Номер 907, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Пересечение и объединение множеств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 907, страница 202.

907. Найдите пересечение и объединение множеств Х и Y, если:

а) Х — множество простых чисел, Y — множество составных чисел;

б) Х — множество целых чисел, кратных 5, Y — множество целых чисел, кратных 15.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}X=\{2,3,5,7,11,13,17,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ Y=\{4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ X\cap Y=\mathrm{\varnothing } \\ X\cup Y=\{2,3,4,5,6,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}X=\{\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},5; 10; 15; 20; 25; \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ Y=\{\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},15; 30; 45; 60; \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ X\cap Y=Y \\ X\cup Y=X \end{gathered}$$

а)

В данном случае множество $X$ — это множество всех простых чисел, а множество $Y$ — это множество всех составных чисел.

Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые имеют ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя.
$X = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\}$

Составные числа — это натуральные числа больше 1, которые не являются простыми (то есть имеют более двух делителей).
$Y = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, ...\}$

Пересечение множеств ($X \cap Y$)
Пересечение двух множеств содержит элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно. По определению, любое натуральное число больше 1 является либо простым, либо составным. Ни одно число не может быть и тем, и другим одновременно. Следовательно, у множеств $X$ и $Y$ нет общих элементов. Их пересечение является пустым множеством.
$X \cap Y = \emptyset$

Объединение множеств ($X \cup Y$)
Объединение двух множеств содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Множество натуральных чисел ($\mathbb{N}$) состоит из простых чисел, составных чисел и числа 1 (которое не является ни простым, ни составным). Таким образом, объединение множеств простых и составных чисел будет содержать все натуральные числа, кроме 1.
$X \cup Y = \{n \in \mathbb{N} \mid n > 1\}$

Ответ: Пересечение множеств $X$ и $Y$ является пустым множеством ($X \cap Y = \emptyset$). Объединение множеств $X$ и $Y$ — это множество всех натуральных чисел, больших 1.

б)

В данном случае множество $X$ — это множество целых чисел, кратных 5, а множество $Y$ — это множество целых чисел, кратных 15.

$X = \{n \mid n = 5k, k \in \mathbb{Z}\} = \{..., -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, ...\}$
$Y = \{n \mid n = 15m, m \in \mathbb{Z}\} = \{..., -30, -15, 0, 15, 30, ...\}$

Пересечение множеств ($X \cap Y$)
Пересечение множеств $X$ и $Y$ содержит элементы, которые принадлежат обоим множествам, то есть целые числа, которые делятся и на 5, и на 15.
Если число делится на 15, то оно представимо в виде $15m = (5 \cdot 3)m = 5 \cdot (3m)$, что означает, что оно также делится и на 5. Следовательно, любое число, принадлежащее множеству $Y$, также принадлежит и множеству $X$. Это значит, что множество $Y$ является подмножеством множества $X$ ($Y \subset X$).
Когда одно множество является подмножеством другого, их пересечением является меньшее из этих множеств.
$X \cap Y = Y$

Объединение множеств ($X \cup Y$)
Объединение множеств $X$ и $Y$ содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств, то есть целые числа, которые делятся на 5 или на 15.
Как мы уже установили, все числа, кратные 15, также кратны 5. Поэтому, если мы объединим все числа, кратные 5, с числами, кратными 15, мы не добавим никаких новых элементов к множеству чисел, кратных 5.
Когда одно множество является подмножеством другого, их объединением является большее из этих множеств.
$X \cup Y = X$

Ответ: Пересечение множеств $X$ и $Y$ есть множество $Y$ (множество целых чисел, кратных 15). Объединение множеств $X$ и $Y$ есть множество $X$ (множество целых чисел, кратных 5).