Номер 891, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 891, страница 198.

891. Пусть α и β — углы треугольника. Известно, что

Оцените величину третьего угла.

$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{1)}}& \begin{array}{cc}+& \begin{array}{c}58\mathrm{°}\le \alpha \le 59\mathrm{°}\\ 102\mathrm{°}\le \mathrm{\beta }\le 103\mathrm{°}\end{array}\\ & \overline{160\mathrm{°}\le \alpha +\beta \le 162\mathrm{°}}\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{2)}} 160\mathrm{°}\le \alpha +\beta \le 162\mathrm{°} \\ -160\mathrm{°}\ge -\left(\alpha +\beta \right)\ge -162\mathrm{°} \\ -162\mathrm{°}\le -\left(\alpha +\beta \right)\le -160\mathrm{°} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{3) }}-162\mathrm{°}+180\mathrm{°}\le 180\mathrm{°}-\left(\alpha +\beta \right)\le -160\mathrm{°}+180\mathrm{°} \\ 18\mathrm{°}\le 180\mathrm{°}-\left(\alpha +\beta \right)\le 20\mathrm{°} \end{gathered}$$

Ответ: $18\mathrm{°}\le 180\mathrm{°}-\left(\alpha +\beta \right)\le 20\mathrm{°}18°\; \backslash le\; 180°\; -\; (\backslash alpha\; +\; \backslash beta)\; \backslash le\; 20°$

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Из этого соотношения мы можем выразить третий угол $\gamma$: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

В условии задачи даны следующие оценки для углов $\alpha$ и $\beta$:
$58^\circ \le \alpha \le 59^\circ$
$102^\circ \le \beta \le 103^\circ$

Чтобы оценить величину угла $\gamma$, нам сначала нужно найти диапазон значений для суммы углов $(\alpha + \beta)$. Для этого сложим почленно данные неравенства. Минимальное значение суммы будет равно сумме минимальных значений углов, а максимальное — сумме максимальных.

Минимальное значение суммы $(\alpha + \beta)$:
$(\alpha + \beta)_{min} = \alpha_{min} + \beta_{min} = 58^\circ + 102^\circ = 160^\circ$.

Максимальное значение суммы $(\alpha + \beta)$:
$(\alpha + \beta)_{max} = \alpha_{max} + \beta_{max} = 59^\circ + 103^\circ = 162^\circ$.

Таким образом, для суммы углов $\alpha + \beta$ справедливо двойное неравенство:
$160^\circ \le \alpha + \beta \le 162^\circ$.

Теперь, используя выражение $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$, мы можем найти оценку для угла $\gamma$.
Чтобы найти минимальное значение $\gamma$, нужно из $180^\circ$ вычесть максимальное значение суммы $(\alpha + \beta)$:
$\gamma_{min} = 180^\circ - (\alpha + \beta)_{max} = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$.

Чтобы найти максимальное значение $\gamma$, нужно из $180^\circ$ вычесть минимальное значение суммы $(\alpha + \beta)$:
$\gamma_{max} = 180^\circ - (\alpha + \beta)_{min} = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

Следовательно, величина третьего угла $\gamma$ находится в следующих границах:
$18^\circ \le \gamma \le 20^\circ$.

Ответ: $18^\circ \le \gamma \le 20^\circ$.