Номер 843, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 843, страница 188.

843. Докажите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}2b^2-6b+1>2b\left(b-3\right) \\ \left(2b^2-6b+1\right)-2b\left(b-3\right)= \\ =2b^2-6b+1-2b^2+6b=1>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(c+2\right)\left(c+6\right)<\left(c+3\right)\left(c+5\right) \\ \left(c+2\right)\left(c+6\right)-\left(c+3\right)\left(c+5\right)= \\ =c^2+6c+2c+12-\left(c^2+5c+3c+15\right)= \\ =c^2+8c+12-c^2-8c-15=-3<0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}p\left(p+7\right)>7p-1 \\ p\left(p+7\right)-\left(7p-1\right)=p^2+7p-7p+1=p^2+1>0 \end{gathered}$$

при любых значениях р

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}8y\left(3y-10\right)<{\left(5y-8\right)}^2 \\ 8y\left(3y-10\right)-{\left(5y-8\right)}^2=24y^2-80y- \\ -\left(25y^2-80y+64\right)=24y^2-80y-25y^2+80y- \\ -64=-y^2-64=-\left(y^2+64\right)<0 \end{gathered}$$

при любых значениях у

а) Преобразуем данное неравенство. Раскроем скобки в правой части: $2b^2 - 6b + 1 > 2b^2 - 6b$ Перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные: $2b^2 - 6b + 1 - 2b^2 + 6b > 0$ Приведем подобные слагаемые: $(2b^2 - 2b^2) + (-6b + 6b) + 1 > 0$ $1 > 0$ Мы получили верное числовое неравенство. Поскольку оно не зависит от переменной $b$, исходное неравенство верно при любом значении $b$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $(c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5)$ $c^2 + 6c + 2c + 12 < c^2 + 5c + 3c + 15$ Приведем подобные слагаемые в каждой части: $c^2 + 8c + 12 < c^2 + 8c + 15$ Перенесем все члены из правой части в левую: $c^2 + 8c + 12 - c^2 - 8c - 15 < 0$ Приведем подобные слагаемые: $(c^2 - c^2) + (8c - 8c) + (12 - 15) < 0$ $-3 < 0$ Мы получили верное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $c$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Преобразуем данное неравенство. Раскроем скобки в левой части и перенесем все члены в левую часть: $p(p + 7) > 7p - 1$ $p^2 + 7p > 7p - 1$ $p^2 + 7p - 7p + 1 > 0$ $p^2 + 1 > 0$ Выражение $p^2$ неотрицательно для любого действительного числа $p$, то есть $p^2 \ge 0$. Следовательно, сумма $p^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1 ($p^2 + 1 \ge 1$), а значит, всегда будет положительной. Таким образом, неравенство $p^2 + 1 > 0$ верно при любом значении $p$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Преобразуем данное неравенство. Раскроем скобки в левой части и воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ в правой части: $8y(3y - 10) < (5y - 8)^2$ $24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64$ Перенесем все члены из левой части в правую: $0 < 25y^2 - 80y + 64 - (24y^2 - 80y)$ $0 < 25y^2 - 80y + 64 - 24y^2 + 80y$ Приведем подобные слагаемые: $0 < (25y^2 - 24y^2) + (-80y + 80y) + 64$ $0 < y^2 + 64$ Выражение $y^2$ неотрицательно для любого действительного числа $y$ ($y^2 \ge 0$). Следовательно, сумма $y^2 + 64$ всегда будет больше или равна 64 ($y^2 + 64 \ge 64$), а значит, всегда будет положительной. Таким образом, неравенство $0 < y^2 + 64$ верно при любом значении $y$.
Ответ: Неравенство доказано.