Страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

898. Известно, что Х — множество простых чисел, не превосходящих 20, а Y — множество двузначных чисел, не превосходящих 20. Задайте множества Х и Y перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение.

$$\begin{gathered} X=\{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\} \\ Y=\{10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20\} \\ X\cap Y=\{11; 13; 17; 19\} \\ X\cup Y=\{2; 3; 5; 7; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; \\ 17; 18; 19; 20\} \end{gathered}$$

Задайте множества X и Y перечислением элементов

Множество X — это множество простых чисел, не превосходящих 20. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Выпишем все простые числа, которые меньше или равны 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Множество Y — это множество двузначных чисел, не превосходящих 20. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99. Выпишем все двузначные числа, которые меньше или равны 20: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Ответ: $X = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$; $Y = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$.

Найдите их пересечение

Пересечение множеств X и Y (обозначается как $X \cap Y$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат одновременно и множеству X, и множеству Y. Для нахождения пересечения сравним элементы заданных множеств:

$X = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$

$Y = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$

Общими элементами для обоих множеств являются числа: 11, 13, 17 и 19.

Ответ: $X \cap Y = \{11, 13, 17, 19\}$.

Найдите их объединение

Объединение множеств X и Y (обозначается как $X \cup Y$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Для нахождения объединения мы должны взять все элементы из множества X и добавить к ним те элементы из множества Y, которых еще нет в нашем новом множестве.

Элементы множества X: $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$.

Элементы множества Y, которые не входят в X: $\{10, 12, 14, 15, 16, 18, 20\}$.

Соединив все эти элементы и упорядочив их по возрастанию, получим искомое множество.

Ответ: $X \cup Y = \{2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$.

899. Задайте путём перечисления элементов множество А двузначных чисел, являющихся квадратами натуральных чисел, и множество В двузначных чисел, кратных 16. Найдите пересечение и объединение этих множеств.

$$\begin{gathered} A=\{16; 25; 36; 49; 64; 81\} \\ B=\{16; 32; 48; 64; 80; 96\} \\ A\cap B=\{16; 64\} \\ A\cup B=\{16; 25; 32; 36; 48; 49; 64; 80; 81; 96\} \end{gathered}$$

Множество A: двузначные числа, являющиеся квадратами натуральных чисел

По условию, нам нужно найти все двузначные числа (от 10 до 99), которые являются квадратами натуральных чисел. Для этого будем последовательно возводить натуральные числа в квадрат, пока результат не выйдет за пределы двузначных чисел.

$3^2 = 9$ (не является двузначным)
$4^2 = 16$ (является двузначным)
$5^2 = 25$ (является двузначным)
$6^2 = 36$ (является двузначным)
$7^2 = 49$ (является двузначным)
$8^2 = 64$ (является двузначным)
$9^2 = 81$ (является двузначным)
$10^2 = 100$ (не является двузначным)

Таким образом, множество A состоит из следующих элементов:

Ответ: $A = \{16, 25, 36, 49, 64, 81\}$.

Множество B: двузначные числа, кратные 16

Теперь найдем все двузначные числа, которые делятся на 16 без остатка. Будем умножать 16 на натуральные числа, пока результат остается в диапазоне от 10 до 99.

$16 \cdot 1 = 16$
$16 \cdot 2 = 32$
$16 \cdot 3 = 48$
$16 \cdot 4 = 64$
$16 \cdot 5 = 80$
$16 \cdot 6 = 96$
$16 \cdot 7 = 112$ (не является двузначным)

Таким образом, множество B состоит из следующих элементов:

Ответ: $B = \{16, 32, 48, 64, 80, 96\}$.

Пересечение множеств A и B

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие одновременно и множеству A, и множеству B. Сравним полученные множества:

$A = \{16, 25, 36, 49, 64, 81\}$
$B = \{16, 32, 48, 64, 80, 96\}$

Общими для обоих множеств являются числа 16 и 64.

Ответ: $A \cap B = \{16, 64\}$.

Объединение множеств A и B

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств (либо A, либо B, либо обоим). Для нахождения объединения мы должны перечислить все элементы обоих множеств, не допуская повторений.

Возьмем все элементы из множества A и добавим к ним те элементы из B, которых нет в A: $\{16, 25, 36, 49, 64, 81\}$ и $\{32, 48, 80, 96\}$.

Объединив их и расположив в порядке возрастания, получим:

Ответ: $A \cup B = \{16, 25, 32, 36, 48, 49, 64, 80, 81, 96\}$.

900. Найдите пересечение и объединение:

а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243 и 6321;

б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»;

в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел;

г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}A=\{1; 2; 3; 4\} \\ B=\{1; 2; 3; 6\} \\ A\cap B=\{1; 2; 3\} \\ A\cup B=\{1; 2; 3; 4; 6\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}A=\left\{\text{г,е,о,м,т,р,и,я}\right\} \\ B=\left\{\text{г,e,o,p,a,φ,u,я}\right\} \\ A\cap B=\left\{\text{г,e,o,p,u,я}\right\} \\ A\cup B=\left\{\text{г,e,o,м,т,р,u,я,a,φ}\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}A=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37\} \\ B=\{10,11,12,13,14,15,16,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},99\} \\ A\cap B=\{11,13,17,19,23,29,31,37\} \\ A\cup B=\{2,3,5,7,11,10,12,13,14,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},99\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}A=\{10,11,12,13,14,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},99\} \\ B=\{19,38,57,76,95,114,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ A\cap B=\{19,38,57,76,95\} \\ A\cup B=\{10,11,12,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}99,114,133,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \end{gathered}$$

а) Обозначим через $A$ множество цифр, используемых в записи числа 11 243, и через $B$ множество цифр, используемых в записи числа 6321.
Множество $A$ состоит из уникальных цифр числа 11 243: $A = \{1, 2, 3, 4\}$.
Множество $B$ состоит из уникальных цифр числа 6321: $B = \{1, 2, 3, 6\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество элементов, которые принадлежат и $A$, и $B$.
$A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств ($A$ или $B$).
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}$.

Ответ: Пересечение: $\{1, 2, 3\}$; Объединение: $\{1, 2, 3, 4, 6\}$.

б) Обозначим через $A$ множество букв, используемых в слове «геометрия», и через $B$ множество букв, используемых в слове «география».
Множество $A$ состоит из уникальных букв слова «геометрия»: $A = \{г, е, о, м, т, р, и, я\}$.
Множество $B$ состоит из уникальных букв слова «география»: $B = \{г, е, о, р, а, ф, и, я\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит буквы, которые есть в обоих словах.
$A \cap B = \{г, е, о, м, т, р, и, я\} \cap \{г, е, о, р, а, ф, и, я\} = \{г, е, о, р, и, я\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ содержит все буквы, которые есть хотя бы в одном из слов.
$A \cup B = \{г, е, о, м, т, р, и, я\} \cup \{г, е, о, р, а, ф, и, я\} = \{а, г, е, и, м, о, р, т, ф, я\}$.

Ответ: Пересечение: $\{г, е, о, р, и, я\}$; Объединение: $\{а, г, е, и, м, о, р, т, ф, я\}$.

в) Обозначим через $A$ множество простых чисел, не превосходящих 40, и через $B$ множество двузначных чисел.
Простые числа, не превосходящие 40 (то есть $\le 40$): $A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.
Множество двузначных чисел: $B = \{10, 11, 12, \dots, 99\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество простых чисел, которые являются двузначными.
$A \cap B = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, состоящее из всех двузначных чисел и всех простых чисел, не превосходящих 40. Поскольку двузначные простые числа уже входят в множество двузначных чисел, в объединение нужно добавить только однозначные простые числа.
$A \cup B = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{10, 11, 12, \dots, 99\}$.

Ответ: Пересечение: $\{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$; Объединение: множество, состоящее из всех двузначных чисел, а также чисел 2, 3, 5, 7.

г) Обозначим через $A$ множество двузначных чисел, и через $B$ множество натуральных чисел, кратных 19.
Множество двузначных чисел: $A = \{10, 11, 12, \dots, 99\}$.
Множество натуральных чисел, кратных 19: $B = \{19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, \dots\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество двузначных чисел, которые кратны 19.
$19 \cdot 1 = 19$
$19 \cdot 2 = 38$
$19 \cdot 3 = 57$
$19 \cdot 4 = 76$
$19 \cdot 5 = 95$
$19 \cdot 6 = 114$ (уже не двузначное).
Следовательно, $A \cap B = \{19, 38, 57, 76, 95\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, состоящее из всех двузначных чисел и всех чисел, кратных 19. Поскольку двузначные числа, кратные 19, уже входят в множество $A$, в объединение нужно добавить все остальные числа, кратные 19 (то есть трехзначные и более).
$A \cup B = \{10, 11, \dots, 99\} \cup \{114, 133, 152, \dots\}$.

Ответ: Пересечение: $\{19, 38, 57, 76, 95\}$; Объединение: множество, состоящее из всех двузначных чисел, а также всех натуральных чисел, кратных 19 и не являющихся двузначными (т.е. больших 99).

901. Пусть А — множество квадратов натуральных чисел, В — множество кубов натуральных чисел. Принадлежит ли:

а) пересечению множеств А и В число 1; 4; 64;

б) объединению множеств А и В число 16; 27; 64?

$$\begin{gathered} A=\{1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \\ B=\{1; 8; 27; 64; 125; 216,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\} \end{gathered}$$

a) $1\in A\cap B; 4\mathrm{\notin }A\cap B; 64\in A\cap B1\; \backslash in\; A\; \backslash cap\; B;\; 4\; \backslash notin\; A\; \backslash cap\; B;\; 64\; \backslash in\; A\; \backslash cap\; B$

б) $16\in A\cup B; 27\in A\cup B; 64\in A\cup B16\; \backslash in\; A\; \backslash cup\; B;\; 27\; \backslash in\; A\; \backslash cup\; B;\; 64\; \backslash in\; A\; \backslash cup\; B$

По условию задачи даны два множества:

$A$ — множество квадратов натуральных чисел: $A = \{n^2 | n \in \mathbb{N}\} = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...\}$.

$B$ — множество кубов натуральных чисел: $B = \{m^3 | m \in \mathbb{N}\} = \{1, 8, 27, 64, 125, ...\}$.

а) пересечению множеств A и B число 1; 4; 64;

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Чтобы число принадлежало пересечению, оно должно быть и квадратом, и кубом натурального числа.

Проверим число 1:
Число 1 является квадратом натурального числа: $1 = 1^2$, поэтому $1 \in A$.
Число 1 является кубом натурального числа: $1 = 1^3$, поэтому $1 \in B$.
Следовательно, число 1 принадлежит пересечению множеств $A$ и $B$.

Проверим число 4:
Число 4 является квадратом натурального числа: $4 = 2^2$, поэтому $4 \in A$.
Число 4 не является кубом натурального числа (так как $1^3 = 1$, а $2^3 = 8$), поэтому $4 \notin B$.
Следовательно, число 4 не принадлежит пересечению множеств $A$ и $B$.

Проверим число 64:
Число 64 является квадратом натурального числа: $64 = 8^2$, поэтому $64 \in A$.
Число 64 является кубом натурального числа: $64 = 4^3$, поэтому $64 \in B$.
Следовательно, число 64 принадлежит пересечению множеств $A$ и $B$.

Ответ: число 1 принадлежит, число 4 не принадлежит, число 64 принадлежит.

б) объединению множеств A и B число 16; 27; 64?

Объединение множеств $A \cup B$ содержит элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Чтобы число принадлежало объединению, оно должно быть или квадратом, или кубом натурального числа.

Проверим число 16:
Число 16 является квадратом натурального числа: $16 = 4^2$, поэтому $16 \in A$.
Так как число 16 принадлежит множеству $A$, оно принадлежит и объединению $A \cup B$.

Проверим число 27:
Число 27 не является квадратом натурального числа.
Число 27 является кубом натурального числа: $27 = 3^3$, поэтому $27 \in B$.
Так как число 27 принадлежит множеству $B$, оно принадлежит и объединению $A \cup B$.

Проверим число 64:
Число 64 является квадратом натурального числа: $64 = 8^2$, поэтому $64 \in A$.
Так как число 64 принадлежит множеству $A$ (а также и множеству $B$), оно принадлежит и объединению $A \cup B$.

Ответ: число 16 принадлежит, число 27 принадлежит, число 64 принадлежит.