Страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

902. На рисунке 36 изображены отрезки АВ и CD. Какая фигура является:

а) пересечением этих отрезков;

б) объединением этих отрезков?

a) $AB\cap CD=BCAB\; \backslash cap\; CD=BC$

б) $AB\cup CD=ADAB\; \backslash cup\; CD=AD$

а) пересечением этих отрезков;

Пересечением двух фигур (в данном случае отрезков) является фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат одновременно обоим отрезкам. Рассмотрим отрезки $AB$ и $CD$ на рисунке. Отрезок $AB$ — это все точки прямой между точками $A$ и $B$, включая сами точки $A$ и $B$. Отрезок $CD$ — это все точки прямой между точками $C$ и $D$, включая сами точки $C$ и $D$. Общей частью (пересечением) этих двух отрезков являются точки, которые лежат между $C$ и $B$. Эта фигура представляет собой отрезок $CB$.
Ответ: отрезком CB.

б) объединением этих отрезков?

Объединением двух фигур является фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат хотя бы одной из этих фигур. Чтобы найти объединение отрезков $AB$ и $CD$, нужно рассмотреть все точки, принадлежащие отрезку $AB$, и все точки, принадлежащие отрезку $CD$. Совокупность всех этих точек образует один сплошной отрезок, который начинается в самой левой точке ($A$) и заканчивается в самой правой точке ($D$). Следовательно, объединением отрезков $AB$ и $CD$ является отрезок $AD$.
Ответ: отрезком AD.

903. Множеством каких фигур является пересечение:

а) множества прямоугольников и множества ромбов;

б) множества равнобедренных треугольников и множества прямоугольных треугольников?

а) прямоугольник $\cap$ ромб=квадрат;

б) равнобедренный треугольник $\cap$ прямоугольный треугольник = равнобедренный прямоугольный треугольник

а) Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество фигур, которые обладают свойствами и прямоугольника, и ромба одновременно. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые ($90^\circ$). Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Фигура, которая одновременно является и прямоугольником, и ромбом, должна иметь четыре прямых угла и четыре равные стороны. Такой фигурой является квадрат. Таким образом, искомое множество — это множество квадратов.
Ответ: множество квадратов.

б) Пересечением множества равнобедренных треугольников и множества прямоугольных треугольников является множество треугольников, которые являются одновременно и равнобедренными, и прямоугольными. Равнобедренный треугольник имеет как минимум две равные стороны. Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол ($90^\circ$). В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие — катетами. Гипотенуза всегда длиннее каждого из катетов. Следовательно, в треугольнике, который является и прямоугольным, и равнобедренным, равными сторонами могут быть только катеты. Такой треугольник называется равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны по $45^\circ$, так как они лежат против равных сторон (катетов), а их сумма должна составлять $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Ответ: множество равнобедренных прямоугольных треугольников.

904. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством N натуральных чисел, множеством Z целых чисел, множеством Q рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение:

а) множества натуральных и множества целых чисел;

б) множества целых и множества рациональных чисел;

в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.

a) $N\cap Z=N; N\cup Z=Z$

б) $Z\cap Q=Z; Z\cup Q=Q$

в) I - иррациональные число

$Q\cap \text{I}=\mathrm{\varnothing }$

$Q\cup \text{I}=R$, где R-множество действительных чисел

Для иллюстрации соотношения между множествами натуральных чисел ($N$), целых чисел ($Z$) и рациональных чисел ($Q$) воспользуемся кругами Эйлера.

Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ является подмножеством множества целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$, так как каждое натуральное число является и целым числом.

В свою очередь, множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$, так как любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $\frac{z}{1}$, что соответствует определению рационального числа.

Таким образом, мы имеем следующую вложенность множеств: $N \subset Z \subset Q$.

Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая это соотношение, будет выглядеть как три вложенных друг в друга круга:

Теперь найдем пересечение и объединение указанных множеств.

а) множества натуральных и множества целых чисел;

Пересечением множеств $N$ и $Z$ ($N \cap Z$) является множество элементов, которые принадлежат и $N$, и $Z$ одновременно. Поскольку все натуральные числа являются целыми, их общими элементами будет само множество натуральных чисел.
$N \cap Z = N$

Объединением множеств $N$ и $Z$ ($N \cup Z$) является множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Так как множество $N$ полностью содержится в $Z$, их объединение будет равно большему множеству, то есть множеству целых чисел.
$N \cup Z = Z$

Ответ: пересечение - множество натуральных чисел ($N$), объединение - множество целых чисел ($Z$).

б) множества целых и множества рациональных чисел;

Пересечением множеств $Z$ и $Q$ ($Z \cap Q$) является множество их общих элементов. Так как любое целое число является рациональным, то все элементы множества $Z$ также принадлежат множеству $Q$. Следовательно, их пересечение - это множество целых чисел.
$Z \cap Q = Z$

Объединением множеств $Z$ и $Q$ ($Z \cup Q$) является множество, содержащее все элементы из $Z$ и все элементы из $Q$. Поскольку множество $Z$ является подмножеством $Q$, их объединение совпадает с множеством рациональных чисел.
$Z \cup Q = Q$

Ответ: пересечение - множество целых чисел ($Z$), объединение - множество рациональных чисел ($Q$).

в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.

Обозначим множество иррациональных чисел как $I$.
Пересечением множеств рациональных ($Q$) и иррациональных ($I$) чисел ($Q \cap I$) является множество их общих элементов. По определению, число не может быть одновременно рациональным (представимым в виде дроби) и иррациональным (непредставимым в виде дроби). Эти множества не имеют общих элементов. Следовательно, их пересечение является пустым множеством ($\emptyset$).
$Q \cap I = \emptyset$

Объединением множеств $Q$ и $I$ ($Q \cup I$) является множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел. Вместе эти два множества образуют множество всех действительных (вещественных) чисел, которое обозначается как $R$.
$Q \cup I = R$

Ответ: пересечение - пустое множество ($\emptyset$), объединение - множество действительных чисел ($R$).

905. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3. Какое множество изображает общая часть этих кругов?

A={4; 8; 12, 16; 20; 24;... }

B={3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; ...}

$A\cap BA\; \backslash cap\; B$={12; 24; ...}

Ответ: множество чисел, кратных 12.

Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3.

Для иллюстрации соотношения между заданными множествами с помощью кругов Эйлера, сначала определим эти множества и их взаимосвязь.

Пусть $A$ — это множество натуральных чисел, кратных 4.
$A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, ...\}$

Пусть $B$ — это множество натуральных чисел, кратных 3.
$B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...\}$

Теперь проанализируем соотношение между этими множествами:

• Существуют числа, которые принадлежат множеству $A$, но не принадлежат множеству $B$. Например, $8 \in A$, но $8 \notin B$. Это означает, что множество $A$ не является подмножеством $B$.
• Существуют числа, которые принадлежат множеству $B$, но не принадлежат множеству $A$. Например, $9 \in B$, но $9 \notin A$. Это означает, что множество $B$ не является подмножеством $A$.
• Существуют числа, которые принадлежат обоим множествам одновременно. Например, $12 \in A$ и $12 \in B$. Это означает, что множества $A$ и $B$ имеют непустое пересечение.

Исходя из этого анализа, правильной иллюстрацией будет диаграмма с двумя пересекающимися кругами.

Эта диаграмма показывает, что есть три различные области: числа, кратные только 4; числа, кратные только 3; и числа, кратные и 4, и 3, которые находятся в области пересечения.

Ответ: Соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3, иллюстрируется с помощью двух пересекающихся кругов Эйлера.

Какое множество изображает общая часть этих кругов?

Общая часть (пересечение) двух кругов представляет собой множество элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам одновременно. В данном случае, это множество чисел, которые кратны и 4, и 3.

Число, которое делится одновременно на 4 и на 3, должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК).

Найдем наименьшее общее кратное для чисел 4 и 3. Поскольку 4 и 3 — взаимно простые числа (их наибольший общий делитель равен 1), их НОК равно их произведению.

$\text{НОК}(4, 3) = 4 \times 3 = 12$

Следовательно, все числа, которые делятся и на 4, и на 3, делятся на 12. Таким образом, общая часть кругов изображает множество чисел, кратных 12.

Примеры таких чисел: 12, 24, 36, 48, 60 и т.д.

Ответ: Общая часть этих кругов изображает множество чисел, кратных 12.

906. (Для работы в парах.) Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами A и B и найдите пересечение и объединение этих множеств, если:

а) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 5;

б) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 15.

1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств A и B.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

a) A={..,3; 6; 9; 12; 15; 18,... }

B={.., 5; 10; 15, 20,... }

$A\cap BA\; \backslash cap\; B$={..,15; 30; 45,... } – множество целых чисел, кратных 15

$A\cup BA\; \backslash cup\; B$={...,3; 5; 6; 9; 10; 12; 15;... } множество целых чисел, кратных и 3, и 5

б) A={.., 3; 6, 9; 12; 15; 18;... }

B={15; 30; 45; 60,... }

$A\cup B=A$; $A\cap B=B$

а) A — множество целых чисел, кратных 3; B — множество целых чисел, кратных 5.

Соотношение множеств и диаграмма Эйлера:
Множества A и B пересекаются, так как существуют числа, которые кратны одновременно и 3, и 5 (например, 15, 30, -15). Однако ни одно из множеств не является подмножеством другого, так как существуют числа, кратные 3, но не кратные 5 (например, 6, 9), и, наоборот, числа, кратные 5, но не кратные 3 (например, 10, 25). На диаграмме Эйлера такое соотношение изображается в виде двух пересекающихся кругов.

Пересечение и объединение:
Пересечение $A \cap B$ — это множество элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B. Это множество целых чисел, которые делятся и на 3, и на 5. Число, делящееся на 3 и на 5, делится на их наименьшее общее кратное. НОК(3, 5) = 15. Таким образом, пересечение множеств A и B — это множество целых чисел, кратных 15.
Объединение $A \cup B$ — это множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств (A или B). Это множество целых чисел, которые кратны 3 или кратны 5.

Ответ: Пересечение $A \cap B$ — это множество целых чисел, кратных 15. Объединение $A \cup B$ — это множество целых чисел, кратных 3 или 5.

б) A — множество целых чисел, кратных 3; B — множество целых чисел, кратных 15.

Соотношение множеств и диаграмма Эйлера:
Любое число, которое делится на 15, также делится и на 3, поскольку $15 = 3 \cdot 5$. Это означает, что каждый элемент множества B является также и элементом множества A. Следовательно, множество B является подмножеством множества A ($B \subset A$). На диаграмме Эйлера это соотношение изображается в виде круга, представляющего множество B, который полностью находится внутри круга, представляющего множество A.

Пересечение и объединение:
Пересечение $A \cap B$ — это множество элементов, общих для обоих множеств. Так как все элементы множества B содержатся во множестве A, их пересечением является само множество B. То есть, $A \cap B = B$. Это множество целых чисел, кратных 15.
Объединение $A \cup B$ — это множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств. Так как все элементы множества B уже содержатся во множестве A, их объединением является множество A. То есть, $A \cup B = A$. Это множество целых чисел, кратных 3.

Ответ: Пересечение $A \cap B$ — это множество целых чисел, кратных 15 (т. е. $A \cap B = B$). Объединение $A \cup B$ — это множество целых чисел, кратных 3 (т. е. $A \cup B = A$).

907. Найдите пересечение и объединение множеств Х и Y, если:

а) Х — множество простых чисел, Y — множество составных чисел;

б) Х — множество целых чисел, кратных 5, Y — множество целых чисел, кратных 15.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}X=\{2,3,5,7,11,13,17,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ Y=\{4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ X\cap Y=\mathrm{\varnothing } \\ X\cup Y=\{2,3,4,5,6,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}X=\{\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},5; 10; 15; 20; 25; \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ Y=\{\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},15; 30; 45; 60; \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ X\cap Y=Y \\ X\cup Y=X \end{gathered}$$

а)

В данном случае множество $X$ — это множество всех простых чисел, а множество $Y$ — это множество всех составных чисел.

Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые имеют ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя.
$X = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\}$

Составные числа — это натуральные числа больше 1, которые не являются простыми (то есть имеют более двух делителей).
$Y = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, ...\}$

Пересечение множеств ($X \cap Y$)
Пересечение двух множеств содержит элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно. По определению, любое натуральное число больше 1 является либо простым, либо составным. Ни одно число не может быть и тем, и другим одновременно. Следовательно, у множеств $X$ и $Y$ нет общих элементов. Их пересечение является пустым множеством.
$X \cap Y = \emptyset$

Объединение множеств ($X \cup Y$)
Объединение двух множеств содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Множество натуральных чисел ($\mathbb{N}$) состоит из простых чисел, составных чисел и числа 1 (которое не является ни простым, ни составным). Таким образом, объединение множеств простых и составных чисел будет содержать все натуральные числа, кроме 1.
$X \cup Y = \{n \in \mathbb{N} \mid n > 1\}$

Ответ: Пересечение множеств $X$ и $Y$ является пустым множеством ($X \cap Y = \emptyset$). Объединение множеств $X$ и $Y$ — это множество всех натуральных чисел, больших 1.

б)

В данном случае множество $X$ — это множество целых чисел, кратных 5, а множество $Y$ — это множество целых чисел, кратных 15.

$X = \{n \mid n = 5k, k \in \mathbb{Z}\} = \{..., -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, ...\}$
$Y = \{n \mid n = 15m, m \in \mathbb{Z}\} = \{..., -30, -15, 0, 15, 30, ...\}$

Пересечение множеств ($X \cap Y$)
Пересечение множеств $X$ и $Y$ содержит элементы, которые принадлежат обоим множествам, то есть целые числа, которые делятся и на 5, и на 15.
Если число делится на 15, то оно представимо в виде $15m = (5 \cdot 3)m = 5 \cdot (3m)$, что означает, что оно также делится и на 5. Следовательно, любое число, принадлежащее множеству $Y$, также принадлежит и множеству $X$. Это значит, что множество $Y$ является подмножеством множества $X$ ($Y \subset X$).
Когда одно множество является подмножеством другого, их пересечением является меньшее из этих множеств.
$X \cap Y = Y$

Объединение множеств ($X \cup Y$)
Объединение множеств $X$ и $Y$ содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств, то есть целые числа, которые делятся на 5 или на 15.
Как мы уже установили, все числа, кратные 15, также кратны 5. Поэтому, если мы объединим все числа, кратные 5, с числами, кратными 15, мы не добавим никаких новых элементов к множеству чисел, кратных 5.
Когда одно множество является подмножеством другого, их объединением является большее из этих множеств.
$X \cup Y = X$

Ответ: Пересечение множеств $X$ и $Y$ есть множество $Y$ (множество целых чисел, кратных 15). Объединение множеств $X$ и $Y$ есть множество $X$ (множество целых чисел, кратных 5).

908. Доказать, что функция, заданная формулой является прямой пропорциональностью.

y = (x – 8)² – (x + 8)²

$$\begin{gathered} y={\left(x-8\right)}^2-{\left(x+8\right)}^2 \\ {\left(x-8\right)}^2-{\left(x+8\right)}^2=x^2-16x+64-\left(x^2+16x+64\right)= \\ =x^2-16x+64-x^2-16x-64=-32x \\ y=-32x \end{gathered}$$

Чтобы доказать, что функция, заданная формулой $y = (x - 8)^2 - (x + 8)^2$, является прямой пропорциональностью, необходимо показать, что ее можно привести к виду $y = kx$, где $k$ – некоторое число (коэффициент пропорциональности), не равное нулю.

Для этого преобразуем выражение в правой части уравнения. Мы можем использовать формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае примем $a = x - 8$ и $b = x + 8$. Подставим эти выражения в формулу:

$y = ((x - 8) - (x + 8))((x - 8) + (x + 8))$

Теперь раскроем скобки внутри каждого из множителей:

$y = (x - 8 - x - 8)(x - 8 + x + 8)$

Приведем подобные слагаемые в каждом из множителей:

$y = (-16)(2x)$

Выполним умножение:

$y = -32x$

В результате преобразований мы получили функцию $y = -32x$. Эта формула соответствует общему виду прямой пропорциональности $y = kx$, где коэффициент пропорциональности $k = -32$. Поскольку исходную функцию удалось привести к этому виду, мы доказали, что она является прямой пропорциональностью.

Ответ: После алгебраических преобразований исходная формула приводится к виду $y = -32x$, что является уравнением прямой пропорциональности с коэффициентом $k = -32$. Что и требовалось доказать.