданному интервалу.
Ответ: не принадлежит.

919. Укажите все дроби вида $\frac{a}{54}$, где a ∈ N, принадлежащие промежутку

$$\begin{gathered} \frac{a}{54}\in \left[\frac{1}{9},\frac{1}{6}\right], a\in N \\ \frac{a}{54}\in \left[\frac{6}{54},\frac{9}{54}\right] \\ a=6; a=7; a=8; a=9 \\ \frac{6}{54},\frac{7}{54},\frac{8}{54},\frac{9}{54} \end{gathered}$$

Для того чтобы найти все дроби вида $\frac{a}{54}$, принадлежащие промежутку $[\frac{1}{9}; \frac{1}{6}]$, необходимо решить двойное неравенство, где $a$ — натуральное число ($a \in N$):

$\frac{1}{9} \le \frac{a}{54} \le \frac{1}{6}$

Чтобы решить это неравенство, приведем все дроби к общему знаменателю 54.

1. Преобразуем левую часть неравенства, дробь $\frac{1}{9}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на 6:

$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 6}{9 \cdot 6} = \frac{6}{54}$

2. Преобразуем правую часть неравенства, дробь $\frac{1}{6}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на 9:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 9}{6 \cdot 9} = \frac{9}{54}$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$\frac{6}{54} \le \frac{a}{54} \le \frac{9}{54}$

Так как знаменатели всех дробей в неравенстве равны, мы можем перейти к неравенству для числителей:

$6 \le a \le 9$

По условию $a$ — это натуральное число. В промежуток от 6 до 9 включительно входят следующие натуральные числа: 6, 7, 8, 9.

Следовательно, искомые дроби получаются подстановкой этих значений $a$ в выражение $\frac{a}{54}$:

$\frac{6}{54}, \frac{7}{54}, \frac{8}{54}, \frac{9}{54}$

Ответ: $\frac{6}{54}, \frac{7}{54}, \frac{8}{54}, \frac{9}{54}$.

920. Какие целые числа принадлежат промежутку:

а) (–4; 3);

б) [–3; 5]?

a) (-4;3)

-3; -2; -1; 0; 1; 2

б) (-3;5]

-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5

а) Промежуток $(-4; 3)$ — это открытый интервал. Он включает в себя все числа, которые строго больше $-4$ и строго меньше $3$. Круглые скобки означают, что концы интервала, числа $-4$ и $3$, не принадлежат этому промежутку. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-4 < x < 3$.

Нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Перечислим их, двигаясь от $-4$ к $3$:

Первое целое число, которое больше $-4$, это $-3$. Далее идут $-2$, $-1$, $0$, $1$. Следующее целое число — $2$. Число $3$ уже не входит в промежуток.

Таким образом, целые числа, принадлежащие промежутку $(-4; 3)$, это: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

б) Промежуток $[-3; 5]$ — это отрезок. Он включает в себя все числа, которые больше или равны $-3$ и меньше или равны $5$. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, числа $-3$ и $5$, принадлежат этому промежутку. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3 \le x \le 5$.

Нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Перечислим их, двигаясь от $-3$ к $5$ включительно:

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Таким образом, все указанные целые числа принадлежат отрезку $[-3; 5]$.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

921. Какие целые числа принадлежат промежутку:

а) [0; 8];

б) (–3; 3);

в) (–5; 2);

г) (–4; 9]?

a) [0:8]

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

б) (-3;3)

-2; -1; 0; 1; 2

в) (-5;2)

-4; -3; -2; -1; 0; 1

г) (-4;9]

-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

Чтобы найти все целые числа, принадлежащие заданному промежутку, необходимо внимательно посмотреть на его границы и тип скобок.

• Квадратные скобки $[a; b]$ означают, что концы промежутка (числа $a$ и $b$) включаются в него. Это соответствует нестрогому неравенству $a \le x \le b$. Такой промежуток называется отрезком.
• Круглые скобки $(a; b)$ означают, что концы промежутка (числа $a$ и $b$) не включаются в него. Это соответствует строгому неравенству $a < x < b$. Такой промежуток называется интервалом.
• Комбинация скобок, например, $(a; b]$ или $[a; b)$, означает, что один конец включается, а другой — нет. Это соответствует неравенствам $a < x \le b$ и $a \le x < b$ соответственно. Такие промежутки называются полуинтервалами.

а) Промежуток $[0; 8]$ является отрезком, так как скобки квадратные. Это значит, что концы промежутка, числа 0 и 8, принадлежат ему. Мы ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $0 \le x \le 8$. Перечислим их: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

б) Промежуток $(-3; 3)$ является интервалом, так как скобки круглые. Это значит, что концы промежутка, числа -3 и 3, не принадлежат ему. Мы ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $-3 < x < 3$. Перечислим их, двигаясь от -3 к 3: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

в) Промежуток $(-5; 2)$ является интервалом, так как скобки круглые. Это значит, что концы промежутка, числа -5 и 2, не принадлежат ему. Мы ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $-5 < x < 2$. Перечислим их: -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1.

г) Промежуток $(-4; 9]$ является полуинтервалом. Круглая скобка означает, что левый конец, число -4, не принадлежит промежутку, а квадратная скобка означает, что правый конец, число 9, принадлежит ему. Мы ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $-4 < x \le 9$. Перечислим их: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

922. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:

a) -9∈[-12; -9];

б) 16∈[-1; 17)

в) 31∈(-∞; 31]

г) 7∈(-∞; 8)

а) Дан промежуток $[-12; -9]$. Это замкнутый отрезок, что означает, что оба конца промежутка, -12 и -9, включены. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-12 \le x \le -9$. Целые числа, которые принадлежат этому отрезку, — это -12, -11, -10, -9. Самое большое (наибольшее) из этих чисел — то, которое расположено правее на числовой оси. В данном случае это -9.
Ответ: -9

б) Дан промежуток $[-1; 17)$. Это полуинтервал. Квадратная скобка у числа -1 означает, что оно включено в промежуток, а круглая скобка у числа 17 означает, что оно не включено. Неравенство для этого промежутка: $-1 \le x < 17$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, начинаются с -1 и заканчиваются последним целым числом, которое строго меньше 17. Это числа -1, 0, 1, 2, ..., 15, 16. Наибольшим из них является 16.
Ответ: 16

в) Дан промежуток $(-\infty; 31]$. Это числовой луч, который включает все числа, меньшие или равные 31. Неравенство для этого промежутка: $x \le 31$. Квадратная скобка означает, что число 31 включено в промежуток. Таким образом, мы ищем наибольшее целое число, которое не превышает 31. Этим числом является само число 31.
Ответ: 31

г) Дан промежуток $(-\infty; 8)$. Это открытый числовой луч, включающий все числа, которые строго меньше 8. Неравенство для этого промежутка: $x < 8$. Круглая скобка означает, что число 8 не входит в промежуток. Мы ищем наибольшее целое число, которое строго меньше 8. Следующее целое число, меньшее 8, — это 7.
Ответ: 7

923. Принадлежит ли промежутку (–∞; 2) число 1,98? Укажите два числа, большие 1,98, принадлежащие этому промежутку. Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в этом промежутке наименьшее число?

1,98∈(-∞;2)

1,99∈(-∞;2)

1,999∈(-∞;2)

Наибольшего числа найти нельзя (можно найти только наибольшее целое число). Наименьшего числа не существует

Принадлежит ли промежутку $(-\infty; 2)$ число 1,98?
Промежуток $(-\infty; 2)$ — это множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $x < 2$. Чтобы проверить, принадлежит ли число 1,98 этому промежутку, необходимо подставить его в это неравенство.
Проверяем: $1,98 < 2$. Это неравенство является верным.
Следовательно, число 1,98 принадлежит данному промежутку.
Ответ: да, принадлежит.

Укажите два числа, большие 1,98, принадлежащие этому промежутку.
Нужно найти два числа, которые одновременно больше 1,98 и меньше 2. То есть, они должны удовлетворять двойному неравенству $1,98 < x < 2$.
Таких чисел существует бесконечно много. В качестве примера можно взять:
1. Число 1,99. Оно удовлетворяет условию, так как $1,98 < 1,99$ и $1,99 < 2$.
2. Число 1,999. Оно также удовлетворяет условию, так как $1,98 < 1,999$ и $1,999 < 2$.
Ответ: 1,99 и 1,999.

Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку?
Промежуток $(-\infty; 2)$ является открытым. Это значит, что его правая граница, число 2, не включается в сам промежуток. Какое бы число $M$, близкое к 2, мы ни взяли (например, 1,99999), всегда можно найти другое число, которое будет еще ближе к 2 (например, 1,999999).
Формально: предположим, что существует наибольшее число $M$ в промежутке $(-\infty; 2)$. Тогда $M < 2$. Но всегда можно найти число $N = \frac{M + 2}{2}$, которое будет удовлетворять неравенству $M < N < 2$. Таким образом, мы нашли число $N$, которое больше $M$ и также принадлежит этому промежутку. Это противоречит предположению, что $M$ — наибольшее число.
Следовательно, наибольшего числа в этом промежутке не существует.
Ответ: нет, нельзя.

Существует ли в этом промежутке наименьшее число?
Промежуток $(-\infty; 2)$ не ограничен снизу. Символ $-\infty$ (минус бесконечность) означает, что промежуток уходит влево по числовой оси безгранично.
Для любого числа $K$ из этого промежутка, каким бы маленьким (отрицательным и большим по модулю) оно ни было, всегда можно найти число, которое еще меньше, например, $K - 1$. Так как $K-1 < K$, то оно тем более будет меньше 2 и, следовательно, тоже будет принадлежать данному промежутку.
Поэтому наименьшего числа в этом промежутке не существует.
Ответ: нет, не существует.

924. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

a)

(1;8) ∩ (5;10)=(5;8)

б)

[-4;4] ∩ [-6; 6]=[-4;4]

в)

(5;+∞) ∩ (7;+∞)=(7;+∞)

г)

(-∞;10) ∩ (-∞;6)=(-∞;6)

а) Чтобы найти пересечение промежутков $(1; 8)$ и $(5; 10)$, изобразим их на координатной прямой. Первый промежуток $(1; 8)$ — это все числа между 1 и 8, не включая концы. Второй промежуток $(5; 10)$ — это все числа между 5 и 10, не включая концы. Нанесем оба промежутка на одну прямую. Область, где штриховка обоих промежутков совпадает, и будет их пересечением. Эта область начинается от 5 (не включая) и заканчивается у 8 (не включая). Таким образом, пересечением является интервал $(5; 8)$.
Математическая запись: $(1; 8) \cap (5; 10) = (5; 8)$.
Ответ: $(5; 8)$

б) Чтобы найти пересечение промежутков $[-4; 4]$ и $[-6; 6]$, нанесем их на координатную прямую. Первый промежуток $[-4; 4]$ — это отрезок, включающий числа от -4 до 4, включая концы. Второй промежуток $[-6; 6]$ — это отрезок, включающий числа от -6 до 6, включая концы. Изобразив их на прямой, мы видим, что отрезок $[-4; 4]$ полностью находится внутри отрезка $[-6; 6]$. Следовательно, их общая часть (пересечение) совпадает с меньшим из отрезков.
Математическая запись: $[-4; 4] \cap [-6; 6] = [-4; 4]$.
Ответ: $[-4; 4]$

в) Чтобы найти пересечение промежутков $(5; +\infty)$ и $(7; +\infty)$, нанесем их на координатную прямую. Промежуток $(5; +\infty)$ представляет собой числовой луч, состоящий из всех чисел, больших 5. Промежуток $(7; +\infty)$ — это числовой луч из всех чисел, больших 7. Пересечением будет та часть прямой, которая принадлежит обоим лучам. Чтобы число было в пересечении, оно должно быть одновременно больше 5 и больше 7. Более сильное условие — быть больше 7. Значит, пересечение — это все числа, большие 7.
Математическая запись: $(5; +\infty) \cap (7; +\infty) = (7; +\infty)$.
Ответ: $(7; +\infty)$

г) Чтобы найти пересечение промежутков $(-\infty; 10)$ и $(-\infty; 6)$, нанесем их на координатную прямую. Промежуток $(-\infty; 10)$ — это числовой луч, состоящий из всех чисел, меньших 10. Промежуток $(-\infty; 6)$ — это числовой луч из всех чисел, меньших 6. Пересечением будет та часть прямой, которая принадлежит обоим лучам. Чтобы число было в пересечении, оно должно быть одновременно меньше 10 и меньше 6. Более сильное условие — быть меньше 6. Значит, пересечение — это все числа, меньшие 6.
Математическая запись: $(-\infty; 10) \cap (-\infty; 6) = (-\infty; 6)$.
Ответ: $(-\infty; 6)$

925. Сколько целых чисел принадлежит пересечению интервалов (–3,9; 2) и (–4,3; 1)? Выберите верный ответ:

1. Три 2. Четыре 3. Пять 4. Шесть

(-3,9; 2) ∩ (-4,3; 1)=(-3,9; 1)

-3; -2; -1; 0 ∈ (-3,9; 1)

Ответ: 2. Четыре

Чтобы найти количество целых чисел, принадлежащих пересечению двух интервалов, необходимо сначала найти само пересечение этих интервалов.

Даны два интервала: $(-3,9; 2)$ и $(-4,3; 1)$.

Пересечение двух интервалов $(a; b)$ и $(c; d)$ — это новый интервал, левая граница которого равна наибольшей из левых границ исходных интервалов, а правая граница — наименьшей из правых.

Найдем левую границу пересечения: $\max(-3,9; -4,3) = -3,9$.

Найдем правую границу пересечения: $\min(2; 1) = 1$.

Таким образом, пересечением данных интервалов является интервал $(-3,9; 1)$.

Теперь нужно определить, какие целые числа находятся внутри этого интервала. Мы ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $-3,9 < x < 1$.

Выпишем эти целые числа:

• -3
• -2
• -1
• 0

Число 1 не включается в интервал, так как неравенство строгое (скобка круглая).

Всего в пересечении находится 4 целых числа.

Среди предложенных вариантов ответа это соответствует номеру 2.

Ответ: 2. Четыре

926. Покажите дугой на координатной прямой объединение промежутков:

a)

[-7;0] U [-3;5]=[-7;5]

б)

(-4;1) U (10;12)

в)

(-∞; 4) U (10;+∞)

г)

[3;+∞) U (8;+∞)=[3;+∞)

а) Требуется найти объединение промежутков $ [-7; 0] $ и $ [-3; 5] $. Объединение двух множеств включает все элементы, принадлежащие хотя бы одному из них. Промежуток $ [-7; 0] $ включает все числа от $-7$ до $0$ включительно. Промежуток $ [-3; 5] $ включает все числа от $-3$ до $5$ включительно. На координатной прямой эти промежутки пересекаются. Объединение будет начинаться с наименьшего значения ($-7$) и заканчиваться наибольшим ($5$), образуя сплошной промежуток. На координатной прямой это изображается дугой над отрезком с концами в точках $-7$ и $5$, которые включаются в промежуток (закрашенные точки).
Результат объединения: $ [-7; 0] \cup [-3; 5] = [-7; 5] $.
Ответ: $ [-7; 5] $

б) Требуется найти объединение промежутков $ (-4; 1) $ и $ (10; 12) $. Первый промежуток $ (-4; 1) $ — это все числа между $-4$ и $1$, не включая концы. Второй промежуток $ (10; 12) $ — это все числа между $10$ и $12$, не включая концы. Эти два промежутка не имеют общих точек (не пересекаются), между ними есть разрыв. Поэтому их объединение нельзя представить в виде одного сплошного промежутка. Оно так и записывается в виде объединения двух интервалов. На координатной прямой это изображается двумя отдельными дугами: одна над интервалом от $-4$ до $1$ (с выколотыми точками на концах), вторая — над интервалом от $10$ до $12$ (также с выколотыми точками).
Ответ: $ (-4; 1) \cup (10; 12) $

в) Требуется найти объединение промежутков $ (-\infty; 4) $ и $ (10; +\infty) $. Первый промежуток $ (-\infty; 4) $ — это все числа, меньшие $4$. Второй промежуток $ (10; +\infty) $ — это все числа, большие $10$. Эти промежутки не пересекаются, между ними лежат числа от $4$ до $10$. Их объединение представляет собой совокупность всех чисел, которые либо меньше $4$, либо больше $10$. На координатной прямой это изображается двумя дугами: одна начинается от выколотой точки $4$ и идет влево к $-\infty$, а вторая начинается от выколотой точки $10$ и идет вправо к $+\infty$.
Ответ: $ (-\infty; 4) \cup (10; +\infty) $

г) Требуется найти объединение промежутков $ [3; +\infty) $ и $ (8; +\infty) $. Первый промежуток $ [3; +\infty) $ — это все числа, большие или равные $3$. Второй промежуток $ (8; +\infty) $ — это все числа, строго большие $8$. Любое число, которое больше $8$, также является большим или равным $3$. Это значит, что второй промежуток полностью содержится в первом: $ (8; +\infty) \subset [3; +\infty) $. Объединение двух множеств, одно из которых является подмножеством другого, равно большему множеству (надмножеству). На координатной прямой это изображается одной дугой, начинающейся от закрашенной точки $3$ и уходящей вправо к $+\infty$.
Результат объединения: $ [3; +\infty) \cup (8; +\infty) = [3; +\infty) $.
Ответ: $ [3; +\infty) $

927. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:

a)

(-3;+∞)∩(4;+∞)=(4;+∞)

(-3;+∞) ∪ (4;+∞)=(-3;+∞)

б)

(-∞;2) ∩ [0;+∞)=[0;2)

(-∞;2) ∪ [0;+∞)=(-∞,+∞)

в)

(-∞; 6) ∪ (-∞; 9)=(-∞; 9)

(-∞; 6) ∩ (-∞; 9)=(-∞; 6)

г)

[1:5] ∩ [0;8]=[1;5]

[1;5 ∪ [0;8]=[0;8]

Рассмотрим промежутки $(-3; +\infty)$ и $(4; +\infty)$. Изобразим их на координатной прямой. Первый промежуток — это все числа, строго большие -3, а второй — все числа, строго большие 4. Точки -3 и 4 отмечаются выколотыми (пустыми кружками), так как они не принадлежат данным интервалам.

Пересечением ($\cap$) этих промежутков является их общая часть. На прямой это область, где штриховки обоих промежутков совпадают, то есть все числа, которые больше 4. Таким образом, пересечение равно $(4; +\infty)$.

Объединением ($\cup$) является вся область, заштрихованная хотя бы для одного из промежутков. Это множество всех чисел, которые больше -3. Таким образом, объединение равно $(-3; +\infty)$.

Ответ: пересечение: $(-3; +\infty) \cap (4; +\infty) = (4; +\infty)$; объединение: $(-3; +\infty) \cup (4; +\infty) = (-3; +\infty)$.

Рассмотрим промежутки $(-\infty; 2)$ и $[0; +\infty)$. Изобразим их на координатной прямой. Первый промежуток — это все числа, строго меньшие 2. Второй — все числа, большие или равные 0. Точка 2 отмечается выколотой, а точка 0 — закрашенной (сплошной), так как она принадлежит промежутку.

Пересечением ($\cap$) является общая часть промежутков. На прямой штриховки пересекаются на отрезке от 0 (включительно) до 2 (не включительно). Таким образом, пересечение равно $[0; 2)$.

Объединением ($\cup$) является вся заштрихованная область. Первый промежуток покрывает все числа левее 2, а второй — все числа правее 0. Вместе они покрывают всю числовую прямую. Таким образом, объединение равно $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: пересечение: $(-\infty; 2) \cap [0; +\infty) = [0; 2)$; объединение: $(-\infty; 2) \cup [0; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Рассмотрим промежутки $(-\infty; 6)$ и $(-\infty; 9)$. Изобразим их на координатной прямой. Это лучи, идущие влево от точек 6 и 9. Точки 6 и 9 отмечаются выколотыми, так как они не входят в интервалы.

Пересечением ($\cap$) является их общая часть. Поскольку любое число, меньшее 6, также является и меньшим 9, то промежуток $(-\infty; 6)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; 9)$. Их пересечением будет меньший из промежутков, то есть $(-\infty; 6)$.

Объединением ($\cup$) является вся заштрихованная область. Так как один промежуток содержится в другом, их объединением будет больший из промежутков, то есть $(-\infty; 9)$.

Ответ: пересечение: $(-\infty; 6) \cap (-\infty; 9) = (-\infty; 6)$; объединение: $(-\infty; 6) \cup (-\infty; 9) = (-\infty; 9)$.

Рассмотрим промежутки $[1; 5]$ и $[0; 8]$. Изобразим их на координатной прямой. Это отрезки, поэтому их концы — точки 1, 5, 0 и 8 — отмечаются закрашенными (сплошными), так как они принадлежат промежуткам.

Пересечением ($\cap$) является их общая часть. На прямой штриховки пересекаются на отрезке от 1 до 5. Таким образом, пересечение равно $[1; 5]$.

Объединением ($\cup$) является вся заштрихованная область. Она начинается с наименьшей границы (0) и заканчивается наибольшей (8). Таким образом, объединение равно $[0; 8]$.

Ответ: пересечение: $[1; 5] \cap [0; 8] = [1; 5]$; объединение: $[1; 5] \cup [0; 8] = [0; 8]$.