Номер 926, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Числовые промежутки. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 926, страница 206.

926. Покажите дугой на координатной прямой объединение промежутков:

a)

[-7;0] U [-3;5]=[-7;5]

б)

(-4;1) U (10;12)

в)

(-∞; 4) U (10;+∞)

г)

[3;+∞) U (8;+∞)=[3;+∞)

а) Требуется найти объединение промежутков $ [-7; 0] $ и $ [-3; 5] $. Объединение двух множеств включает все элементы, принадлежащие хотя бы одному из них. Промежуток $ [-7; 0] $ включает все числа от $-7$ до $0$ включительно. Промежуток $ [-3; 5] $ включает все числа от $-3$ до $5$ включительно. На координатной прямой эти промежутки пересекаются. Объединение будет начинаться с наименьшего значения ($-7$) и заканчиваться наибольшим ($5$), образуя сплошной промежуток. На координатной прямой это изображается дугой над отрезком с концами в точках $-7$ и $5$, которые включаются в промежуток (закрашенные точки).
Результат объединения: $ [-7; 0] \cup [-3; 5] = [-7; 5] $.
Ответ: $ [-7; 5] $

б) Требуется найти объединение промежутков $ (-4; 1) $ и $ (10; 12) $. Первый промежуток $ (-4; 1) $ — это все числа между $-4$ и $1$, не включая концы. Второй промежуток $ (10; 12) $ — это все числа между $10$ и $12$, не включая концы. Эти два промежутка не имеют общих точек (не пересекаются), между ними есть разрыв. Поэтому их объединение нельзя представить в виде одного сплошного промежутка. Оно так и записывается в виде объединения двух интервалов. На координатной прямой это изображается двумя отдельными дугами: одна над интервалом от $-4$ до $1$ (с выколотыми точками на концах), вторая — над интервалом от $10$ до $12$ (также с выколотыми точками).
Ответ: $ (-4; 1) \cup (10; 12) $

в) Требуется найти объединение промежутков $ (-\infty; 4) $ и $ (10; +\infty) $. Первый промежуток $ (-\infty; 4) $ — это все числа, меньшие $4$. Второй промежуток $ (10; +\infty) $ — это все числа, большие $10$. Эти промежутки не пересекаются, между ними лежат числа от $4$ до $10$. Их объединение представляет собой совокупность всех чисел, которые либо меньше $4$, либо больше $10$. На координатной прямой это изображается двумя дугами: одна начинается от выколотой точки $4$ и идет влево к $-\infty$, а вторая начинается от выколотой точки $10$ и идет вправо к $+\infty$.
Ответ: $ (-\infty; 4) \cup (10; +\infty) $

г) Требуется найти объединение промежутков $ [3; +\infty) $ и $ (8; +\infty) $. Первый промежуток $ [3; +\infty) $ — это все числа, большие или равные $3$. Второй промежуток $ (8; +\infty) $ — это все числа, строго большие $8$. Любое число, которое больше $8$, также является большим или равным $3$. Это значит, что второй промежуток полностью содержится в первом: $ (8; +\infty) \subset [3; +\infty) $. Объединение двух множеств, одно из которых является подмножеством другого, равно большему множеству (надмножеству). На координатной прямой это изображается одной дугой, начинающейся от закрашенной точки $3$ и уходящей вправо к $+\infty$.
Результат объединения: $ [3; +\infty) \cup (8; +\infty) = [3; +\infty) $.
Ответ: $ [3; +\infty) $