Номер 845, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

845. Докажите неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}a\left(a+b\right)\ge ab \\ a\left(a+b\right)-ab=a^2+ab-ab=a^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{m}^2-mn+n^2\ge mn \\ {m}^2-mn+n^2-mn=m^2-2mn+n^2={\left(m-n\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}10a^2-5a+1\ge a^2+a \\ \left(10a^2-5a+1\right)-\left(a^2+a\right)=10a^2-5a+1- \\ -a^2-a=9a^2-6a+1={\left(3a-1\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}2bc\le b^2+c^2 \\ 2bc-\left(b^2+c^2\right)=2bc-b^2-c^2=-\left(b^2-2bc+c^2\right)= \\ =-{\left(b-c\right)}^2\le 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}a\left(a-b\right)\ge b\left(a-b\right) \\ a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)=a^2-ab-ab+b^2= \\ =a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}{a}^2-a\le 50a^2-15a+1 \\ \left(a^2-a\right)-\left(50a^2-15a+1\right)= \\ =a^2-a-50a^2+15a-1=-49a^2+14a-1= \\ =-\left(49a^2-14a+1\right)=-{\left(7a-1\right)}^2\le 0 \end{gathered}$$

а) $a(a + b) \ge ab$

Для доказательства преобразуем неравенство. Раскроем скобки в левой части:

$a^2 + ab \ge ab$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + ab - ab \ge 0$

$a^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом (т.е. больше или равен нулю). Таким образом, полученное неравенство $a^2 \ge 0$ верно для любого значения $a$. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) $m^2 - mn + n^2 \ge mn$

Перенесем член $mn$ из правой части в левую, чтобы сравнить выражение с нулем:

$m^2 - mn + n^2 - mn \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$m^2 - 2mn + n^2 \ge 0$

Выражение в левой части является формулой квадрата разности:

$(m - n)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $(m - n)^2 \ge 0$ верно для любых действительных чисел $m$ и $n$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

в) $10a^2 - 5a + 1 \ge a^2 + a$

Перенесем все члены из правой части в левую:

$10a^2 - 5a + 1 - a^2 - a \ge 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(10a^2 - a^2) + (-5a - a) + 1 \ge 0$

$9a^2 - 6a + 1 \ge 0$

Выражение в левой части представляет собой полный квадрат разности:

$(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 1 + 1^2 \ge 0$

$(3a - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $(3a - 1)^2 \ge 0$ верно для любого значения $a$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

г) $2bc \le b^2 + c^2$

Перенесем $2bc$ в правую часть неравенства:

$0 \le b^2 + c^2 - 2bc$

Запишем это в более привычном виде:

$b^2 - 2bc + c^2 \ge 0$

Выражение в левой части является формулой квадрата разности:

$(b - c)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $(b - c)^2 \ge 0$ верно для любых действительных чисел $b$ и $c$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

д) $a(a - b) \ge b(a - b)$

Перенесем выражение из правой части в левую:

$a(a - b) - b(a - b) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a - b) \ge 0$

$(a - b)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $(a - b)^2 \ge 0$ верно для любых действительных чисел $a$ и $b$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

е) $a^2 - a \le 50a^2 - 15a + 1$

Перенесем все члены из левой части в правую:

$0 \le 50a^2 - 15a + 1 - (a^2 - a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$0 \le 50a^2 - 15a + 1 - a^2 + a$

$0 \le (50a^2 - a^2) + (-15a + a) + 1$

$0 \le 49a^2 - 14a + 1$

Запишем неравенство в другом порядке:

$49a^2 - 14a + 1 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности:

$(7a)^2 - 2 \cdot (7a) \cdot 1 + 1^2 \ge 0$

$(7a - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство $(7a - 1)^2 \ge 0$ верно для любого значения $a$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.