Номер 930, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Числовые промежутки. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 930, страница 207.

930. Пассажир проехал в поезде 120 км и вернулся с обратным поездом, проходящим в час на 5 км больше. Определите скорость каждого поезда, если известно, что на обратный путь он затратил на 20 мин меньше.

Пусть x км/ч - скорость первого поезда, тогда (x+5)км/ч - скорость второго поезда. Зная, что путь, который проезжали поезда равен 120км и на обратный путь он затратил на 20мин меньше, составим и решим уравнения

$$\begin{gathered} \frac{120}{x}=\frac{120}{x+5}+\frac{20}{60} \\ \frac{120}{x}=\frac{120}{x+5}+\frac{1}{3} /·3x\left(x+5\right) \\ 120·3\left(x+5\right)=120·3x+x\left(x+5\right) \\ 360x+1800=360x+x^2+5x \\ {x}^2+5x-1800=0 \\ D=5^2-4·1·\left(-1800\right)=25+7200=7225 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{7225}}{2}, x=\frac{-5\pm 85}{2} \end{gathered}$$

$x_1=40; x_2=-45$ - не удовлетворяет условию задачи х>0

40+5=45 (км/ч)

Ответ: 40 км/ч, 45 км/ч

Пусть $v$ км/ч — скорость первого поезда. Тогда, согласно условию, скорость обратного поезда, который проходит в час на 5 км больше, равна $(v + 5)$ км/ч.

Расстояние, которое проехал пассажир в одном направлении, составляет $S = 120$ км.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.
Время, затраченное на поездку на первом поезде: $t_1 = \frac{120}{v}$ ч.
Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{120}{v+5}$ ч.

Известно, что на обратный путь пассажир затратил на 20 минут меньше. Переведем разницу во времени в часы:
$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Так как время $t_1$ больше времени $t_2$ на $\frac{1}{3}$ часа, мы можем составить уравнение:
$t_1 - t_2 = \frac{1}{3}$
$\frac{120}{v} - \frac{120}{v+5} = \frac{1}{3}$

Решим полученное уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+5)$:
$\frac{120(v+5) - 120v}{v(v+5)} = \frac{1}{3}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{120v + 600 - 120v}{v^2 + 5v} = \frac{1}{3}$
$\frac{600}{v^2 + 5v} = \frac{1}{3}$

По свойству пропорции (умножая крест-накрест), получим:
$1 \cdot (v^2 + 5v) = 600 \cdot 3$
$v^2 + 5v = 1800$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 5v - 1800 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 25 + 7200 = 7225$
Найдем корни уравнения: $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85$
$v_1 = \frac{-5 + 85}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$v_2 = \frac{-5 - 85}{2} = \frac{-90}{2} = -45$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -45$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, скорость первого поезда составляет $v = 40$ км/ч.

Найдем скорость обратного поезда:
$v + 5 = 40 + 5 = 45$ км/ч.

Проверим полученные результаты.
Время в пути на первом поезде: $t_1 = \frac{120}{40} = 3$ часа.
Время в пути на обратном поезде: $t_2 = \frac{120}{45} = \frac{8}{3}$ часа, что равно $2$ часам и $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минутам.
Разница во времени: $3 \text{ ч} - (2 \text{ ч } 40 \text{ мин}) = 20$ минут. Это соответствует условию задачи.

Ответ: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость обратного поезда 45 км/ч.