Номер 927, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Числовые промежутки. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 927, страница 206.

927. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:

a)

(-3;+∞)∩(4;+∞)=(4;+∞)

(-3;+∞) ∪ (4;+∞)=(-3;+∞)

б)

(-∞;2) ∩ [0;+∞)=[0;2)

(-∞;2) ∪ [0;+∞)=(-∞,+∞)

в)

(-∞; 6) ∪ (-∞; 9)=(-∞; 9)

(-∞; 6) ∩ (-∞; 9)=(-∞; 6)

г)

[1:5] ∩ [0;8]=[1;5]

[1;5 ∪ [0;8]=[0;8]

а)

Рассмотрим промежутки $(-3; +\infty)$ и $(4; +\infty)$. Изобразим их на координатной прямой. Первый промежуток — это все числа, строго большие -3, а второй — все числа, строго большие 4. Точки -3 и 4 отмечаются выколотыми (пустыми кружками), так как они не принадлежат данным интервалам.

Пересечением ($\cap$) этих промежутков является их общая часть. На прямой это область, где штриховки обоих промежутков совпадают, то есть все числа, которые больше 4. Таким образом, пересечение равно $(4; +\infty)$.

Объединением ($\cup$) является вся область, заштрихованная хотя бы для одного из промежутков. Это множество всех чисел, которые больше -3. Таким образом, объединение равно $(-3; +\infty)$.

Ответ: пересечение: $(-3; +\infty) \cap (4; +\infty) = (4; +\infty)$; объединение: $(-3; +\infty) \cup (4; +\infty) = (-3; +\infty)$.

б)

Рассмотрим промежутки $(-\infty; 2)$ и $[0; +\infty)$. Изобразим их на координатной прямой. Первый промежуток — это все числа, строго меньшие 2. Второй — все числа, большие или равные 0. Точка 2 отмечается выколотой, а точка 0 — закрашенной (сплошной), так как она принадлежит промежутку.

Пересечением ($\cap$) является общая часть промежутков. На прямой штриховки пересекаются на отрезке от 0 (включительно) до 2 (не включительно). Таким образом, пересечение равно $[0; 2)$.

Объединением ($\cup$) является вся заштрихованная область. Первый промежуток покрывает все числа левее 2, а второй — все числа правее 0. Вместе они покрывают всю числовую прямую. Таким образом, объединение равно $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: пересечение: $(-\infty; 2) \cap [0; +\infty) = [0; 2)$; объединение: $(-\infty; 2) \cup [0; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

в)

Рассмотрим промежутки $(-\infty; 6)$ и $(-\infty; 9)$. Изобразим их на координатной прямой. Это лучи, идущие влево от точек 6 и 9. Точки 6 и 9 отмечаются выколотыми, так как они не входят в интервалы.

Пересечением ($\cap$) является их общая часть. Поскольку любое число, меньшее 6, также является и меньшим 9, то промежуток $(-\infty; 6)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; 9)$. Их пересечением будет меньший из промежутков, то есть $(-\infty; 6)$.

Объединением ($\cup$) является вся заштрихованная область. Так как один промежуток содержится в другом, их объединением будет больший из промежутков, то есть $(-\infty; 9)$.

Ответ: пересечение: $(-\infty; 6) \cap (-\infty; 9) = (-\infty; 6)$; объединение: $(-\infty; 6) \cup (-\infty; 9) = (-\infty; 9)$.

г)

Рассмотрим промежутки $[1; 5]$ и $[0; 8]$. Изобразим их на координатной прямой. Это отрезки, поэтому их концы — точки 1, 5, 0 и 8 — отмечаются закрашенными (сплошными), так как они принадлежат промежуткам.

Пересечением ($\cap$) является их общая часть. На прямой штриховки пересекаются на отрезке от 1 до 5. Таким образом, пересечение равно $[1; 5]$.

Объединением ($\cup$) является вся заштрихованная область. Она начинается с наименьшей границы (0) и заканчивается наибольшей (8). Таким образом, объединение равно $[0; 8]$.

Ответ: пересечение: $[1; 5] \cap [0; 8] = [1; 5]$; объединение: $[1; 5] \cup [0; 8] = [0; 8]$.