Номер 900, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Пересечение и объединение множеств. § 12. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 900, страница 201.

900. Найдите пересечение и объединение:

а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243 и 6321;

б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»;

в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел;

г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}A=\{1; 2; 3; 4\} \\ B=\{1; 2; 3; 6\} \\ A\cap B=\{1; 2; 3\} \\ A\cup B=\{1; 2; 3; 4; 6\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}A=\left\{\text{г,е,о,м,т,р,и,я}\right\} \\ B=\left\{\text{г,e,o,p,a,φ,u,я}\right\} \\ A\cap B=\left\{\text{г,e,o,p,u,я}\right\} \\ A\cup B=\left\{\text{г,e,o,м,т,р,u,я,a,φ}\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}A=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37\} \\ B=\{10,11,12,13,14,15,16,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},99\} \\ A\cap B=\{11,13,17,19,23,29,31,37\} \\ A\cup B=\{2,3,5,7,11,10,12,13,14,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},99\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}A=\{10,11,12,13,14,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},99\} \\ B=\{19,38,57,76,95,114,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ A\cap B=\{19,38,57,76,95\} \\ A\cup B=\{10,11,12,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}99,114,133,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \end{gathered}$$

а) Обозначим через $A$ множество цифр, используемых в записи числа 11 243, и через $B$ множество цифр, используемых в записи числа 6321.
Множество $A$ состоит из уникальных цифр числа 11 243: $A = \{1, 2, 3, 4\}$.
Множество $B$ состоит из уникальных цифр числа 6321: $B = \{1, 2, 3, 6\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество элементов, которые принадлежат и $A$, и $B$.
$A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств ($A$ или $B$).
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}$.

Ответ: Пересечение: $\{1, 2, 3\}$; Объединение: $\{1, 2, 3, 4, 6\}$.

б) Обозначим через $A$ множество букв, используемых в слове «геометрия», и через $B$ множество букв, используемых в слове «география».
Множество $A$ состоит из уникальных букв слова «геометрия»: $A = \{г, е, о, м, т, р, и, я\}$.
Множество $B$ состоит из уникальных букв слова «география»: $B = \{г, е, о, р, а, ф, и, я\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит буквы, которые есть в обоих словах.
$A \cap B = \{г, е, о, м, т, р, и, я\} \cap \{г, е, о, р, а, ф, и, я\} = \{г, е, о, р, и, я\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ содержит все буквы, которые есть хотя бы в одном из слов.
$A \cup B = \{г, е, о, м, т, р, и, я\} \cup \{г, е, о, р, а, ф, и, я\} = \{а, г, е, и, м, о, р, т, ф, я\}$.

Ответ: Пересечение: $\{г, е, о, р, и, я\}$; Объединение: $\{а, г, е, и, м, о, р, т, ф, я\}$.

в) Обозначим через $A$ множество простых чисел, не превосходящих 40, и через $B$ множество двузначных чисел.
Простые числа, не превосходящие 40 (то есть $\le 40$): $A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.
Множество двузначных чисел: $B = \{10, 11, 12, \dots, 99\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество простых чисел, которые являются двузначными.
$A \cap B = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, состоящее из всех двузначных чисел и всех простых чисел, не превосходящих 40. Поскольку двузначные простые числа уже входят в множество двузначных чисел, в объединение нужно добавить только однозначные простые числа.
$A \cup B = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{10, 11, 12, \dots, 99\}$.

Ответ: Пересечение: $\{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$; Объединение: множество, состоящее из всех двузначных чисел, а также чисел 2, 3, 5, 7.

г) Обозначим через $A$ множество двузначных чисел, и через $B$ множество натуральных чисел, кратных 19.
Множество двузначных чисел: $A = \{10, 11, 12, \dots, 99\}$.
Множество натуральных чисел, кратных 19: $B = \{19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, \dots\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество двузначных чисел, которые кратны 19.
$19 \cdot 1 = 19$
$19 \cdot 2 = 38$
$19 \cdot 3 = 57$
$19 \cdot 4 = 76$
$19 \cdot 5 = 95$
$19 \cdot 6 = 114$ (уже не двузначное).
Следовательно, $A \cap B = \{19, 38, 57, 76, 95\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, состоящее из всех двузначных чисел и всех чисел, кратных 19. Поскольку двузначные числа, кратные 19, уже входят в множество $A$, в объединение нужно добавить все остальные числа, кратные 19 (то есть трехзначные и более).
$A \cup B = \{10, 11, \dots, 99\} \cup \{114, 133, 152, \dots\}$.

Ответ: Пересечение: $\{19, 38, 57, 76, 95\}$; Объединение: множество, состоящее из всех двузначных чисел, а также всех натуральных чисел, кратных 19 и не являющихся двузначными (т.е. больших 99).