Номер 894, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 894, страница 199.

894. (Задача-исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.

1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану BO.

2) На луче BO отложите отрезок OD = BO и соедините точку D с точками A и C. Какой вид имеет четырёхугольник ABCD?

3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните 2m_b с суммой BC + AB (m_b — медиана BO).

4) Составьте аналогичные неравенства для 2mₐ и 2m_c.

5) Используя сложение неравенств, оцените сумму медиан треугольника mₐ + m_b + m_c.

ВО - медиана $△АBC$, отложим DО=BO

Получили, что АО=OC (т.к. ВО - мериана $△АBC$), ВО=OD (по построению).

Значит, АВСD - параллелограмм по признаку паралелограмма.

Рассмотрим $△АBC$. Используя неравенство треугольника $BD<AB+AD, 2·BO<AB+AD.$

По свойству противолежащих сторон параллелограмма AD=BC

$2BO<AB+BC; BO<\frac{AB+BC}{2}; BO=m_b<\frac{a+c}{2}$

Аналогично, $m_a<\frac{b+c}{2}; m_c<\frac{a+b}{2},$ где BC=a, AB=c, AC=b

$$\begin{gathered} m_b+m_a+m_c<\frac{a+c}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+b}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c<\frac{2a+2b+2c}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c<\frac{2\left(a+b+c\right)}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c<a+b+c \end{gathered}$$

Значит, сумма медиан треугольника меньше его периметра.

Найдем теперь нижнюю границу суммы медиан треугольника. Для этого рассмотрим $△АBC$ и $△BOC.$ Используя неравенство треугольника: 

$$\begin{gathered} \begin{array}{cc}+& \begin{array}{c}АВ<AO+BO\\ BC<BO+OC\end{array}\end{array} \\ \overline{AB+BC<\left(AO+OC\right)+2BO} \\ AB+BC<AC+2BO \\ AB+BC-AC<2BO \\ BO>\frac{AB+BC-AC}{2}, \text{т.е.} \\ {m}_b>\frac{a+c-b}{2} \end{gathered}$$

Аналогично,

$$\begin{gathered} m_a>\frac{b+c-a}{2}, \\ {m}_c>\frac{a+b-c}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c>\frac{a+c-b}{2}+\frac{b+c-a}{2}+\frac{a+b-c}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c>\frac{a+c-b+b+c-a+a+b-c}{2} \\ {m}_a+m_b+m_c>\frac{a+b+c}{2} \\ \frac{a+b+c}{2}<m_a+m_b+m_c<a+b+c \end{gathered}$$

1) Начертим произвольный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $B$ медиану $BO$ к стороне $AC$. По определению медианы, точка $O$ является серединой отрезка $AC$, поэтому $AO = OC$.

2) На луче $BO$ за точкой $O$ отложим отрезок $OD$ так, что его длина равна длине медианы $BO$ ($OD = BO$). Соединим точку $D$ с вершинами $A$ и $C$. Рассмотрим полученный четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По определению медианы $BO$, точка $O$ делит сторону $AC$ пополам ($AO = OC$). По нашему построению, точка $O$ также делит отрезок $BD$ пополам ($BO = OD$). Четырёхугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.
Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

3) Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны — $AB$, $AD$ и $BD$. Обозначим длину медианы $BO$ как $m_b$. По построению из пункта 2, длина стороны $BD = BO + OD = m_b + m_b = 2m_b$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм (что было доказано в пункте 2), его противолежащие стороны равны, следовательно, $AD = BC$. Применим к треугольнику $ABD$ неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Таким образом, $AB + AD > BD$. Подставив в это неравенство $AD = BC$ и $BD = 2m_b$, получим: $AB + BC > 2m_b$.
Ответ: $2m_b < BC + AB$.

4) Обозначим длины сторон треугольника $ABC$ как $a=BC$, $b=AC$ и $c=AB$. Медианы, проведенные к этим сторонам, обозначим $m_a$, $m_b$ и $m_c$ соответственно. В пункте 3 мы вывели неравенство для медианы $m_b$: $2m_b < c + a$. По аналогии, удвоенная длина каждой медианы меньше суммы длин двух других сторон треугольника, к которым она не проведена.
Для медианы $m_a$ (проведенной к стороне $a = BC$): $2m_a < b + c$ или $2m_a < AC + AB$.
Для медианы $m_c$ (проведенной к стороне $c = AB$): $2m_c < a + b$ или $2m_c < BC + AC$.
Ответ: Аналогичные неравенства: $2m_a < AC + AB$ и $2m_c < BC + AC$.

5) Для оценки суммы медиан $m_a + m_b + m_c$ сложим три неравенства, полученные в предыдущих пунктах:
$2m_a < b + c$
$2m_b < a + c$
$2m_c < a + b$
Сложим левые и правые части этих неравенств:
$2m_a + 2m_b + 2m_c < (b + c) + (a + c) + (a + b)$
Вынесем общий множитель 2 в обеих частях:
$2(m_a + m_b + m_c) < 2a + 2b + 2c$
$2(m_a + m_b + m_c) < 2(a + b + c)$
Разделив обе части на 2, получим итоговое неравенство:
$m_a + m_b + m_c < a + b + c$
Сумма $a + b + c$ является периметром $P$ треугольника $ABC$. Таким образом, мы доказали, что сумма длин всех медиан треугольника всегда меньше его периметра.
Ответ: Сумма длин медиан треугольника меньше его периметра: $m_a + m_b + m_c < P$, где $P$ — периметр треугольника.