Номер 910, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Пересечение и объединение множеств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 910, страница 203.

910. В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий удалось получить гречихи на 2 ц с гектара больше, чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи, а во втором — только 160 ц, хотя во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше. Какова была урожайность гречихи в каждом хозяйстве?

Пусть x ц/га урожайность гречихи во втором хозяйстве, тогда (2+2)ц/га - урожайность гречихи в первом хозяйстве.

Зная, что в первом хозяйстве собрали 180ц гречихи, а во втором - 160ц, найдем площадь участков. $\frac{180}{x+2}\backslash frac\{180\}\{x+2\}$ га - площадь участка в первом хозяйстве, $\frac{160}{x}\backslash frac\{160\}\{x\}$ га - площадь участка во втором хорастве. По условию площадь участка во втором хозяйстве на 1га больше. Составим и решим уравнения

$$\begin{gathered} \frac{160}{x}=\frac{180}{x+2}+1 /·x(x+2) \\ 160\left(x+2\right)=180x+x\left(x+2\right) \\ 160x+320=180x+x^2+2x \\ {x}^2+2x+180x-160x-320=0 \\ {x}^2+22x-320=0 \\ D={22}^2-4·1·\left(-320\right)=484+1280=1764 \\ x=\frac{-22\pm \sqrt{1764}}{2}; x=\frac{-22\pm 42}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-32$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

10+2=12 (ц/га) - урожайность в первом хозяйстве

Ответ: 12ц/га, 10ц/га

Для решения задачи введем переменную. Пусть урожайность гречихи во втором хозяйстве составляет $x$ центнеров с гектара (ц/га).

Из условия известно, что в первом хозяйстве урожайность была на 2 ц/га больше. Следовательно, урожайность в первом хозяйстве составляет $(x + 2)$ ц/га.

Общий сбор урожая связан с площадью и урожайностью формулой: $Сбор = Площадь \cdot Урожайность$. Отсюда можно выразить площадь: $Площадь = \frac{Сбор}{Урожайность}$.

В первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи. Площадь, отведенная под гречиху в первом хозяйстве, равна: $S_1 = \frac{180}{x+2}$ га.

Во втором хозяйстве собрали 160 ц гречихи. Площадь, отведенная под гречиху во втором хозяйстве, равна: $S_2 = \frac{160}{x}$ га.

По условию, во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше, чем в первом. Это означает, что разница между площадью второго и первого хозяйства составляет 1 га. Составим уравнение: $S_2 - S_1 = 1$

Подставим выражения для площадей $S_1$ и $S_2$ в это уравнение: $\frac{160}{x} - \frac{180}{x+2} = 1$

Теперь решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+2)$, предполагая, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Поскольку $x$ — это урожайность, она должна быть положительным числом ($x > 0$), так что эти условия выполняются. $160(x+2) - 180x = 1 \cdot x(x+2)$

Раскроем скобки: $160x + 320 - 180x = x^2 + 2x$

Приведем подобные слагаемые: $320 - 20x = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 2x + 20x - 320 = 0$ $x^2 + 22x - 320 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 484 + 1280 = 1764$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-22 + 42}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$ $x_2 = \frac{-22 - 42}{2 \cdot 1} = \frac{-64}{2} = -32$

Так как урожайность ($x$) не может быть отрицательной, корень $x_2 = -32$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Поэтому принимаем $x = 10$.

Итак, урожайность во втором хозяйстве составляет 10 ц/га.

Урожайность в первом хозяйстве на 2 ц/га больше: $10 + 2 = 12$ ц/га.

Ответ: урожайность гречихи в первом хозяйстве составила 12 ц/га, а во втором хозяйстве — 10 ц/га.