Номер 918, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Числовые промежутки. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 918, страница 206.

918. Принадлежит ли интервалу (1,5; 2,4) число:

(1,5; 2,4)

a) , т.к. 1,2<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$<1,5

б)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}2<\sqrt{5}<3 \\ 2,1^2=4,41<5 \\ 2,2^2=4,84<5 \\ 2,3^2=5,89>5 \\ 2,2<\sqrt{5}<2,3 \\ \sqrt{5}\in \left(1,5; 2,4\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}2<\sqrt{6}<3 \\ 2,4^2=5,76<6 \\ 2,5^2=6,25>6 \\ 2,4<\sqrt{6}<2,5 \\ \sqrt{6}\notin \left(1,5; 2,4\right) \end{gathered}$$

Для того чтобы определить, принадлежит ли число интервалу $(1,5; 2,4)$, нужно проверить, выполняется ли для этого числа $x$ двойное неравенство $1,5 < x < 2,4$. Поскольку все числа в задании и границы интервала являются положительными, мы можем возвести все части неравенства в квадрат. Это позволит нам сравнить подкоренные выражения с квадратами границ интервала, при этом знаки неравенства не изменятся.

Вычислим квадраты границ интервала: $1,5^2 = 2,25$ и $2,4^2 = 5,76$.
Таким образом, для того чтобы число $\sqrt{a}$ принадлежало интервалу $(1,5; 2,4)$, его подкоренное выражение $a$ должно удовлетворять неравенству $2,25 < a < 5,76$.

а) Для числа $\sqrt{2}$ проверяем, выполняется ли неравенство $2,25 < 2 < 5,76$.
Неравенство $2,25 < 2$ является ложным. Следовательно, число $\sqrt{2}$ не принадлежит заданному интервалу.
Ответ: не принадлежит.

б) Для числа $\sqrt{3}$ проверяем, выполняется ли неравенство $2,25 < 3 < 5,76$.
Оба неравенства, $2,25 < 3$ и $3 < 5,76$, являются верными. Следовательно, число $\sqrt{3}$ принадлежит заданному интервалу.
Ответ: принадлежит.

в) Для числа $\sqrt{5}$ проверяем, выполняется ли неравенство $2,25 < 5 < 5,76$.
Оба неравенства, $2,25 < 5$ и $5 < 5,76$, являются верными. Следовательно, число $\sqrt{5}$ принадлежит заданному интервалу.
Ответ: принадлежит.

г) Для числа $\sqrt{6}$ проверяем, выполняется ли неравенство $2,25 < 6 < 5,76$.
Неравенство $6 < 5,76$ является ложным. Следовательно, число $\sqrt{6}$ не принадлежит заданному интервалу.
Ответ: не принадлежит.