Страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

928. Упростите выражение:

a) $\frac{1+\frac{a-x}{x}}{ax}=\frac{\frac{x+a-x}{x}}{ax}=\frac{a}{x·ax}=\frac{1}{x^2}$

б) $\frac{\frac{a^2-b^2}{a^2}-1}{2a^2{b}^2}=\frac{\frac{a^2-b^2-a^2}{a^2}}{2a^2{b}^2}=-\frac{b^2}{a^2·2a^2{b}^2}=-\frac{1}{2a^4}$

а) Чтобы упростить данное выражение, сначала выполним сложение в числителе. Для этого приведем 1 к знаменателю $x$.

$1 + \frac{a-x}{x} = \frac{x}{x} + \frac{a-x}{x} = \frac{x + a - x}{x} = \frac{a}{x}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{1 + \frac{a-x}{x}}{ax} = \frac{\frac{a}{x}}{ax}$

Чтобы разделить дробь на выражение, нужно умножить эту дробь на величину, обратную делителю:

$\frac{a}{x} \div ax = \frac{a}{x} \cdot \frac{1}{ax} = \frac{a}{x \cdot ax} = \frac{a}{a x^2}$

Сократим полученную дробь на $a$:

$\frac{a}{a x^2} = \frac{1}{x^2}$

Ответ: $\frac{1}{x^2}$

б) Сначала упростим числитель дроби, выполнив вычитание. Приведем 1 к знаменателю $a^2$.

$\frac{a^2-b^2}{a^2} - 1 = \frac{a^2-b^2}{a^2} - \frac{a^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2 - a^2}{a^2} = \frac{-b^2}{a^2}$

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{a^2-b^2}{a^2} - 1}{2a^2b^2} = \frac{\frac{-b^2}{a^2}}{2a^2b^2}$

Чтобы разделить дробь на выражение, умножим эту дробь на величину, обратную делителю:

$\frac{-b^2}{a^2} \div (2a^2b^2) = \frac{-b^2}{a^2} \cdot \frac{1}{2a^2b^2} = \frac{-b^2}{a^2 \cdot 2a^2b^2} = \frac{-b^2}{2a^4b^2}$

Сократим полученную дробь на $b^2$:

$\frac{-b^2}{2a^4b^2} = -\frac{1}{2a^4}$

Ответ: $-\frac{1}{2a^4}$

929. Докажите неравенство a² + 5 > 2a.

a²+5>2a

a²-2a+5>0

a²-2a+1+4=(a-1)²+4>0

Для доказательства данного неравенства перенесем все его члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:
$a^2 + 5 > 2a$
$a^2 - 2a + 5 > 0$

Теперь преобразуем левую часть полученного неравенства. Наша цель — показать, что это выражение всегда положительно. Для этого выделим в нем полный квадрат. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В выражении $a^2 - 2a$ мы видим первые два члена этой формулы, где $x=a$ и $2xy=2a$, что означает $y=1$. Для полного квадрата нам не хватает $+y^2$, то есть $+1^2 = 1$.
Представим число 5 в виде суммы $1 + 4$:
$a^2 - 2a + (1 + 4) > 0$

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы получить квадрат разности:
$(a^2 - 2a + 1) + 4 > 0$
$(a-1)^2 + 4 > 0$

Проанализируем полученное неравенство.
Выражение $(a-1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть его значение больше или равно нулю при любом a:
$(a-1)^2 \ge 0$
Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 4, результат всегда будет положительным. Минимальное значение выражения $(a-1)^2$ равно 0 (достигается при $a=1$). Следовательно, наименьшее возможное значение всей левой части неравенства составляет $0 + 4 = 4$.
Таким образом, $(a-1)^2 + 4 \ge 4$.
Поскольку $4 > 0$, то и выражение $(a-1)^2 + 4$ всегда строго больше нуля для любого действительного значения a.

Мы доказали, что неравенство $(a-1)^2 + 4 > 0$ истинно для всех a. Так как это неравенство равносильно исходному, то и неравенство $a^2 + 5 > 2a$ верно для любого значения a.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $(a-1)^2 + 4 > 0$.

930. Пассажир проехал в поезде 120 км и вернулся с обратным поездом, проходящим в час на 5 км больше. Определите скорость каждого поезда, если известно, что на обратный путь он затратил на 20 мин меньше.

Пусть x км/ч - скорость первого поезда, тогда (x+5)км/ч - скорость второго поезда. Зная, что путь, который проезжали поезда равен 120км и на обратный путь он затратил на 20мин меньше, составим и решим уравнения

$$\begin{gathered} \frac{120}{x}=\frac{120}{x+5}+\frac{20}{60} \\ \frac{120}{x}=\frac{120}{x+5}+\frac{1}{3} /·3x\left(x+5\right) \\ 120·3\left(x+5\right)=120·3x+x\left(x+5\right) \\ 360x+1800=360x+x^2+5x \\ {x}^2+5x-1800=0 \\ D=5^2-4·1·\left(-1800\right)=25+7200=7225 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{7225}}{2}, x=\frac{-5\pm 85}{2} \end{gathered}$$

$x_1=40; x_2=-45$ - не удовлетворяет условию задачи х>0

40+5=45 (км/ч)

Ответ: 40 км/ч, 45 км/ч

Пусть $v$ км/ч — скорость первого поезда. Тогда, согласно условию, скорость обратного поезда, который проходит в час на 5 км больше, равна $(v + 5)$ км/ч.

Расстояние, которое проехал пассажир в одном направлении, составляет $S = 120$ км.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.
Время, затраченное на поездку на первом поезде: $t_1 = \frac{120}{v}$ ч.
Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{120}{v+5}$ ч.

Известно, что на обратный путь пассажир затратил на 20 минут меньше. Переведем разницу во времени в часы:
$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Так как время $t_1$ больше времени $t_2$ на $\frac{1}{3}$ часа, мы можем составить уравнение:
$t_1 - t_2 = \frac{1}{3}$
$\frac{120}{v} - \frac{120}{v+5} = \frac{1}{3}$

Решим полученное уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+5)$:
$\frac{120(v+5) - 120v}{v(v+5)} = \frac{1}{3}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{120v + 600 - 120v}{v^2 + 5v} = \frac{1}{3}$
$\frac{600}{v^2 + 5v} = \frac{1}{3}$

По свойству пропорции (умножая крест-накрест), получим:
$1 \cdot (v^2 + 5v) = 600 \cdot 3$
$v^2 + 5v = 1800$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 5v - 1800 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 25 + 7200 = 7225$
Найдем корни уравнения: $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85$
$v_1 = \frac{-5 + 85}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$v_2 = \frac{-5 - 85}{2} = \frac{-90}{2} = -45$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -45$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, скорость первого поезда составляет $v = 40$ км/ч.

Найдем скорость обратного поезда:
$v + 5 = 40 + 5 = 45$ км/ч.

Проверим полученные результаты.
Время в пути на первом поезде: $t_1 = \frac{120}{40} = 3$ часа.
Время в пути на обратном поезде: $t_2 = \frac{120}{45} = \frac{8}{3}$ часа, что равно $2$ часам и $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минутам.
Разница во времени: $3 \text{ ч} - (2 \text{ ч } 40 \text{ мин}) = 20$ минут. Это соответствует условию задачи.

Ответ: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость обратного поезда 45 км/ч.

931. При каком х значение функции, заданной формулой y =3x - 1x - 2, равно –1?

y=$\frac{3x-1}{x-2}\backslash frac\{3x-1\}\{x-2\}$, y=-1

$\frac{3x-1}{x-2}\backslash frac\{3x-1\}\{x-2\}$=-1 /(x-2)

3x-1=-(x-2)

3x-1=-x+2

3x-1+x-2=0

4x-3=0

4x=3

x=$\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$

Если x=$\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$, то $(x-2)=\frac{3}{4}-2=\frac{3-8}{4}=\frac{-5}{4}\ne 0$

Ответ: $\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$

Для того чтобы найти, при каком значении $x$ значение функции $y = \frac{3x - 1}{x - 2}$ равно $-1$, необходимо приравнять выражение для функции к $-1$ и решить полученное уравнение.

Запишем уравнение:

$\frac{3x - 1}{x - 2} = -1$

Важно учесть область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Теперь решим уравнение, умножив обе его части на знаменатель $(x - 2)$:

$3x - 1 = -1 \cdot (x - 2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$3x - 1 = -x + 2$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые значения — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$3x + x = 2 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$4x = 3$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{3}{4}$

Полученное значение $x = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq 2$), значит, это и есть искомое значение.

Ответ: $x = \frac{3}{4}$.