Номер 836, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 836, страница 184.

836. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки:

$y=kx+by=kx+b$ - линейная функция

a) (-1;3) и (2;-2)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-1·k+b=3 /·2\\ 2k+b=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2k+2b=6\\ 2k+b=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3b=4\\ -k+b=3\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}b=\frac{4}{3}\\ -k+\frac{4}{3}=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=1\frac{1}{3}\\ -k=3-\frac{4}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=1\frac{1}{3}\\ -k=\frac{5}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=1\frac{1}{3}\\ k=-1\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ y=-1\frac{2}{3}x+1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

б) (4;1) и (-3;-1)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}4k+b=1\\ -3k+b=-1 /·(-1)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}4k+b=1\\ 3k-b=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}7k=2\\ 3k-b=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{7}\\ 3·\frac{2}{7}-b=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{7}\\ b=\frac{6}{7}-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{7}\\ b=-\frac{1}{7}\end{array}\right. \\ y=\frac{2}{7}x-\frac{1}{7} \end{gathered}$$

в) (0;5) и (4;0)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}0k+b=5\\ 4k+b=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=5\\ 4k+5=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=5\\ 4k=-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=5\\ k=-\frac{5}{4}\end{array}\right. \\ y=-\frac{5}{4}x+5 \end{gathered}$$

г) (-3;0) и (0;-6)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-3k+b=0\\ 0k+b=-6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-6\\ -3k-6=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-6\\ -3k=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-6\\ k=-2\end{array}\right. \\ y=-2x-6 \end{gathered}$$

а) Чтобы задать формулой линейную функцию, график которой проходит через две заданные точки, мы используем общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения с осью $y$).
Подставим координаты точек $(-1; 3)$ и $(2; -2)$ в уравнение $y = kx + b$ и получим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} 3 = k \cdot (-1) + b \\ -2 = k \cdot 2 + b \end{cases}$
$\begin{cases} 3 = -k + b \\ -2 = 2k + b \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $k$:
$(-2) - 3 = (2k + b) - (-k + b)$
$-5 = 2k + k$
$-5 = 3k$
$k = -\frac{5}{3}$
Теперь подставим найденное значение $k$ в первое уравнение системы, чтобы найти $b$:
$3 = -(-\frac{5}{3}) + b$
$3 = \frac{5}{3} + b$
$b = 3 - \frac{5}{3} = \frac{9}{3} - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$
Таким образом, искомая формула линейной функции: $y = -\frac{5}{3}x + \frac{4}{3}$.
Ответ: $y = -\frac{5}{3}x + \frac{4}{3}$

б) Аналогично, используем точки $(4; 1)$ и $(-3; -1)$ и уравнение $y = kx + b$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 1 = k \cdot 4 + b \\ -1 = k \cdot (-3) + b \end{cases}$
$\begin{cases} 1 = 4k + b \\ -1 = -3k + b \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$1 - (-1) = (4k + b) - (-3k + b)$
$2 = 4k + 3k$
$2 = 7k$
$k = \frac{2}{7}$
Подставим значение $k$ в первое уравнение:
$1 = 4 \cdot (\frac{2}{7}) + b$
$1 = \frac{8}{7} + b$
$b = 1 - \frac{8}{7} = \frac{7}{7} - \frac{8}{7} = -\frac{1}{7}$
Искомая формула: $y = \frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$.
Ответ: $y = \frac{2}{7}x - \frac{1}{7}$

в) Используем точки $(0; 5)$ и $(4; 0)$.
Общий вид уравнения: $y = kx + b$.
Точка $(0; 5)$ показывает пересечение с осью $y$. Это значит, что при $x=0$, $y=5$. Подставив эти значения в общее уравнение, сразу находим $b$:
$5 = k \cdot 0 + b$
$b = 5$
Теперь уравнение имеет вид $y = kx + 5$. Чтобы найти $k$, подставим в него координаты второй точки $(4; 0)$:
$0 = k \cdot 4 + 5$
$4k = -5$
$k = -\frac{5}{4}$
Искомая формула: $y = -\frac{5}{4}x + 5$.
Ответ: $y = -\frac{5}{4}x + 5$

г) Используем точки $(-3; 0)$ и $(0; -6)$.
Общий вид уравнения: $y = kx + b$.
Точка $(0; -6)$ является точкой пересечения с осью $y$, поэтому мы можем сразу определить $b$:
$-6 = k \cdot 0 + b$
$b = -6$
Уравнение принимает вид $y = kx - 6$. Теперь подставим координаты второй точки $(-3; 0)$ для нахождения $k$:
$0 = k \cdot (-3) - 6$
$0 = -3k - 6$
$3k = -6$
$k = -2$
Искомая формула: $y = -2x - 6$.
Ответ: $y = -2x - 6$