Номер 904, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Пересечение и объединение множеств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 904, страница 202.

904. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством N натуральных чисел, множеством Z целых чисел, множеством Q рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение:

а) множества натуральных и множества целых чисел;

б) множества целых и множества рациональных чисел;

в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.

a) $N\cap Z=N; N\cup Z=Z$

б) $Z\cap Q=Z; Z\cup Q=Q$

в) I - иррациональные число

$Q\cap \text{I}=\mathrm{\varnothing }$

$Q\cup \text{I}=R$, где R-множество действительных чисел

Для иллюстрации соотношения между множествами натуральных чисел ($N$), целых чисел ($Z$) и рациональных чисел ($Q$) воспользуемся кругами Эйлера.

Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ является подмножеством множества целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$, так как каждое натуральное число является и целым числом.

В свою очередь, множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$, так как любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $\frac{z}{1}$, что соответствует определению рационального числа.

Таким образом, мы имеем следующую вложенность множеств: $N \subset Z \subset Q$.

Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая это соотношение, будет выглядеть как три вложенных друг в друга круга:

Теперь найдем пересечение и объединение указанных множеств.

а) множества натуральных и множества целых чисел;

Пересечением множеств $N$ и $Z$ ($N \cap Z$) является множество элементов, которые принадлежат и $N$, и $Z$ одновременно. Поскольку все натуральные числа являются целыми, их общими элементами будет само множество натуральных чисел.
$N \cap Z = N$

Объединением множеств $N$ и $Z$ ($N \cup Z$) является множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Так как множество $N$ полностью содержится в $Z$, их объединение будет равно большему множеству, то есть множеству целых чисел.
$N \cup Z = Z$

Ответ: пересечение - множество натуральных чисел ($N$), объединение - множество целых чисел ($Z$).

б) множества целых и множества рациональных чисел;

Пересечением множеств $Z$ и $Q$ ($Z \cap Q$) является множество их общих элементов. Так как любое целое число является рациональным, то все элементы множества $Z$ также принадлежат множеству $Q$. Следовательно, их пересечение - это множество целых чисел.
$Z \cap Q = Z$

Объединением множеств $Z$ и $Q$ ($Z \cup Q$) является множество, содержащее все элементы из $Z$ и все элементы из $Q$. Поскольку множество $Z$ является подмножеством $Q$, их объединение совпадает с множеством рациональных чисел.
$Z \cup Q = Q$

Ответ: пересечение - множество целых чисел ($Z$), объединение - множество рациональных чисел ($Q$).

в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.

Обозначим множество иррациональных чисел как $I$.
Пересечением множеств рациональных ($Q$) и иррациональных ($I$) чисел ($Q \cap I$) является множество их общих элементов. По определению, число не может быть одновременно рациональным (представимым в виде дроби) и иррациональным (непредставимым в виде дроби). Эти множества не имеют общих элементов. Следовательно, их пересечение является пустым множеством ($\emptyset$).
$Q \cap I = \emptyset$

Объединением множеств $Q$ и $I$ ($Q \cup I$) является множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел. Вместе эти два множества образуют множество всех действительных (вещественных) чисел, которое обозначается как $R$.
$Q \cup I = R$

Ответ: пересечение - пустое множество ($\emptyset$), объединение - множество действительных чисел ($R$).