Страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

838. Сравните числа а и b, если:

а) a – b = –0,001;

б) a – b = 0;

в) a – b = 4,3.

а) Если , то $a<b;$

б) Если $a-b=0a-b\; =0$, то $a=ba=b$;

в) Если $a-b=4,3>0a-b=4,3>0$, то $a>ba>b$.

а) Для сравнения чисел $a$ и $b$ необходимо проанализировать их разность. Нам дано, что $a - b = -0,001$.
Так как разность $a - b$ является отрицательным числом ($-0,001 < 0$), это означает, что уменьшаемое $a$ меньше вычитаемого $b$.
Формально, если $a - b < 0$, то, прибавив $b$ к обеим частям неравенства, получим:
$a - b + b < 0 + b$
$a < b$

Ответ: $a < b$

б) В данном случае разность чисел $a$ и $b$ равна нулю: $a - b = 0$.
Это возможно только тогда, когда числа равны между собой.
Прибавив $b$ к обеим частям равенства, мы это подтверждаем:
$a - b + b = 0 + b$
$a = b$

Ответ: $a = b$

в) Нам дано, что разность чисел $a$ и $b$ равна $4,3$: $a - b = 4,3$.
Так как разность $a - b$ является положительным числом ($4,3 > 0$), это означает, что уменьшаемое $a$ больше вычитаемого $b$.
Формально, если $a - b > 0$, то, прибавив $b$ к обеим частям неравенства, получим:
$a - b + b > 0 + b$
$a > b$

Ответ: $a > b$

839. Известно, что a ‹ b. Может ли разность a – b выражаться числом 3,72? –5? 0?

Если , то $a-b<0$

$a-b=3,72$ - неверно

$a-b=-5a-b\; =\; -5$ - верно

$a-b=0a-b=0$ - неверно

Ответ: нет; да; нет

По условию задачи дано неравенство $a < b$. Чтобы определить, какие значения может принимать разность $a - b$, преобразуем данное неравенство. Вычтем из обеих частей неравенства переменную $b$:

$a - b < b - b$

$a - b < 0$

Это означает, что разность $a - b$ должна быть строго отрицательным числом. Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

3,72
Число 3,72 является положительным ($3,72 > 0$). Это противоречит полученному нами условию, что разность $a - b$ должна быть строго отрицательной ($a - b < 0$). Следовательно, разность $a - b$ не может быть равна 3,72.
Ответ: нет.

-5
Число -5 является отрицательным ($-5 < 0$). Это соответствует условию $a - b < 0$. Такая ситуация возможна. Например, если выбрать $a = 2$ и $b = 7$, то условие $a < b$ (то есть $2 < 7$) выполняется, и разность $a - b = 2 - 7 = -5$.
Ответ: да.

0
Если разность $a - b = 0$, то это означает, что $a = b$. Это противоречит исходному строгому неравенству $a < b$. Следовательно, разность $a - b$ не может быть равна 0.
Ответ: нет.

840. Даны выражения

3a(a + 6) и (3a + 6)(a + 4).

Сравните их значения при a = –5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго.

$$\begin{gathered} \left(3a\left(a+6\right)\right)-\left(3a+6\right)\left(a+4\right)= \\ =\left(3a^2+18a\right)-\left(3a^2+12a+6a+24\right)= \\ =\left(3a^2+18a\right)-\left(3a^2+18a+24\right)= \\ =3a+18a-3a^2-18a-24=-24<0 \end{gathered}$$

Следовательно, при любом a значение первого выражения меньше значения второго.

при а=-5; $3·(-5)·(-5+6)=-15·1=-15$

$$\begin{gathered} \left(3·\left(-5\right)+6\right)\left(-5+4\right)=\left(15+6\right)\left(-1\right)= \\ =-9·\left(-1\right)=9; -15<9 \end{gathered}$$

при а=0; $3·0·(0+6)=0$

$$\begin{gathered} \left(3·0+6\right)\left(0+4\right)=6·4=24 \\ 0<24 \end{gathered}$$

при а=40; $3·40·(40+6)=120·46=5520$

$$\begin{gathered} \left(3·40+6\right)\left(40+4\right)=126·44=5544 \\ 5520<5544 \end{gathered}$$

Даны два выражения: $3a(a + 6)$ и $(3a + 6)(a + 4)$.

Для удобства дальнейших вычислений и доказательства, упростим оба выражения, раскрыв скобки.

Первое выражение: $3a(a + 6) = 3a \cdot a + 3a \cdot 6 = 3a^2 + 18a$.

Второе выражение: $(3a + 6)(a + 4) = 3a \cdot a + 3a \cdot 4 + 6 \cdot a + 6 \cdot 4 = 3a^2 + 12a + 6a + 24 = 3a^2 + 18a + 24$.

Сравните их значения при $a = -5; 0; 40$.

Подставим заданные значения $a$ в упрощенные выражения.

1. При $a = -5$:

Значение первого выражения: $3(-5)^2 + 18(-5) = 3 \cdot 25 - 90 = 75 - 90 = -15$.

Значение второго выражения: $3(-5)^2 + 18(-5) + 24 = -15 + 24 = 9$.

Сравниваем: $-15 < 9$.

2. При $a = 0$:

Значение первого выражения: $3(0)^2 + 18(0) = 0 + 0 = 0$.

Значение второго выражения: $3(0)^2 + 18(0) + 24 = 0 + 0 + 24 = 24$.

Сравниваем: $0 < 24$.

3. При $a = 40$:

Значение первого выражения: $3(40)^2 + 18(40) = 3 \cdot 1600 + 720 = 4800 + 720 = 5520$.

Значение второго выражения: $3(40)^2 + 18(40) + 24 = 5520 + 24 = 5544$.

Сравниваем: $5520 < 5544$.

Ответ: при $a = -5$ значения равны $-15$ и $9$ (первое меньше); при $a = 0$ значения равны $0$ и $24$ (первое меньше); при $a = 40$ значения равны $5520$ и $5544$ (первое меньше).

Докажите, что при любом a значение первого выражения меньше значения второго.

Чтобы доказать, что при любом $a$ значение выражения $3a(a + 6)$ меньше значения выражения $(3a + 6)(a + 4)$, нужно доказать истинность неравенства:

$3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)$

Используем упрощенные формы выражений:

$3a^2 + 18a < 3a^2 + 18a + 24$

Для доказательства найдем разность между вторым и первым выражениями:

$(3a^2 + 18a + 24) - (3a^2 + 18a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3a^2 + 18a + 24 - 3a^2 - 18a = (3a^2 - 3a^2) + (18a - 18a) + 24 = 0 + 0 + 24 = 24$

Разность значений двух выражений равна $24$. Поскольку $24$ — положительное число ($24 > 0$), это означает, что значение второго выражения всегда на $24$ больше значения первого. Это верно для любого значения переменной $a$.

Таким образом, неравенство $3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)$ выполняется при всех значениях $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: разность второго и первого выражений равна $(3a^2 + 18a + 24) - (3a^2 + 18a) = 24$. Так как разность является положительным числом, не зависящим от $a$, значение первого выражения всегда меньше значения второго.

841. Даны выражения

4b(b + 1) и (2b + 7)(2b – 8).

Сравните их значения при b = –3; –2; 10. Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?

при b=-3; $4b(b+1)=4·(-3) (-3+1)=-12·(-2)=24$

$$\begin{gathered} \left(2b+7\right)\left(2b-8\right)=\left(2·\left(-3\right)+7\right)·\left(2·\left(-3\right)-8\right)= \\ =\left(-6+7\right)·\left(-6-8\right)=1\left(-14\right)=-14 \\ 24>-14 \end{gathered}$$

при b=-2; $4b(b+1)=4·(-2) (-2+1)=-8 (-1) =8$

$$\begin{gathered} \left(2b+7\right)\left(2b-8\right)=\left(2\left(-2\right)+7\right)\left(2·\left(-2\right)-8\right)= \\ =\left(-4+7\right)·\left(-4-8\right)=3·\left(-12\right)=-36 \\ 8>-36 \end{gathered}$$

при b-10; $4b(b+1)=4·10·(10+1)=40·11=440$

$\left(2b+7\right)\left(2b-8\right)=\left(2·10+7\right)\left(2·10-8\right)=27·12=324$

440>324

$$\begin{gathered} \left(4b\left(b+1\right)\right)-\left(\left(2b+7\right)\left(2b-8\right)\right)= \\ =\left(4b^2+4b\right)-(4b^2-16b+14b-56)= \\ =\left(4b^2+4b\right)-\left(4b^2-2b-56\right)= \\ =4b^2+4b-4b^2+2b+56=6b+56 \end{gathered}$$

Утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго, нельзя, так как разность этих выражений зависит от переменной b

Сравните их значения при b = -3; -2; 10.

Для сравнения значений двух выражений, $4b(b + 1)$ и $(2b + 7)(2b - 8)$, подставим в них указанные значения $b$.

При $b = -3$:
Значение первого выражения: $4(-3)(-3 + 1) = -12 \cdot (-2) = 24$.
Значение второго выражения: $(2(-3) + 7)(2(-3) - 8) = (-6 + 7)(-6 - 8) = 1 \cdot (-14) = -14$.
Сравниваем: $24 > -14$. При $b = -3$ значение первого выражения больше.

При $b = -2$:
Значение первого выражения: $4(-2)(-2 + 1) = -8 \cdot (-1) = 8$.
Значение второго выражения: $(2(-2) + 7)(2(-2) - 8) = (-4 + 7)(-4 - 8) = 3 \cdot (-12) = -36$.
Сравниваем: $8 > -36$. При $b = -2$ значение первого выражения больше.

При $b = 10$:
Значение первого выражения: $4(10)(10 + 1) = 40 \cdot 11 = 440$.
Значение второго выражения: $(2(10) + 7)(2(10) - 8) = (20 + 7)(20 - 8) = 27 \cdot 12 = 324$.
Сравниваем: $440 > 324$. При $b = 10$ значение первого выражения больше.

Ответ: Во всех трех случаях ($b = -3$, $b = -2$, $b = 10$) значение первого выражения оказывается больше, чем значение второго.

Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?

Чтобы ответить на этот вопрос, сравним выражения в общем виде. Для этого раскроем скобки в каждом выражении и упростим их.

Первое выражение: $4b(b + 1) = 4b^2 + 4b$.

Второе выражение: $(2b + 7)(2b - 8) = 4b^2 - 16b + 14b - 56 = 4b^2 - 2b - 56$.

Теперь сравним полученные многочлены. Утверждение, что первое выражение больше второго, можно записать в виде неравенства: $4b^2 + 4b > 4b^2 - 2b - 56$

Для решения неравенства перенесем все члены в левую часть: $(4b^2 + 4b) - (4b^2 - 2b - 56) > 0$
$4b^2 + 4b - 4b^2 + 2b + 56 > 0$
$6b + 56 > 0$

Решим полученное линейное неравенство относительно $b$: $6b > -56$
$b > -\frac{56}{6}$
$b > -\frac{28}{3}$
$b > -9\frac{1}{3}$

Как видим, неравенство выполняется не при любых значениях $b$, а только при $b > -9\frac{1}{3}$. Чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно привести один контрпример. Возьмем любое значение $b$, которое не удовлетворяет этому условию, например, $b = -10$.

При $b = -10$:
Первое выражение: $4(-10)(-10 + 1) = -40 \cdot (-9) = 360$.
Второе выражение: $(2(-10) + 7)(2(-10) - 8) = (-20 + 7)(-20 - 8) = (-13) \cdot (-28) = 364$.
В этом случае $360 < 364$, то есть значение первого выражения меньше значения второго.

Ответ: Нет, нельзя утверждать, что при любом значении $b$ значение первого выражения больше, чем значение второго. Это утверждение верно только при $b > -9\frac{1}{3}$.

842. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

a) 3(a+1)+a<4(2+a)

3a+3+a-(8+4a) = 3a+3+a-8-4a=-5<0

б) (7p-1)(7p+1)<49p²

(7p-1)(7p+1)-49p²=49p²-1-49p²=-1<0

в) (a-2)²>a(a-4)

(a-2)²-a(a-4)=a²-4a+4-a²+4a=4>0

г) (2a+3)(2a+1)>4a(a+2)

(2a+3)(2a+1)-4a(a+2)=4a²+2a+6a+3-

-4a²-8a=4a²+8a+3-4a²-8a=3>0

а) $3(a + 1) + a < 4(2 + a)$

Для доказательства преобразуем обе части неравенства. Сначала раскроем скобки:

$3a + 3 + a < 8 + 4a$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:

$4a + 3 < 8 + 4a$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную a, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4a - 4a < 8 - 3$

После упрощения получаем:

$0 < 5$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной a. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого значения a.

Ответ: Неравенство $3(a + 1) + a < 4(2 + a)$ верно при любом значении a, так как оно сводится к верному числовому неравенству $0 < 5$.

б) $(7p - 1)(7p + 1) < 49p^2$

В левой части неравенства находится произведение разности и суммы двух выражений, которое можно упростить по формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$(7p)^2 - 1^2 < 49p^2$

$49p^2 - 1 < 49p^2$

Вычтем из обеих частей неравенства $49p^2$:

$49p^2 - 1 - 49p^2 < 49p^2 - 49p^2$

$-1 < 0$

Полученное неравенство $-1 < 0$ является верным и не зависит от значения переменной p. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении p.

Ответ: Неравенство $(7p - 1)(7p + 1) < 49p^2$ верно при любом значении p, так как оно сводится к верному числовому неравенству $-1 < 0$.

в) $(a - 2)^2 > a(a - 4)$

Преобразуем обе части неравенства. В левой части применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В правой части раскроем скобки:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 > a^2 - 4a$

$a^2 - 4a + 4 > a^2 - 4a$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположными знаками:

$a^2 - 4a + 4 - a^2 + 4a > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-4a + 4a) + 4 > 0$

$4 > 0$

Мы получили верное числовое неравенство $4 > 0$, которое не зависит от значения переменной a. Таким образом, исходное неравенство верно при любом значении a.

Ответ: Неравенство $(a - 2)^2 > a(a - 4)$ верно при любом значении a, так как оно сводится к верному числовому неравенству $4 > 0$.

г) $(2a + 3)(2a + 1) > 4a(a + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части перемножим многочлены, в правой — умножим одночлен на многочлен:

$2a \cdot 2a + 2a \cdot 1 + 3 \cdot 2a + 3 \cdot 1 > 4a \cdot a + 4a \cdot 2$

$4a^2 + 2a + 6a + 3 > 4a^2 + 8a$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4a^2 + 8a + 3 > 4a^2 + 8a$

Вычтем из обеих частей неравенства выражение $4a^2 + 8a$:

$4a^2 + 8a + 3 - (4a^2 + 8a) > 4a^2 + 8a - (4a^2 + 8a)$

$3 > 0$

Полученное неравенство $3 > 0$ является верным и не зависит от значения переменной a. Значит, исходное неравенство верно при любом значении a.

Ответ: Неравенство $(2a + 3)(2a + 1) > 4a(a + 2)$ верно при любом значении a, так как оно сводится к верному числовому неравенству $3 > 0$.

843. Докажите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}2b^2-6b+1>2b\left(b-3\right) \\ \left(2b^2-6b+1\right)-2b\left(b-3\right)= \\ =2b^2-6b+1-2b^2+6b=1>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(c+2\right)\left(c+6\right)<\left(c+3\right)\left(c+5\right) \\ \left(c+2\right)\left(c+6\right)-\left(c+3\right)\left(c+5\right)= \\ =c^2+6c+2c+12-\left(c^2+5c+3c+15\right)= \\ =c^2+8c+12-c^2-8c-15=-3<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}p\left(p+7\right)>7p-1 \\ p\left(p+7\right)-\left(7p-1\right)=p^2+7p-7p+1=p^2+1>0 \end{gathered}$$

при любых значениях р

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}8y\left(3y-10\right)<{\left(5y-8\right)}^2 \\ 8y\left(3y-10\right)-{\left(5y-8\right)}^2=24y^2-80y- \\ -\left(25y^2-80y+64\right)=24y^2-80y-25y^2+80y- \\ -64=-y^2-64=-\left(y^2+64\right)<0 \end{gathered}$$

при любых значениях у

а) Преобразуем данное неравенство. Раскроем скобки в правой части: $2b^2 - 6b + 1 > 2b^2 - 6b$ Перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные: $2b^2 - 6b + 1 - 2b^2 + 6b > 0$ Приведем подобные слагаемые: $(2b^2 - 2b^2) + (-6b + 6b) + 1 > 0$ $1 > 0$ Мы получили верное числовое неравенство. Поскольку оно не зависит от переменной $b$, исходное неравенство верно при любом значении $b$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $(c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5)$ $c^2 + 6c + 2c + 12 < c^2 + 5c + 3c + 15$ Приведем подобные слагаемые в каждой части: $c^2 + 8c + 12 < c^2 + 8c + 15$ Перенесем все члены из правой части в левую: $c^2 + 8c + 12 - c^2 - 8c - 15 < 0$ Приведем подобные слагаемые: $(c^2 - c^2) + (8c - 8c) + (12 - 15) < 0$ $-3 < 0$ Мы получили верное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $c$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Преобразуем данное неравенство. Раскроем скобки в левой части и перенесем все члены в левую часть: $p(p + 7) > 7p - 1$ $p^2 + 7p > 7p - 1$ $p^2 + 7p - 7p + 1 > 0$ $p^2 + 1 > 0$ Выражение $p^2$ неотрицательно для любого действительного числа $p$, то есть $p^2 \ge 0$. Следовательно, сумма $p^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1 ($p^2 + 1 \ge 1$), а значит, всегда будет положительной. Таким образом, неравенство $p^2 + 1 > 0$ верно при любом значении $p$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Преобразуем данное неравенство. Раскроем скобки в левой части и воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ в правой части: $8y(3y - 10) < (5y - 8)^2$ $24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64$ Перенесем все члены из левой части в правую: $0 < 25y^2 - 80y + 64 - (24y^2 - 80y)$ $0 < 25y^2 - 80y + 64 - 24y^2 + 80y$ Приведем подобные слагаемые: $0 < (25y^2 - 24y^2) + (-80y + 80y) + 64$ $0 < y^2 + 64$ Выражение $y^2$ неотрицательно для любого действительного числа $y$ ($y^2 \ge 0$). Следовательно, сумма $y^2 + 64$ всегда будет больше или равна 64 ($y^2 + 64 \ge 64$), а значит, всегда будет положительной. Таким образом, неравенство $0 < y^2 + 64$ верно при любом значении $y$.
Ответ: Неравенство доказано.

844. Верно ли при любом х неравенство:

a) $4x\left(x+0,25\right)>\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)$

$$\begin{gathered} 4x\left(x+0,25\right)-\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)=4x^2+x- \\ -\left(4x^2-9\right)=4x^2+x-4x^2+9=x+9 \end{gathered}$$

Ответ: неверно

б) $\left(5x-1\right)\left(5x+1\right)<25x^2+2$

$$\begin{gathered} \left(5x-1\right)\left(5x+1\right)-\left(25x^2+2\right)=25x^2-1-25x^2-2= \\ =-3<0 \end{gathered}$$

Ответ: верно

в) ${\left(3x+8\right)}^{\mathbf{2}}>3x\left(x+16\right)$

${\left(3x+8\right)}^2-3x\left(x+16\right)=9x^2+48x+64-3x^2-48x=$
$=6x^2+64>0$при любых значениях b

Ответ: верно

г) $\left(7+2x\right)\left(7-2x\right)<49-x\left(4x+1\right)$

$$\begin{gathered} \left(7+2x\right)\left(7-2x\right)-\left(49-x\left(4x+1\right)\right)=49-4x^2- \\ -\left(49-4x^2-x\right)=49-4x^2-49+4x^2+x=x \end{gathered}$$

Ответ: неверно

а) $4x(x + 0,25) > (2x + 3)(2x - 3)$

Чтобы проверить, верно ли неравенство при любом $x$, упростим обе его части. Раскроем скобки в левой части: $4x(x + 0,25) = 4x \cdot x + 4x \cdot 0,25 = 4x^2 + x$. В правой части применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$: $(2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$. Подставим упрощенные выражения обратно в неравенство: $4x^2 + x > 4x^2 - 9$ Вычтем $4x^2$ из обеих частей: $x > -9$ Это неравенство выполняется не для всех значений $x$. Например, при $x = -10$ оно неверно, так как $-10$ не больше $-9$.
Ответ: нет, неверно.

б) $(5x - 1)(5x + 1) < 25x^2 + 2$

Упростим левую часть по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(5x - 1)(5x + 1) = (5x)^2 - 1^2 = 25x^2 - 1$. Неравенство принимает вид: $25x^2 - 1 < 25x^2 + 2$ Вычтем из обеих частей $25x^2$: $-1 < 2$ Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $x$.
Ответ: да, верно.

в) $(3x + 8)^2 > 3x(x + 16)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(3x + 8)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 = 9x^2 + 48x + 64$. В правой части раскроем скобки: $3x(x + 16) = 3x^2 + 48x$. Получаем неравенство: $9x^2 + 48x + 64 > 3x^2 + 48x$ Вычтем из обеих частей $48x$: $9x^2 + 64 > 3x^2$ Перенесем $3x^2$ в левую часть: $9x^2 - 3x^2 + 64 > 0$, что дает $6x^2 + 64 > 0$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) при любом $x$. Значит, $6x^2$ также неотрицательно. Сумма неотрицательного числа ($6x^2$) и положительного числа (64) всегда будет положительной. Таким образом, неравенство $6x^2 + 64 > 0$ верно для любого значения $x$.
Ответ: да, верно.

г) $(7 + 2x)(7 - 2x) < 49 - x(4x + 1)$

Упростим обе части неравенства. В левой части используем формулу разности квадратов: $(7 + 2x)(7 - 2x) = 7^2 - (2x)^2 = 49 - 4x^2$. В правой части раскроем скобки: $49 - x(4x + 1) = 49 - 4x^2 - x$. Неравенство приобретает вид: $49 - 4x^2 < 49 - 4x^2 - x$ Прибавим к обеим частям $4x^2$: $49 < 49 - x$ Вычтем из обеих частей 49: $0 < -x$ Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $0 > x$, или $x < 0$. Это неравенство выполняется только для отрицательных значений $x$, а не для любого $x$. Например, при $x = 5$ оно неверно.
Ответ: нет, неверно.

845. Докажите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}a\left(a+b\right)\ge ab \\ a\left(a+b\right)-ab=a^2+ab-ab=a^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{m}^2-mn+n^2\ge mn \\ {m}^2-mn+n^2-mn=m^2-2mn+n^2={\left(m-n\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}10a^2-5a+1\ge a^2+a \\ \left(10a^2-5a+1\right)-\left(a^2+a\right)=10a^2-5a+1- \\ -a^2-a=9a^2-6a+1={\left(3a-1\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}2bc\le b^2+c^2 \\ 2bc-\left(b^2+c^2\right)=2bc-b^2-c^2=-\left(b^2-2bc+c^2\right)= \\ =-{\left(b-c\right)}^2\le 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}a\left(a-b\right)\ge b\left(a-b\right) \\ a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)=a^2-ab-ab+b^2= \\ =a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}{a}^2-a\le 50a^2-15a+1 \\ \left(a^2-a\right)-\left(50a^2-15a+1\right)= \\ =a^2-a-50a^2+15a-1=-49a^2+14a-1= \\ =-\left(49a^2-14a+1\right)=-{\left(7a-1\right)}^2\le 0 \end{gathered}$$

а) $a(a + b) \ge ab$

Для доказательства преобразуем неравенство. Раскроем скобки в левой части:

$a^2 + ab \ge ab$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + ab - ab \ge 0$

$a^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом (т.е. больше или равен нулю). Таким образом, полученное неравенство $a^2 \ge 0$ верно для любого значения $a$. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) $m^2 - mn + n^2 \ge mn$

Перенесем член $mn$ из правой части в левую, чтобы сравнить выражение с нулем:

$m^2 - mn + n^2 - mn \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$m^2 - 2mn + n^2 \ge 0$

Выражение в левой части является формулой квадрата разности:

$(m - n)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $(m - n)^2 \ge 0$ верно для любых действительных чисел $m$ и $n$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

в) $10a^2 - 5a + 1 \ge a^2 + a$

Перенесем все члены из правой части в левую:

$10a^2 - 5a + 1 - a^2 - a \ge 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(10a^2 - a^2) + (-5a - a) + 1 \ge 0$

$9a^2 - 6a + 1 \ge 0$

Выражение в левой части представляет собой полный квадрат разности:

$(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 1 + 1^2 \ge 0$

$(3a - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $(3a - 1)^2 \ge 0$ верно для любого значения $a$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

г) $2bc \le b^2 + c^2$

Перенесем $2bc$ в правую часть неравенства:

$0 \le b^2 + c^2 - 2bc$

Запишем это в более привычном виде:

$b^2 - 2bc + c^2 \ge 0$

Выражение в левой части является формулой квадрата разности:

$(b - c)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $(b - c)^2 \ge 0$ верно для любых действительных чисел $b$ и $c$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

д) $a(a - b) \ge b(a - b)$

Перенесем выражение из правой части в левую:

$a(a - b) - b(a - b) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a - b) \ge 0$

$(a - b)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $(a - b)^2 \ge 0$ верно для любых действительных чисел $a$ и $b$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

е) $a^2 - a \le 50a^2 - 15a + 1$

Перенесем все члены из левой части в правую:

$0 \le 50a^2 - 15a + 1 - (a^2 - a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$0 \le 50a^2 - 15a + 1 - a^2 + a$

$0 \le (50a^2 - a^2) + (-15a + a) + 1$

$0 \le 49a^2 - 14a + 1$

Запишем неравенство в другом порядке:

$49a^2 - 14a + 1 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности:

$(7a)^2 - 2 \cdot (7a) \cdot 1 + 1^2 \ge 0$

$(7a - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $(7a - 1)^2 \ge 0$ верно для любого значения $a$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

846. (Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь ab где a и b — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?

1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь ab. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)

2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.

3) Проведите доказательство: один — для случая a ‹ b, а другой — для случая a > b.

4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

$a\in Na\; \backslash in\; N$, $b\in Nb\; \backslash in\; N$

Пусть a<b, например, $a=5a\; =\; 5$; $b=8$

$\frac{5}{8}$ - исходная дробь; $\frac{5+1}{8+1}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\backslash frac\{5+1\}\{8+1\}\; =\; \backslash frac\{6\}\{9\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$ - полученная дробь

Ответ: при a<b дробь увеличится

Пусть a>b, например, $a=8a\; =\; 8$, $b=5$

$\frac{8}{5}$ - исходная дробь; $\frac{8+1}{5+1}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\backslash frac\{8+1\}\{5+1\}\; =\; \backslash frac\{9\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}$ - полученная дробь

$\frac{8}{5}-\frac{3}{2}=\frac{16-15}{10}=\frac{1}{10}>0\backslash frac\{8\}\{5\}\; -\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{16-15\}\{10\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{10\}\; >\; 0$

Ответ: при a>b дробь уменьшится.

Вывод: если дробь правильная (a<b), то при увеличении ее числителя и знаменателя на 1, она увеличится; если дробь неправильная (a>b), то при увеличении ее числителя и знаменателя на 1, она уменьшится.

1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь $\frac{a}{b}$.

Рассмотрим два случая, предложенные в задании.

Случай 1: Числитель меньше знаменателя ($a < b$)

Возьмем правильную дробь, например, $\frac{2}{5}$. Прибавим к ее числителю и знаменателю 1:

$\frac{2+1}{5+1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Сравним исходную дробь $\frac{2}{5}$ и новую $\frac{1}{2}$. Для этого приведем их к общему знаменателю 10:

$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$; $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$

Так как $\frac{5}{10} > \frac{4}{10}$, то и $\frac{1}{2} > \frac{2}{5}$. Значение дроби увеличилось.

Еще один пример: $\frac{7}{10}$. Новая дробь: $\frac{7+1}{10+1} = \frac{8}{11}$.

Сравним $\frac{7}{10}$ и $\frac{8}{11}$. Общий знаменатель 110: $\frac{7}{10} = \frac{77}{110}$; $\frac{8}{11} = \frac{80}{110}$.

Так как $\frac{80}{110} > \frac{77}{110}$, то и $\frac{8}{11} > \frac{7}{10}$. Значение дроби снова увеличилось.

Случай 2: Числитель больше знаменателя ($a > b$)

Возьмем неправильную дробь, например, $\frac{5}{3}$. Прибавим к ее числителю и знаменателю 1:

$\frac{5+1}{3+1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Сравним исходную дробь $\frac{5}{3}$ и новую $\frac{3}{2}$. Для этого приведем их к общему знаменателю 6:

$\frac{5}{3} = \frac{10}{6}$; $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$

Так как $\frac{9}{6} < \frac{10}{6}$, то и $\frac{3}{2} < \frac{5}{3}$. Значение дроби уменьшилось.

Еще один пример: $\frac{9}{2}$. Новая дробь: $\frac{9+1}{2+1} = \frac{10}{3}$.

Сравним $\frac{9}{2}$ и $\frac{10}{3}$. Общий знаменатель 6: $\frac{9}{2} = \frac{27}{6}$; $\frac{10}{3} = \frac{20}{6}$.

Так как $\frac{20}{6} < \frac{27}{6}$, то и $\frac{10}{3} < \frac{9}{2}$. Значение дроби снова уменьшилось.

Ответ: На примерах видно, что если числитель меньше знаменателя ($a<b$), то прибавление 1 к числителю и знаменателю увеличивает дробь. Если числитель больше знаменателя ($a>b$), то такая операция уменьшает дробь.

2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.

На основе наблюдений из пункта 1 можно сформулировать следующие гипотезы:

• Гипотеза для случая $a < b$: Если к числителю и знаменателю правильной дроби ($a<b$) прибавить 1, то значение дроби увеличится.
• Гипотеза для случая $a > b$: Если к числителю и знаменателю неправильной дроби ($a>b$) прибавить 1, то значение дроби уменьшится.

Ответ: Если $a < b$, гипотеза состоит в том, что дробь увеличится. Если $a > b$, гипотеза состоит в том, что дробь уменьшится.

3) Проведите доказательство: один — для случая $a < b$, а другой — для случая $a > b$.

Для доказательства гипотез нужно сравнить исходную дробь $\frac{a}{b}$ с новой дробью $\frac{a+1}{b+1}$. Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то знаменатели $b$ и $b+1$ положительны. В этом случае для сравнения дробей можно использовать правило перекрестного умножения: сравнить произведения $a(b+1)$ и $b(a+1)$.

Раскроем скобки в обоих выражениях:

$a(b+1) = ab + a$

$b(a+1) = ab + b$

Сравнение выражений $ab+a$ и $ab+b$ сводится к сравнению $a$ и $b$, так как слагаемое $ab$ у них общее.

Доказательство для случая $a < b$:

Если $a < b$, то и $ab+a < ab+b$.

Это означает, что $a(b+1) < b(a+1)$.

Поскольку $b(b+1) > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства:

$\frac{a(b+1)}{b(b+1)} < \frac{b(a+1)}{b(b+1)}$

Сократив дроби, получаем: $\frac{a}{b} < \frac{a+1}{b+1}$.

Это доказывает, что если числитель меньше знаменателя, то прибавление 1 к числителю и знаменателю увеличивает дробь.

Ответ: Для случая $a < b$ доказано, что дробь $\frac{a}{b}$ увеличится и станет равна $\frac{a+1}{b+1}$, так как $\frac{a}{b} < \frac{a+1}{b+1}$.

Доказательство для случая $a > b$:

Если $a > b$, то и $ab+a > ab+b$.

Это означает, что $a(b+1) > b(a+1)$.

Разделим обе части неравенства на положительное выражение $b(b+1)$:

$\frac{a(b+1)}{b(b+1)} > \frac{b(a+1)}{b(b+1)}$

Сократив дроби, получаем: $\frac{a}{b} > \frac{a+1}{b+1}$.

Это доказывает, что если числитель больше знаменателя, то прибавление 1 к числителю и знаменателю уменьшает дробь.

Ответ: Для случая $a > b$ доказано, что дробь $\frac{a}{b}$ уменьшится и станет равна $\frac{a+1}{b+1}$, так как $\frac{a}{b} > \frac{a+1}{b+1}$.

4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

Проверка рассуждений показывает их корректность. Метод сравнения дробей через перекрестное умножение является допустимым, так как знаменатели дробей положительны. Сведение сравнения $a(b+1)$ и $b(a+1)$ к сравнению $a$ и $b$ выполнено верно. Выводы, сделанные для случаев $a < b$ и $a > b$, логически следуют из результатов сравнения. Таким образом, оба доказательства верны.

Ответ: Рассуждения и доказательства, приведенные в пункте 3, являются правильными.