Номер 1, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 1, страница 199.

1. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств, и докажите их.

Если а>b, то b<а; если а<b, то b>a.

• Действительно, если разность а-b положительное число, то разность b-a - отрицательное число, и наоборот.

Если а<b и b<с, то а<с.

• Докажем, что разность а-с - отрицательное число. Прибавим к этой разности числа b и -b и сгруппируем слагаемые:

a-c=a-c+b-b=(a-b)+(b-c).

По условию а<b и b<с. Поэтому слагаемые а-b и b-с - отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, а<с.

Если а<b и с - любое число, то а+c<b+c.

• Преобразуем разность (а+c)-(b+c):

(a+c)-(b+c)=a-b.

По условию а<b, поэтому а-b - отрицательное число. Значит, и разность (а+b)-(b+c) отрицательна. Следовательно, a+c<b+c.

Если a<b и с — положительное число, то ас<bc. Если а<b и с — отрицательное число, то ас>bc.

• Представим разность ас-bс в виде произведения:

ac-bc=c(a-b).

Так как а<b, то а-b — отрицательное число. Если с>0, то произведение с(а-b) отрицательно, и, следовательно, ас<bc. Если с<0, то произведение с(a–b) положительно, и, следовательно, ac>bc.

Основным понятием при работе с числовыми неравенствами является определение: число a больше числа b (записывается как $a > b$), если их разность $a - b$ является положительным числом. Аналогично, $a < b$, если разность $a - b$ — отрицательное число. На этом определении и свойствах действительных чисел строятся доказательства всех основных теорем о неравенствах.

Теорема 1 (Свойство транзитивности)

Формулировка: Если число $a$ больше числа $b$, а число $b$ больше числа $c$, то число $a$ больше числа $c$. Иными словами, если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Доказательство:

По условию $a > b$, что по определению означает $a - b > 0$.

Также по условию $b > c$, что по определению означает $b - c > 0$.

Рассмотрим разность $a - c$. Представим ее в виде $(a - b) + (b - c)$.

Так как $a - b$ и $b - c$ — положительные числа, их сумма также является положительным числом. Следовательно, $(a - b) + (b - c) > 0$.

Это означает, что $a - c > 0$, что по определению доказывает неравенство $a > c$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Теорема 2 (Сложение числа с неравенством)

Формулировка: Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. То есть, если $a > b$, то для любого числа $c$ выполняется $a + c > b + c$.

Доказательство:

Для доказательства истинности неравенства $a + c > b + c$ рассмотрим разность его левой и правой частей: $(a + c) - (b + c)$.

Раскроем скобки: $a + c - b - c = a - b$.

По условию теоремы $a > b$, следовательно, разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.

Так как $(a + c) - (b + c) = a - b$, то и разность $(a + c) - (b + c)$ положительна.

По определению, это означает, что $a + c > b + c$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b$, то $a + c > b + c$ для любого числа $c$.

Теорема 3 (Умножение неравенства на положительное число)

Формулировка: Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. То есть, если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Доказательство:

Рассмотрим разность $ac - bc$. Вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(a - b)$.

По условию $a > b$, значит, разность $a - b$ — положительное число ($a - b > 0$).

По условию $c$ — также положительное число ($c > 0$).

Произведение двух положительных чисел $c$ и $(a - b)$ есть число положительное, то есть $c(a - b) > 0$.

Следовательно, разность $ac - bc$ положительна, что по определению означает $ac > bc$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Теорема 4 (Умножение неравенства на отрицательное число)

Формулировка: Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. То есть, если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Доказательство:

Рассмотрим разность $ac - bc$. Вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(a - b)$.

По условию $a > b$, значит, разность $a - b$ — положительное число ($a - b > 0$).

По условию $c$ — отрицательное число ($c < 0$).

Произведение отрицательного числа $c$ и положительного числа $(a - b)$ есть число отрицательное, то есть $c(a - b) < 0$.

Следовательно, разность $ac - bc$ отрицательна, что по определению означает $ac < bc$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Теорема 5 (Почленное сложение неравенств)

Формулировка: Если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. То есть, если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Доказательство:

По условию $a > b$ и $c > d$. По определению это означает, что $a - b > 0$ и $c - d > 0$.

Рассмотрим разность левой и правой частей итогового неравенства: $(a + c) - (b + d)$.

Перегруппируем слагаемые: $a + c - b - d = (a - b) + (c - d)$.

Так как $(a - b)$ и $(c - d)$ — положительные числа, их сумма также является положительным числом.

Следовательно, $(a + c) - (b + d) > 0$, что по определению означает $a + c > b + d$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Теорема 6 (Почленное умножение неравенств)

Формулировка: Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство. То есть, если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Доказательство:

Рассмотрим разность $ac - bd$. Прибавим и вычтем из нее произведение $bc$: $ac - bc + bc - bd$.

Сгруппируем слагаемые: $(ac - bc) + (bc - bd) = c(a - b) + b(c - d)$.

Рассмотрим каждое слагаемое в полученной сумме.

Из условия $a > b$ следует, что $a - b > 0$. Так как $c > 0$, то произведение $c(a - b)$ является положительным числом.

Из условия $c > d$ следует, что $c - d > 0$. Так как $b > 0$, то произведение $b(c - d)$ является положительным числом.

Сумма двух положительных чисел $c(a - b)$ и $b(c - d)$ есть число положительное.

Следовательно, разность $ac - bd > 0$, что по определению означает $ac > bd$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.