Номер 842, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 842, страница 188.

842. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

a) 3(a+1)+a<4(2+a)

3a+3+a-(8+4a) = 3a+3+a-8-4a=-5<0

б) (7p-1)(7p+1)<49p²

(7p-1)(7p+1)-49p²=49p²-1-49p²=-1<0

в) (a-2)²>a(a-4)

(a-2)²-a(a-4)=a²-4a+4-a²+4a=4>0

г) (2a+3)(2a+1)>4a(a+2)

(2a+3)(2a+1)-4a(a+2)=4a²+2a+6a+3-

-4a²-8a=4a²+8a+3-4a²-8a=3>0

а) $3(a + 1) + a < 4(2 + a)$

Для доказательства преобразуем обе части неравенства. Сначала раскроем скобки:

$3a + 3 + a < 8 + 4a$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:

$4a + 3 < 8 + 4a$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную a, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4a - 4a < 8 - 3$

После упрощения получаем:

$0 < 5$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной a. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого значения a.

Ответ: Неравенство $3(a + 1) + a < 4(2 + a)$ верно при любом значении a, так как оно сводится к верному числовому неравенству $0 < 5$.

б) $(7p - 1)(7p + 1) < 49p^2$

В левой части неравенства находится произведение разности и суммы двух выражений, которое можно упростить по формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$(7p)^2 - 1^2 < 49p^2$

$49p^2 - 1 < 49p^2$

Вычтем из обеих частей неравенства $49p^2$:

$49p^2 - 1 - 49p^2 < 49p^2 - 49p^2$

$-1 < 0$

Полученное неравенство $-1 < 0$ является верным и не зависит от значения переменной p. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении p.

Ответ: Неравенство $(7p - 1)(7p + 1) < 49p^2$ верно при любом значении p, так как оно сводится к верному числовому неравенству $-1 < 0$.

в) $(a - 2)^2 > a(a - 4)$

Преобразуем обе части неравенства. В левой части применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В правой части раскроем скобки:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 > a^2 - 4a$

$a^2 - 4a + 4 > a^2 - 4a$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположными знаками:

$a^2 - 4a + 4 - a^2 + 4a > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-4a + 4a) + 4 > 0$

$4 > 0$

Мы получили верное числовое неравенство $4 > 0$, которое не зависит от значения переменной a. Таким образом, исходное неравенство верно при любом значении a.

Ответ: Неравенство $(a - 2)^2 > a(a - 4)$ верно при любом значении a, так как оно сводится к верному числовому неравенству $4 > 0$.

г) $(2a + 3)(2a + 1) > 4a(a + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части перемножим многочлены, в правой — умножим одночлен на многочлен:

$2a \cdot 2a + 2a \cdot 1 + 3 \cdot 2a + 3 \cdot 1 > 4a \cdot a + 4a \cdot 2$

$4a^2 + 2a + 6a + 3 > 4a^2 + 8a$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4a^2 + 8a + 3 > 4a^2 + 8a$

Вычтем из обеих частей неравенства выражение $4a^2 + 8a$:

$4a^2 + 8a + 3 - (4a^2 + 8a) > 4a^2 + 8a - (4a^2 + 8a)$

$3 > 0$

Полученное неравенство $3 > 0$ является верным и не зависит от значения переменной a. Значит, исходное неравенство верно при любом значении a.

Ответ: Неравенство $(2a + 3)(2a + 1) > 4a(a + 2)$ верно при любом значении a, так как оно сводится к верному числовому неравенству $3 > 0$.