Номер 897, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Сложение и умножение числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 897, страница 199.

897. Докажите, что:

а) $9a+\frac{1}{a}>69a\; +\; \backslash frac\{1\}\{a\}\; >\; 6$ при a>0

$9a+\frac{1}{a}-6=\frac{9a^2-6a+1}{a}=\frac{{\left(3a-1\right)}^2}{a}\ge 0$

Т.к. ${\left(3a+1\right)}^2\ge 0$ при любом значении $aa$ и $a>0a>0$ по условию

б) $25b+\frac{1}{b}\le -1025b\; +\; \backslash frac\{1\}\{b\}\; \backslash le\; -10$ при b<0

$25b+\frac{1}{b}+10=\frac{25b^2+10b+1}{b}=\frac{{\left(5b+1\right)}^2}{b}\le 0,$,

Т.к. ${\left(5b+1\right)}^2\ge 0$ при любом значении b и по условию

a)

Для доказательства неравенства $9a + \frac{1}{a} \ge 6$ при $a > 0$ преобразуем его.
Перенесем все члены в левую часть: $9a - 6 + \frac{1}{a} \ge 0$
Поскольку по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $a$, при этом знак неравенства не изменится: $a \cdot (9a - 6 + \frac{1}{a}) \ge a \cdot 0$
$9a^2 - 6a + 1 \ge 0$
Выражение в левой части является полным квадратом разности: $(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 1 + 1^2 \ge 0$
$(3a - 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, неравенство $(3a - 1)^2 \ge 0$ является верным для любого значения $a$.
Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $9a + \frac{1}{a} \ge 6$ верно при всех $a > 0$.
Ответ: Неравенство доказано.

б)

Для доказательства неравенства $25b + \frac{1}{b} \le -10$ при $b < 0$ преобразуем его.
Перенесем все члены в левую часть: $25b + 10 + \frac{1}{b} \le 0$
Поскольку по условию $b < 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $b$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $b \cdot (25b + 10 + \frac{1}{b}) \ge b \cdot 0$
$25b^2 + 10b + 1 \ge 0$
Выражение в левой части является полным квадратом суммы: $(5b)^2 + 2 \cdot (5b) \cdot 1 + 1^2 \ge 0$
$(5b + 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, неравенство $(5b + 1)^2 \ge 0$ является верным для любого значения $b$.
Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $25b + \frac{1}{b} \le -10$ верно при всех $b < 0$.
Ответ: Неравенство доказано.