Номер 892, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 892, страница 198.

892. (Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 верно неравенство:

1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел a и b.

2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.

а≥0, b≥0, c≥0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}; a+b\ge 2\sqrt{ab} \\ \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}; b+c\ge 2\sqrt{bc} \\ \frac{a+c}{2}\ge \sqrt{ac}; a+c\ge 2\sqrt{ac} \\ \begin{array}{cc} & a+b\ge 2\sqrt{ab}\\ +& b+c\ge 2\sqrt{bc}\\ & \underline{a+c\ge 2\sqrt{ac}}\end{array} \\ \left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge 8\sqrt{ab·bc·ac} \\ \left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge 8abc \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a+1}{2}\ge \sqrt{a}; a+1\ge 2\sqrt{a} \\ \frac{b+1}{2}\ge \sqrt{6}; b+1\ge 2\sqrt{b} \\ \frac{a+c}{2}\ge \sqrt{ac}; a+c\ge 2\sqrt{ac} \\ \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}; b+c\ge 2\sqrt{bc} \\ \begin{array}{cl} & a+1\ge 2\sqrt{a}\\ \times & \begin{array}{l}b+1\ge 2\sqrt{b}\\ a+c\ge 2\sqrt{ac}\end{array}\\ & \underline{b+c\ge 2\sqrt{bc}}\end{array} \\ \left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge 16\sqrt{abacbc} \\ \left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge 16abc \\ \frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{16}\ge abc \end{gathered}$$

1) Для доказательства неравенств используются два основных инструмента:

• Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Оно утверждает, что для любых неотрицательных чисел их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического.
• Свойство умножения неравенств. Если есть два или более верных неравенства, у которых все части неотрицательны, то их можно почленно перемножить, и полученное неравенство также будет верным.

Неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$, имеет вид:

$$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$

Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Ответ: При доказательстве используется неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для неотрицательных чисел $a$ и $b$, которое записывается как $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, а также свойство почленного умножения верных неравенств с неотрицательными частями.

2) Ниже приведено доказательство для каждого из неравенств.

а) Докажем неравенство $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc$ для $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$.

Применим неравенство Коши для трех пар неотрицательных чисел: $(a, b)$, $(b, c)$ и $(a, c)$.

1. Для чисел $a$ и $b$: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, откуда следует, что $a+b \ge 2\sqrt{ab}$.
2. Для чисел $b$ и $c$: $\frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}$, откуда следует, что $b+c \ge 2\sqrt{bc}$.
3. Для чисел $a$ и $c$: $\frac{a+c}{2} \ge \sqrt{ac}$, откуда следует, что $a+c \ge 2\sqrt{ac}$.

Так как по условию $a, b, c \ge 0$, все части полученных неравенств (например, $a+b$ и $2\sqrt{ab}$) являются неотрицательными. Следовательно, мы можем их почленно перемножить:

$(a+b)(b+c)(a+c) \ge (2\sqrt{ab}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac})$

Преобразуем правую часть произведения:

$(a+b)(b+c)(a+c) \ge 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ac} = 8\sqrt{a^2b^2c^2}$

Поскольку $a, b, c$ неотрицательны, то $\sqrt{a^2b^2c^2} = abc$.

В результате получаем искомое неравенство:

$(a+b)(b+c)(a+c) \ge 8abc$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем трехкратного применения неравенства Коши для пар $(a, b)$, $(b, c)$, $(a, c)$ и последующего перемножения полученных неравенств.

б) Докажем неравенство $\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge abc$ для $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$.

Для доказательства применим неравенство Коши к четырем парам неотрицательных чисел: $(a, 1)$, $(b, 1)$, $(a, c)$ и $(b, c)$.

1. Для чисел $a$ и $1$: $\frac{a+1}{2} \ge \sqrt{a \cdot 1}$, откуда $a+1 \ge 2\sqrt{a}$.
2. Для чисел $b$ и $1$: $\frac{b+1}{2} \ge \sqrt{b \cdot 1}$, откуда $b+1 \ge 2\sqrt{b}$.
3. Для чисел $a$ и $c$: $\frac{a+c}{2} \ge \sqrt{ac}$, откуда $a+c \ge 2\sqrt{ac}$.
4. Для чисел $b$ и $c$: $\frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}$, откуда $b+c \ge 2\sqrt{bc}$.

Все части этих неравенств неотрицательны, поэтому мы можем их почленно перемножить:

$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge (2\sqrt{a}) \cdot (2\sqrt{b}) \cdot (2\sqrt{ac}) \cdot (2\sqrt{bc})$

Упростим правую часть этого неравенства:

$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge 16\sqrt{a \cdot b \cdot ac \cdot bc} = 16\sqrt{a^2b^2c^2}$

Так как $a, b, c \ge 0$, то $\sqrt{a^2b^2c^2} = abc$.

Таким образом, мы получаем неравенство:

$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge 16abc$

Разделив обе части на 16 (положительное число), мы получим то, что требовалось доказать:

$\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge abc$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем применения неравенства Коши к четырем парам чисел $(a, 1)$, $(b, 1)$, $(a, c)$, $(b, c)$, с последующим перемножением полученных результатов и делением на 16.