Номер 835, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 835, страница 184.

835. При каком значении с система уравнений

а) имеет бесконечное множество решений;

б) не имеет решений?

a) $\left\{\begin{array}{l}5x-2y=3 /·2\\ 10x-4y=с\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}10x-4y=6\\ 10x-4y=c\end{array}\right.$

при c=6

б) при любом c≠6

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} 5x - 2y = 3 \\ 10x - 4y = c \end{cases} $$ Для анализа количества решений этой системы обратим внимание на коэффициенты при переменных $x$ и $y$. Коэффициенты во втором уравнении ($10$ и $-4$) ровно в два раза больше коэффициентов в первом уравнении ($5$ и $-2$).
$10 = 5 \cdot 2$
$-4 = (-2) \cdot 2$

Это наводит на мысль умножить обе части первого уравнения на 2, чтобы привести его к виду, сопоставимому со вторым уравнением:
$2 \cdot (5x - 2y) = 2 \cdot 3$
$10x - 4y = 6$

Теперь исходную систему можно переписать в эквивалентном виде: $$ \begin{cases} 10x - 4y = 6 \\ 10x - 4y = c \end{cases} $$ В этой системе левые части уравнений полностью совпадают. Количество решений теперь зависит от того, совпадают ли правые части.

а) имеет бесконечное множество решений

Система имеет бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда оба уравнения идентичны. Геометрически это означает, что графики уравнений (которые являются прямыми) совпадают.
Для того чтобы уравнения были идентичными, их правые части должны быть равны: $$ c = 6 $$ При $c=6$ система уравнений фактически сводится к одному уравнению $10x - 4y = 6$, решениями которого являются координаты всех точек, лежащих на этой прямой.
Ответ: при $c=6$.

б) не имеет решений

Система не имеет решений, если уравнения противоречат друг другу. В нашем случае это произойдет, если левые части уравнений равны ($10x - 4y$), а правые — не равны. Это приведет к противоречию, так как одно и то же выражение не может принимать два разных значения одновременно.
Условие для отсутствия решений: $$ c \neq 6 $$ Например, если $c=10$, мы получили бы $10x - 4y = 6$ и $10x - 4y = 10$, что невозможно. Геометрически это означает, что графики уравнений — это две параллельные, но не совпадающие прямые. Они никогда не пересекаются, следовательно, общих решений нет.
Ответ: при $c \neq 6$.