Страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

869. Известно, что а, b, с и d — положительные числа, причём a > b, d ‹ b, c > a. Расположите в порядке возрастания числа

1a, 1b, 1c, 1d.

$$\begin{gathered} a>0, b>0, c>0, d>0 \\ a>b, d<b, c>a \end{gathered}$$

$\frac{1}{c}; \frac{1}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{d}$

По условию задачи даны четыре положительных числа $a, b, c, d$ и следующие неравенства: $a > b$, $d < b$, $c > a$.

Чтобы расположить в порядке возрастания дроби $ \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d} $, сначала необходимо упорядочить сами числа $a, b, c, d$.

Из неравенств $c > a$ и $a > b$ следует, что $c > a > b$.

Также по условию дано, что $d < b$ (это эквивалентно $b > d$).

Объединяя все эти соотношения в одну общую цепочку неравенств, получаем: $c > a > b > d$.

Поскольку все числа по условию положительны, мы имеем $c > a > b > d > 0$.

Теперь рассмотрим свойство обратных чисел. Для любых двух положительных чисел $x$ и $y$, если $x > y$, то их обратные величины соотносятся как $ \frac{1}{x} < \frac{1}{y} $. Иными словами, для положительных чисел операция взятия обратной величины меняет знак неравенства на противоположный.

Применим это правило к нашей цепочке неравенств $c > a > b > d$. При переходе к обратным величинам знаки неравенств изменятся на противоположные: $ \frac{1}{c} < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{d} $.

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $ \frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{d} $.

Ответ: $ \frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{d} $.

870. (Для работы в парах.) Известно, что a — положительное число.

а) Расположите в порядке возрастания числа:

б) Расположите в порядке убывания числа:

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте допущенные ошибки.

$a>0a>0$

a) $-a; a\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right); a\sqrt{3}; 2a; 3a-a;\; a\; (\backslash sqrt\{3\}-\backslash sqrt\{2\});\; a\backslash sqrt\{3\};\; 2a;\; 3a$

б) $6a; a\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right); -a; -a\sqrt{5}; -5a-16a;\; a(\backslash sqrt\{7\}-\backslash sqrt\{6\});\; -a;\; -a\backslash sqrt\{5\};\; -5a-1$

а) Расположите в порядке возрастания числа: $2a, a\sqrt{3}, -a, a(\sqrt{3}-\sqrt{2}), 3a$.

По условию, $a$ — положительное число, то есть $a > 0$. Чтобы сравнить данные числа, мы можем сравнить их коэффициенты, разделив каждое число на $a$. Так как $a > 0$, знак неравенства при делении не изменится.

Получим следующие коэффициенты: $2, \sqrt{3}, -1, (\sqrt{3}-\sqrt{2}), 3$.

Теперь сравним эти коэффициенты в порядке возрастания.
1. Коэффициент $-1$ является единственным отрицательным числом, следовательно, он наименьший.
2. Сравним остальные (положительные) коэффициенты: $2, \sqrt{3}, (\sqrt{3}-\sqrt{2}), 3$.
Для сравнения воспользуемся тем, что $\sqrt{2} \approx 1.414$, а $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Тогда $\sqrt{3}-\sqrt{2} \approx 1.732 - 1.414 = 0.318$.
Теперь очевиден порядок чисел: $0.318 < 1.732 < 2 < 3$.
Проведем строгое сравнение без приближенных вычислений:
- Сравним $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ и $1$. Преобразуем выражение: $\sqrt{3}-\sqrt{2} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{3-2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$ и $\sqrt{2} > 1$, то $\sqrt{3}+\sqrt{2} > 2$, а значит $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} < \frac{1}{2} < 1$.
- Сравним $\sqrt{3}$ и $2$. Так как $3 < 4$, то $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$.
Таким образом, мы получили следующую упорядоченную последовательность для коэффициентов:
$-1 < \sqrt{3}-\sqrt{2} < \sqrt{3} < 2 < 3$.

3. Умножим все части этого неравенства на $a$. Так как $a > 0$, знаки неравенства сохранятся:
$-a < a(\sqrt{3}-\sqrt{2}) < a\sqrt{3} < 2a < 3a$.

Ответ: $-a, a(\sqrt{3}-\sqrt{2}), a\sqrt{3}, 2a, 3a$.

б) Расположите в порядке убывания числа: $6a, -a\sqrt{5}, a(\sqrt{7}-\sqrt{6}), -a, -5a-1$.

По условию $a > 0$. Разделим числа на две группы: положительные и отрицательные.
Положительные числа: $6a$ и $a(\sqrt{7}-\sqrt{6})$ (так как $\sqrt{7} > \sqrt{6}$ implies $\sqrt{7}-\sqrt{6} > 0$).
Отрицательные числа: $-a\sqrt{5}$, $-a$, $-5a-1$ (так как $a > 0$, то $a\sqrt{5}>0$, $a>0$, $5a+1>0$).

Сначала сравним положительные числа, расположив их по убыванию.
Для этого сравним коэффициенты $6$ и $\sqrt{7}-\sqrt{6}$.
Преобразуем выражение: $\sqrt{7}-\sqrt{6} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \frac{7-6}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$.
Так как $\sqrt{7} > \sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{6} > \sqrt{4} = 2$, то их сумма $\sqrt{7}+\sqrt{6} > 4$.
Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} < \frac{1}{4}$.
Поскольку $6 > \frac{1}{4}$, то $6 > \sqrt{7}-\sqrt{6}$. Умножив на $a > 0$, получаем $6a > a(\sqrt{7}-\sqrt{6})$.
Порядок убывания для положительных чисел: $6a, a(\sqrt{7}-\sqrt{6})$.

Теперь сравним отрицательные числа, также расположив их по убыванию (от наибольшего к наименьшему, т.е. от наименее отрицательного к наиболее отрицательному).
Сравним $-a$, $-a\sqrt{5}$ и $-5a-1$.
1. Сравним $-a$ и $-a\sqrt{5}$. Так как $a>0$ и $\sqrt{5} > 1$, то $a\sqrt{5} > a$. Умножая обе части на $-1$, меняем знак неравенства: $-a\sqrt{5} < -a$, или $-a > -a\sqrt{5}$.
2. Сравним $-a\sqrt{5}$ и $-5a-1$. Это эквивалентно сравнению $a\sqrt{5}$ и $5a+1$. Так как $a>0$, оба выражения положительны, можно сравнить их квадраты: $(a\sqrt{5})^2 = 5a^2$ и $(5a+1)^2 = 25a^2+10a+1$. Разность $(25a^2+10a+1) - 5a^2 = 20a^2+10a+1$. Это выражение всегда положительно при $a>0$. Значит, $(5a+1)^2 > (a\sqrt{5})^2$, и следовательно $5a+1 > a\sqrt{5}$. Умножая на $-1$, получаем $-5a-1 < -a\sqrt{5}$, или $-a\sqrt{5} > -5a-1$.
Объединяя результаты (1) и (2), получаем: $-a > -a\sqrt{5} > -5a-1$.
Порядок убывания для отрицательных чисел: $-a, -a\sqrt{5}, -5a-1$.

Любое положительное число больше любого отрицательного. Соединяя обе упорядоченные группы, получаем итоговый порядок убывания:
$6a, a(\sqrt{7}-\sqrt{6}), -a, -a\sqrt{5}, -5a-1$.

Ответ: $6a, a(\sqrt{7}-\sqrt{6}), -a, -a\sqrt{5}, -5a-1$.

871. Известно, что 3 ‹ a ‹ 4. Оцените значение выражения:

а) 5а;

б) –а;

в) a + 2;

г) 5 – a;

д) 0,2a + 3.

a)

б)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3+2<a+2<4+2 \\ 5<a+2<6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-4<-a<-3 \\ 5-4<5-a<5-3 \\ 1<5-a<2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}3·0,2<0,2a<4·0,2 \\ 0,6<0,2a<0,8 \\ 0,6+3<0,2a+3<0,8+3 \\ 3,6<0,2a+3<3,8 \end{gathered}$$

а) Дано неравенство $3 < a < 4$. Для того чтобы оценить значение выражения $5a$, необходимо умножить все части этого двойного неравенства на 5. Поскольку 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.
$3 \cdot 5 < a \cdot 5 < 4 \cdot 5$
$15 < 5a < 20$
Ответ: $15 < 5a < 20$.

б) Дано неравенство $3 < a < 4$. Чтобы оценить значение выражения $-a$, необходимо умножить все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$3 \cdot (-1) > a \cdot (-1) > 4 \cdot (-1)$
$-3 > -a > -4$
Для удобства записи перепишем неравенство в порядке возрастания:
$-4 < -a < -3$
Ответ: $-4 < -a < -3$.

в) Дано неравенство $3 < a < 4$. Чтобы оценить значение выражения $a + 2$, нужно прибавить 2 к каждой части неравенства. При сложении знаки неравенства не изменяются.
$3 + 2 < a + 2 < 4 + 2$
$5 < a + 2 < 6$
Ответ: $5 < a + 2 < 6$.

г) Дано неравенство $3 < a < 4$. Выражение $5 - a$ можно представить как $5 + (-a)$. Сначала оценим значение $-a$. Как мы выяснили в пункте б), из $3 < a < 4$ следует, что $-4 < -a < -3$. Теперь прибавим 5 к каждой части этого неравенства.
$5 + (-4) < 5 + (-a) < 5 + (-3)$
$1 < 5 - a < 2$
Ответ: $1 < 5 - a < 2$.

д) Дано неравенство $3 < a < 4$. Чтобы оценить выражение $0,2a + 3$, выполним действия пошагово. Сначала умножим все части исходного неравенства на 0,2. Так как 0,2 > 0, знаки неравенства сохраняются.
$3 \cdot 0,2 < a \cdot 0,2 < 4 \cdot 0,2$
$0,6 < 0,2a < 0,8$
Теперь прибавим 3 к каждой части полученного неравенства:
$0,6 + 3 < 0,2a + 3 < 0,8 + 3$
$3,6 < 0,2a + 3 < 3,8$
Ответ: $3,6 < 0,2a + 3 < 3,8$.

872. Зная, что 5 ‹ x ‹ 8, оцените значение выражения:

а) 6х;

б) –10х;

в) x – 5;

г) 3x + 2.

a)

б)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}5-5<x-5<8-5 \\ 0<x-5<3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}3·5<3x<3·8 \\ 15<3x<24 \\ 15+2<3x+2<24+2 \\ 17<3x+2<26 \end{gathered}$$

а)

Дано исходное неравенство $5 < x < 8$. Чтобы оценить значение выражения $6x$, необходимо умножить все три части неравенства на 6. Поскольку 6 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$5 \cdot 6 < x \cdot 6 < 8 \cdot 6$

Выполняем умножение:

$30 < 6x < 48$

Ответ: $30 < 6x < 48$.

б)

Используем исходное неравенство $5 < x < 8$. Чтобы оценить значение выражения $-10x$, необходимо умножить все части неравенства на -10. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$5 \cdot (-10) > x \cdot (-10) > 8 \cdot (-10)$

Выполняем умножение:

$-50 > -10x > -80$

Для удобства восприятия принято записывать двойные неравенства так, чтобы числа располагались в порядке возрастания. Перепишем полученное неравенство:

$-80 < -10x < -50$

Ответ: $-80 < -10x < -50$.

в)

Начнем с неравенства $5 < x < 8$. Чтобы оценить значение выражения $x - 5$, нужно вычесть 5 из каждой части неравенства. При вычитании числа знаки неравенства не изменяются:

$5 - 5 < x - 5 < 8 - 5$

Выполняем вычитание:

$0 < x - 5 < 3$

Ответ: $0 < x - 5 < 3$.

г)

Для оценки выражения $3x + 2$, исходя из неравенства $5 < x < 8$, выполним действия в два шага.

1. Сначала умножим все части неравенства на 3. Знак неравенства не меняется, так как 3 > 0:

$5 \cdot 3 < x \cdot 3 < 8 \cdot 3$

$15 < 3x < 24$

2. Теперь прибавим 2 к каждой части нового неравенства. При сложении с числом знаки неравенства также не меняются:

$15 + 2 < 3x + 2 < 24 + 2$

$17 < 3x + 2 < 26$

Ответ: $17 < 3x + 2 < 26$.

873. Пользуясь тем, что 1,4 ‹ 2 ‹ 1,5, оцените значение выражения:

1,4<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$<1,5

a) 1,4+1<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$+1<1,5+1

2,4<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$+1<2,5

б) 1,4-1<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$-1<1,5-1

0,4<$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$-1<0,5

в)-1,5<$-\sqrt{2}-\backslash sqrt\{2\}$<-1,4

2-1,5<2-$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$<2-1,4

0,5<2-$\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$<0,6

Чтобы оценить значение выражения $\sqrt{2} + 1$, используем данное в условии двойное неравенство $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Согласно свойствам неравенств, мы можем прибавить одно и то же число ко всем его частям, при этом знак неравенства сохранится. Прибавим 1 ко всем частям:

$1,4 + 1 < \sqrt{2} + 1 < 1,5 + 1$

Выполнив сложение, получим оценку для заданного выражения:

$2,4 < \sqrt{2} + 1 < 2,5$

Ответ: $2,4 < \sqrt{2} + 1 < 2,5$

Для оценки значения выражения $\sqrt{2} - 1$ воспользуемся тем же исходным неравенством $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Вычтем число 1 из всех частей неравенства. Знак неравенства при этом не изменится:

$1,4 - 1 < \sqrt{2} - 1 < 1,5 - 1$

Выполнив вычитание, получим искомую оценку:

$0,4 < \sqrt{2} - 1 < 0,5$

Ответ: $0,4 < \sqrt{2} - 1 < 0,5$

Для оценки значения выражения $2 - \sqrt{2}$ начнем с неравенства $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Сначала нам нужно получить оценку для $-\sqrt{2}$. Для этого умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1,4 > -\sqrt{2} > -1,5$

Для удобства перепишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):

$-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$

Теперь прибавим число 2 ко всем частям нового неравенства. Знак неравенства не изменится:

$2 - 1,5 < 2 - \sqrt{2} < 2 - 1,4$

Выполнив вычитание, получаем конечную оценку:

$0,5 < 2 - \sqrt{2} < 0,6$

Ответ: $0,5 < 2 - \sqrt{2} < 0,6$

874. Пользуясь тем, что 2,2 ‹ 5 ‹ 2,3 оцените значение выражения:

а) 5 + 2;

б) 3 - 5.

2,2<$\sqrt{5}\backslash sqrt\{5\}$<2,3

а) 2,2+2<$\sqrt{5}\backslash sqrt\{5\}$+2<2,3+2

4,2<$\sqrt{5}\backslash sqrt\{5\}$+2<4,3

б) -2,3<$-\sqrt{5}-\backslash sqrt\{5\}$<-2,2

3-2,3<3-$\sqrt{5}\backslash sqrt\{5\}$<3-2,2

0,7<3-$\sqrt{5}\backslash sqrt\{5\}$<0,8

а) Чтобы оценить значение выражения $\sqrt{5} + 2$, воспользуемся свойством неравенств, которое позволяет прибавлять к обеим частям неравенства одно и то же число. Исходное неравенство: $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$.
Прибавим ко всем частям этого двойного неравенства число 2:
$2,2 + 2 < \sqrt{5} + 2 < 2,3 + 2$
Выполним сложение:
$4,2 < \sqrt{5} + 2 < 4,3$
Таким образом, значение выражения $\sqrt{5} + 2$ находится в интервале от 4,2 до 4,3.
Ответ: $4,2 < \sqrt{5} + 2 < 4,3$.

б) Чтобы оценить значение выражения $3 - \sqrt{5}$, начнем с исходного неравенства: $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$.
Сначала умножим все части неравенства на -1. Согласно свойству неравенств, при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 2,2 > -1 \cdot \sqrt{5} > -1 \cdot 2,3$
$-2,2 > -\sqrt{5} > -2,3$
Для удобства перепишем это неравенство в порядке возрастания:
$-2,3 < -\sqrt{5} < -2,2$
Теперь прибавим ко всем частям полученного неравенства число 3:
$3 - 2,3 < 3 - \sqrt{5} < 3 - 2,2$
Выполним вычитание:
$0,7 < 3 - \sqrt{5} < 0,8$
Следовательно, значение выражения $3 - \sqrt{5}$ находится в интервале от 0,7 до 0,8.
Ответ: $0,7 < 3 - \sqrt{5} < 0,8$.

875. Сравните числа:

а) $\sqrt{11}\backslash sqrt\{11\}$+13>15, так как

$\sqrt{9}\backslash sqrt\{9\}$<$\sqrt{11}\backslash sqrt\{11\}$<$\sqrt{16}\backslash sqrt\{16\}$

3<$\sqrt{11}\backslash sqrt\{11\}$<4

3+13<$\sqrt{11}\backslash sqrt\{11\}$+13<4+13

16<$\sqrt{11}\backslash sqrt\{11\}$+13<17

б) $\sqrt{84}\backslash sqrt\{84\}$<7+$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$

($\sqrt{84}\backslash sqrt\{84\}$ )²<(7+$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$)²

84<49+14$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$+6

84-55<55+14$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$-55

29<14$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$

29²<(14$\sqrt{6}\backslash sqrt\{6\}$)²

841<1176

в) $\sqrt{8}\backslash sqrt\{8\}$-$\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$<2, так как

$\sqrt{4}\backslash sqrt\{4\}$<$\sqrt{8}\backslash sqrt\{8\}$<$\sqrt{9}\backslash sqrt\{9\}$

$\begin{array}{cc}+& \begin{array}{l}2<\sqrt{8}<3\\ -2<-\sqrt{3}<-1\end{array}\\ & \overline{0<\sqrt{8}-\sqrt{3}<2}\end{array}$

г) $\sqrt{47}\backslash sqrt\{47\}$-$\sqrt{7}\backslash sqrt\{7\}$<5, так как

$\sqrt{36}\backslash sqrt\{36\}$<$\sqrt{47}\backslash sqrt\{47\}$<$\sqrt{49}\backslash sqrt\{49\}$

$\begin{array}{cc}+& \begin{array}{l}6<\sqrt{47}<7\\ -3<-\sqrt{7}<-2\end{array}\\ & \overline{3<\sqrt{47}-\sqrt{7}<5}\end{array}$

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt{11} + 13$ и $15$, вычтем из обоих чисел $13$.
Получим $\sqrt{11} + 13 - 13$ и $15 - 13$.
Теперь нужно сравнить $\sqrt{11}$ и $2$.
Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты.
$(\sqrt{11})^2 = 11$
$2^2 = 4$
Поскольку $11 > 4$, то и $\sqrt{11} > \sqrt{4}$, а значит $\sqrt{11} > 2$.
Следовательно, если к большей величине ($\sqrt{11}$) прибавить $13$, результат будет больше, чем если к меньшей величине ($2$) прибавить $13$.
Таким образом, $\sqrt{11} + 13 > 15$.
Ответ: $\sqrt{11} + 13 > 15$.

б) Сравним числа $\sqrt{84}$ и $7 + \sqrt{6}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
$(\sqrt{84})^2 = 84$.
$(7 + \sqrt{6})^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 49 + 14\sqrt{6} + 6 = 55 + 14\sqrt{6}$.
Теперь сравним $84$ и $55 + 14\sqrt{6}$.
Вычтем из обоих выражений $55$:
$84 - 55$ и $14\sqrt{6}$
$29$ и $14\sqrt{6}$
Снова возведем оба положительных числа в квадрат:
$29^2 = 841$
$(14\sqrt{6})^2 = 14^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 196 \cdot 6 = 1176$
Поскольку $841 < 1176$, то $29 < 14\sqrt{6}$.
Проведя рассуждения в обратном порядке, получаем, что $\sqrt{84} < 7 + \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{84} < 7 + \sqrt{6}$.

в) Сравним числа $\sqrt{8} - \sqrt{3}$ и $2$.
Поскольку $8>3$, то $\sqrt{8} > \sqrt{3}$ и $\sqrt{8} - \sqrt{3} > 0$. Число $2$ также положительно.
Чтобы избавиться от знака минус, перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть предполагаемого неравенства. Нам нужно сравнить $\sqrt{8}$ и $2 + \sqrt{3}$.
Оба числа положительны, поэтому возведем их в квадрат.
$(\sqrt{8})^2 = 8$.
$(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$.
Теперь сравним $8$ и $7 + 4\sqrt{3}$.
Вычтем из обоих выражений $7$:
$8 - 7$ и $4\sqrt{3}$
$1$ и $4\sqrt{3}$
Возведем в квадрат оба положительных числа: $1^2 = 1$ и $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.
Так как $1 < 48$, то $1 < 4\sqrt{3}$.
Следовательно, $\sqrt{8} < 2 + \sqrt{3}$, а значит $\sqrt{8} - \sqrt{3} < 2$.
Ответ: $\sqrt{8} - \sqrt{3} < 2$.

г) Сравним числа $\sqrt{47} - \sqrt{7}$ и $5$.
Поскольку $47>7$, то $\sqrt{47} > \sqrt{7}$ и $\sqrt{47} - \sqrt{7} > 0$. Число $5$ также положительно.
Перенесем $\sqrt{7}$ в правую часть, чтобы работать с положительными числами. Сравним $\sqrt{47}$ и $5 + \sqrt{7}$.
Оба выражения положительны, возведем их в квадрат.
$(\sqrt{47})^2 = 47$.
$(5 + \sqrt{7})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 25 + 10\sqrt{7} + 7 = 32 + 10\sqrt{7}$.
Теперь сравним $47$ и $32 + 10\sqrt{7}$.
Вычтем из обоих выражений $32$:
$47 - 32$ и $10\sqrt{7}$
$15$ и $10\sqrt{7}$
Снова возведем в квадрат оба положительных числа:
$15^2 = 225$
$(10\sqrt{7})^2 = 10^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 100 \cdot 7 = 700$
Поскольку $225 < 700$, то $15 < 10\sqrt{7}$.
Значит, $47 < 32 + 10\sqrt{7}$, и, следовательно, $\sqrt{47} < 5 + \sqrt{7}$, откуда $\sqrt{47} - \sqrt{7} < 5$.
Ответ: $\sqrt{47} - \sqrt{7} < 5$.

876. Сравните числа:

а) $\sqrt{2}+5>2+\sqrt{5}\backslash sqrt\{2\}+5\; >\; 2+\backslash sqrt\{5\}$, так как

$$\begin{gathered} 1<\sqrt{2}<2 \\ 1+5<\sqrt{2}+5<2+5 \\ 6<\sqrt{2}+5<7 \\ 2<\sqrt{5}<3 \\ 2+2<\sqrt{5}+2<3+2 \\ 4<\sqrt{5}+2<5 \end{gathered}$$

б) , так как

$$\begin{gathered} 1<\sqrt{3}<2 \\ 1-4<\sqrt{3}-4<2-4 \\ -3<\sqrt{3}-4<-2 \\ 2<\sqrt{5}<3 \\ -3<-\sqrt{5}<-2 \\ 1-3<1-\sqrt{5}<1-2 \\ -2<1-\sqrt{5}<-1 \end{gathered}$$

в) , так как

$$\begin{gathered} 1<\sqrt{3}<2 \\ 2<2\sqrt{3}<4 \\ 2+23<2\sqrt{3}+23<4+23 \\ 25<2\sqrt{3}+23<27 \\ \frac{25}{3}<\frac{2\sqrt{3}+23}{3}<9 \end{gathered}$$

г) $\frac{1-\sqrt{15}}{12}>-\frac{7}{8}$, так как

$$\begin{gathered} 3<\sqrt{15}<4 \\ -4<-\sqrt{15}<-3 \\ 1-4<1-\sqrt{15}<1-3 \\ -3<1-\sqrt{15}<-2 \\ -\frac{3}{12}<\frac{1-\sqrt{15}}{12}<-\frac{2}{12} \\ -\frac{6}{24}<\frac{2\left(1-\sqrt{15}\right)}{24}<\frac{-4}{24} \\ -\frac{7}{8}=-\frac{21}{24} \end{gathered}$$

а) Сравним числа $\sqrt{2} + 5$ и $2 + \sqrt{5}$.

Чтобы сравнить эти два выражения, вычтем из обоих выражений одинаковые числа, чтобы упростить их. Вычтем 2 из обеих частей:

Сравним $\sqrt{2} + 5 - 2$ и $2 + \sqrt{5} - 2$, то есть $\sqrt{2} + 3$ и $\sqrt{5}$.

Так как обе части, $\sqrt{2} + 3$ и $\sqrt{5}$, положительны, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом не изменится.

Сравним $(\sqrt{2} + 3)^2$ и $(\sqrt{5})^2$.

$(\sqrt{2} + 3)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 3^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9 = 11 + 6\sqrt{2}$.

$(\sqrt{5})^2 = 5$.

Теперь сравним $11 + 6\sqrt{2}$ и $5$.

Очевидно, что $11 + 6\sqrt{2} > 5$, так как $11 > 5$ и $6\sqrt{2}$ — положительное число.

Поскольку $11 + 6\sqrt{2} > 5$, то и $(\sqrt{2} + 3)^2 > (\sqrt{5})^2$, и $\sqrt{2} + 3 > \sqrt{5}$.

Следовательно, $\sqrt{2} + 5 > 2 + \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{2} + 5 > 2 + \sqrt{5}$.

б) Сравним числа $\sqrt{3} - 4$ и $1 - \sqrt{5}$.

Оба числа отрицательные, так как $\sqrt{3} < \sqrt{16}=4$ и $\sqrt{5} > \sqrt{1}=1$.

Предположим, что $\sqrt{3} - 4 < 1 - \sqrt{5}$. Перенесем члены с корнями в одну сторону, а целые числа в другую:

$\sqrt{3} + \sqrt{5} < 1 + 4$

$\sqrt{3} + \sqrt{5} < 5$

Обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 < 5^2$

$(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 < 25$

$3 + 2\sqrt{15} + 5 < 25$

$8 + 2\sqrt{15} < 25$

$2\sqrt{15} < 17$

Обе части снова положительны, возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{15})^2 < 17^2$

$4 \cdot 15 < 289$

$60 < 289$

Полученное неравенство верно. Значит, наше первоначальное предположение было верным.

Ответ: $\sqrt{3} - 4 < 1 - \sqrt{5}$.

в) Сравним дробь $\frac{2\sqrt{3} + 23}{3}$ и число $9$.

Умножим оба сравниваемых числа на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 — положительное число, знак сравнения не изменится.

Сравним $2\sqrt{3} + 23$ и $9 \cdot 3 = 27$.

Вычтем 23 из обеих частей:

Сравним $2\sqrt{3}$ и $27 - 23 = 4$.

Разделим обе части на 2:

Сравним $\sqrt{3}$ и $2$.

Представим 2 как корень: $2 = \sqrt{4}$.

Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, а значит $\sqrt{3} < 2$.

Так как все преобразования были равносильными, то исходное неравенство имеет тот же знак.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3} + 23}{3} < 9$.

г) Сравним числа $\frac{1 - \sqrt{15}}{12}$ и $-\frac{7}{8}$.

Оба числа отрицательны, так как $\sqrt{15} > \sqrt{1}=1$, поэтому $1-\sqrt{15} < 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 8 равно 24.

$\frac{1 - \sqrt{15}}{12} = \frac{2(1 - \sqrt{15})}{24} = \frac{2 - 2\sqrt{15}}{24}$

$-\frac{7}{8} = -\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{-21}{24}$

Теперь сравним числители: $2 - 2\sqrt{15}$ и $-21$.

Вычтем 2 из обеих частей:

Сравним $-2\sqrt{15}$ и $-23$.

Умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Сравним $2\sqrt{15}$ и $23$.

Обе части положительны, возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$.

$23^2 = 529$.

Поскольку $60 < 529$, то $2\sqrt{15} < 23$.

Вернемся к сравнению $-2\sqrt{15}$ и $-23$. Так как $2\sqrt{15} < 23$, то при умножении на -1 получаем $-2\sqrt{15} > -23$.

Значит, $2 - 2\sqrt{15} > -21$.

Так как знаменатель 24 положителен, то и $\frac{2 - 2\sqrt{15}}{24} > \frac{-21}{24}$.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{15}}{12} > -\frac{7}{8}$.

877. а) Оцените периметр квадрата, сторона которого равна а см, если 5,1 ≤ a ≤ 5,2.

б) Оцените длину стороны квадрата, зная, что периметр квадрата равен Р см, если 15,6 ≤ Р ≤ 15,8.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}5,1\le a\le 5,2, P=4a \\ 5,1·4\le 4a\le 5,2·4 \\ 20,4\le 4a\le 20,8 \end{gathered}$$

Ответ: $20,4\le P\le 20,8$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}15,6\le P\le 15,8, P=4a; a=\frac{P}{4} \\ \frac{15,6}{4}\le \frac{P}{4}\le \frac{15,8}{4} \\ 3,9\le \frac{P}{4}\le 3,95 \end{gathered}$$

Ответ: $3,9\le a\le 3,95$

а)

Периметр квадрата $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны. Согласно условию, длина стороны квадрата $a$ находится в пределах: $5,1 \le a \le 5,2$.

Для того чтобы оценить периметр, необходимо умножить все части данного двойного неравенства на 4, так как у квадрата 4 равные стороны.

$4 \cdot 5,1 \le 4a \le 4 \cdot 5,2$

Выполнив умножение, получаем: $20,4 \le P \le 20,8$.

Таким образом, значение периметра $P$ находится в промежутке от 20,4 см до 20,8 см включительно.

Ответ: $20,4 \le P \le 20,8$.

б)

Длина стороны квадрата $a$ связана с его периметром $P$ формулой $P = 4a$. Отсюда можно выразить сторону: $a = \frac{P}{4}$. По условию, периметр квадрата $P$ находится в пределах: $15,6 \le P \le 15,8$.

Чтобы оценить длину стороны $a$, нужно разделить все части этого двойного неравенства на 4.

$\frac{15,6}{4} \le \frac{P}{4} \le \frac{15,8}{4}$

Выполнив деление, получаем: $3,9 \le a \le 3,95$.

Следовательно, длина стороны квадрата $a$ находится в промежутке от 3,9 см до 3,95 см включительно.

Ответ: $3,9 \le a \le 3,95$.